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圆锥曲线的方程测试卷——双曲线（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2． “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线C : 若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A．(1 , ) B．(0 , ) C．（1， ] D．
4．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，P为双曲线右支上一点，且满足 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| P |>| P |，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ,|P|=|| ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
8．如图，设椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ， ）的公共焦点为 ， ，将 ， 的离心率分别记为 ， ，点A是 ， 在第一象限的公共点，若点A关于 的一条渐近线的对称点为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为
10． 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．满足条件的点有两个
C．以，为焦点，以，为顶点的双曲线的渐近线方程为
D．的内切圆面积的最大值为
11．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ）
A．
B．平面上点的最小值为
C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D．过点作，垂足为H，则
三、填空题(共3题；共15分)
12．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 ．
13．我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ．
14．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知曲线.
（1）若曲线是椭圆，求的取值范围；
（2）若曲线是双曲线，求的取值范围.
16． 已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
（1）求双曲线方程；
（2）若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
17．已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
18．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
19．对于定义在 上的函数 ，如果存在两条平行直线 与 ，使得对于任意 ，都有 恒成立，那么称函数 是带状函数，若 ， 之间的最小距离 存在，则称 为带宽.
（1）判断函数 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
（2）求证：函数 （ ）是带状函数；
（3）求证：函数 （ ）为带状函数的充要条件是 .
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圆锥曲线的方程测试卷——双曲线（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (57.9%)
2 容易 (10.5%)
3 困难 (31.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 椭圆的简单性质 21.0(14.0%) 7,8,10,14
2 直线与圆锥曲线的综合问题 12.0(8.0%) 10,11
3 必要条件、充分条件与充要条件的判断 26.0(17.3%) 2,19
4 辅助角公式 5.0(3.3%) 13
5 双曲线的简单性质 98.0(65.3%) 1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,19
6 基本不等式在最值问题中的应用 5.0(3.3%) 7
7 椭圆的定义 19.0(12.7%) 8,15
8 双曲线的应用 42.0(28.0%) 16,17,18
9 函数的概念及其构成要素 21.0(14.0%) 19
10 双曲线的标准方程 62.0(41.3%) 2,4,6,13,16,17,18
11 双曲线的定义 44.0(29.3%) 5,8,9,15,16
12 分段函数的应用 21.0(14.0%) 19
13 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质 5.0(3.3%) 13
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圆锥曲线的方程测试卷——双曲线（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：，则的离心率为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，再由离心率公式计算即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线方程，充分必要条件的判断.根据方程表示双曲线方程，可列出不等式，解不等式可求出实数m的取值范围，再根据充分、必要条件的概念可判断出选项.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：易知双曲线的渐近线，
若双曲线与直线没有公共点，则，即，
则e= ，即双曲线离心率的取值范围为（1， ]
故答案为：C.
【分析】先求双曲线的渐近线，根据双曲线的渐近线与直线的位置关系求解即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题知，所以，
因为，所以，
又因为三角形的周长为10，
所以，解得，
所以，解得，
又因为，所以，
所以双曲线方程为，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】依题意结合焦点的坐标得出c的值，从而得出焦距，再结合三角形的周长和双曲线的定义，从而得出a的值，再根据，从而求出的值，即可得到双曲线的标准方程，进而得出双曲线的渐近线方程.
5．【答案】C
【解析】【解答】由题意可得 ， ，
即有 ，
可得 ， ，
P为双曲线右支上一点，
可得 ，
又 ，
可得 ，
则 的周长为 ，
故答案为：C
【分析】 由双曲线的方程可得b，c，运用双曲线的离心率公式，解方程可得a，c，运用双曲线的定义和三角形的周长，可得所求值．
6．【答案】D
【解析】【解答】若焦点在轴上，设焦点，因为双曲线的一条渐近线的方程是，且焦点到该渐近线的距离为2，
所以，解得，即；
因为，所以，此时方程为；
若焦点在轴上，设焦点，，解得，即；
因为，所以，此时方程为；
故答案为：D.
【分析】 先根据焦点位置，设焦点，利用距离求出c，结合渐近线的方程可得答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】由题意得： ，设椭圆方程为 ，
双曲线方程为 ，
又∵ .
∴ ，∴ ，
则
，当且仅当 ，
即 时等号成立.
则 的最小值为8.
故答案为：D.
【分析】由题意可得 ，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得 的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：连结AF2，由题意可得，焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，
则由双曲线的定义可得： AF1 - AF2=2m①，
由椭圆的定义可得：AF1 +AF2=2a②，
因为点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，
则C2的一条渐近线是线段AF1的中垂线，所以∠F1AF2=90°，
故AF1+AF2=4c2③，
由①②可得AF12+AF22=2a2+2m2④，
所以a2+m2=2c2，
所以
故答案为：D
【分析】根据椭圆、双曲线的定义，结合题意，以及椭圆与双曲线的离心率求法直接求解即可.
