2026年九年级数学中考一轮复习专题一：二次函数含参数最值问题综合训练（含答案）

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2026年九年级数学中考一轮复习专题一：二次函数含参数最值问题综合训练
一、选择题
1．已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　）
A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7
2．当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．已知函数y1＝2x﹣2，y2＝x2﹣3x+2，y3＝﹣2x+8，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值．则y的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．3
4．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣ax2﹣bx+3的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B． C．2≤m≤4 D．m≥2
5．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　）
A．3或1 B．3或3
C．3或1 D．1或1
6．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
7．二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　）
A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3
8．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　）
A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0且﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
10．若a、b满足a2+b2＝2+ab，则（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值与最小值的差为（　　）
A．4 B． C． D．
二、解答题
11．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
①求a，c的值；
②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，求实数n的取值范围．
12．已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P．
（1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　 　 ；
（2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值．
13．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2的最小值为﹣2，求m的值．
14．已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．
（1）求b、c的值；
（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．
15．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
16．已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根．
（1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值．
（2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C A D C C D
1．已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　）
A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答即可．
【解答】解：∵将二次函数解析式化为顶点式可得：y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点，
①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大，
∴当x＝t+2≤2，即t≤0，函数有最大值4，
∴﹣（t+2）2+4（t+2）+9＝4，
∴t＝±3，
∵t≤0，
∴t＝﹣3；
②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小，
∴当x＝t≥2时，即函数有最大值4，
∴﹣t2+4t+9＝4，
∴t＝5，t＝﹣1，
∵t≥2，
∴t＝5；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，正确进行计算是解题关键．
2．当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解．
【解答】解：∵a