9．【答案】B,C
【解析】【解答】由双曲线可知，；
A、双曲线的实轴长为，故A错误；
B、双曲线的焦距为，故B正确；
C、双曲线的离心率为，故C正确；
D、双曲线的渐近线方程为，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据双曲线的性质直接逐一判断即可.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、由椭圆，可得，则，
离心率，故A正确；
B、由A可知，设，
直线的斜率，直线的斜率，
由，则，可得，
因为在椭圆上，则，解得，
由，则，所以点有四个，故B错误；
C、由A可知：，，，，
则双曲线的，，解得，
该双曲线的渐近线方程为，则，故C正确；
D、设内切圆的半径为，易知，
其中为的面积，为为周长，则，
易知当为椭圆的上顶点，则，所以的最大值为，
的最大值为，内切圆面积的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据椭圆方程，结合离心率公式求解即可判断A；设动点坐标，利用垂直直线斜率关系，建立方程求解即可判断B；根据A和双曲线的性质，结合双曲线的渐近线方程即可判断C；根据内切圆半径与三角形面积和周长的关系，求得半径的最大值即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，
，
，即，
又因为，所以上式可化简整理得，所以，
所以直线的方程为，即，
所以，因为，所以，故A正确；
对于B，由双曲线定义得，且，
则
所以的最小值为，故B正确；
对于C，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，
因为且，所以，
若，则，
所以直线直线，同理可知，当也可判断直线直线，
所以入射光线与反射光线的夹角为，故C错误；
对于D，如图，
因为为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点，
则垂直平分，即点为的中点，
又因为是的中点，
所以，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设出直线的方程，联立直线与双曲线方程，根据判别式法得出，从而得出直线AP的方程，即可求得，再利用得出的取值范围，则判断出选项A；利用双曲线定义，将转化为，根据几何法和两点距离公式得出的最小值，则可判断选项B；根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，利用且，从而得出的值，进而求出点的坐标，再由数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，则判断出线线垂直，从而得出入射光线与反射光线的夹角，则判断出选项C；根据双曲线的光学性质可推出点为的中点，进而得出，再结合双曲线的定义，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【解析】【解答】解：设，(m>n)
由得 a=4，b=3，c=5
根据双曲线定义得m-n=2a=8
又因为，即
所以 m2+n2=4c2，所以 m2+n2-(m-n)2=2mn=4x25-64=36，则mn=18
设点P的坐标为
则，即
所以 点到轴的距离为
故答案为：.
【分析】先由求出a，b，c的值，结合勾股定理与双曲线定义求mn的值，再根据三角形面积相等求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为，
则，所以，
又，故设，
所以，
其中，
当时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】由，设，再由辅助角公式化简求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：因为椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，
因为
所以
因为
则由余弦定理得出，
所以
所以所以
记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，
所以，则，
则的最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和双曲线的定义，从而得出的值，再结合焦距和余弦定理以及离心率公式变形得出为定值，再由均值不等式求最值的方法，进而得出的最小值。
15．【答案】（1）解：曲线C化为：
∵曲线C是椭圆，故
∴
（2）解：若焦点在x轴上，曲线C化为：
则，
∴
若焦点在y轴上，曲线C化为：
则，
∴
综上可得，
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合椭圆的定义，进而求出实数m的取值范围。
（2）利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出实数m的取值范围。
16．【答案】（1）解：由题知，解得，，
所以双曲线C的方程为：
（2）解：
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质以及待定系数法，解方程组即可得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
17．【答案】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离，
又因为双曲线：经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解：设点，，
因为是弦的中点，
则．
由于，
则，
所以，
从而直线的方程为，
即．
联立，
得，
所以，
从而．
【解析】【分析】（1）由焦点到渐近线的距离为可得 ，把点代入 双曲线 可求出a，进而可得双曲线的方程；
（2）设点， ，利用作差法结合中点坐标公示求出直线的方程，与双曲线联立，利用韦达定理可得 ，再利用弦长公式可求出 AB的长度．
18．【答案】（1）解：由题意知
解得双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组消去，得
则，
直线方程为，
令，则，
同理，
由，可得，
，
，
，
，
，
，即，
当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不合题意；
，此时直线方程为，恒过定点.
【解析】【分析】（1）利用焦距为，点在双曲线上及 ，代入求解 双曲线的方程 ；
（2） 联立直线的方程和双曲线的方程结合韦达定理得出由得到代入化简 ， 进而分析m的值判断直线是否过定点 。
19．【答案】（1）解：（1）因为 ，所以 ，
取直线 ，则 恒成立，
即函数 是带状函数，带宽为 ；
（2）解：因为 ，（ ）表示双曲线 在第一象限的部分，又双曲线的渐近线方程为 ，故函数 满足 ，则函数 为 有一个宽带为 的带状函数；
（3）解：函数 ，
先证充分性，当 时， ，
不妨设 ，则 ，即存在直线 ， ，满足题意，即函数 为带状函数，
再证必要性，当函数 （ ）为带状函数，
则存在 ，又 ，当 ，则直线 与两直线 ， 中至少一条相交，故不满足 ，即 不满足题意，即 ，
故函数 （ ）为带状函数的充要条件是 .
【解析】【分析】（1）先理解带状函数的特征，再求函数的值域即可得解；（2）由函数 ，（ ）的图像表示双曲线 在第一象限的部分，
再结合双曲线的渐近线即可找出两平行直线；（3）由分段函数的图象特征，结合带状函数的定义，分别证明充分性及必要性即可.
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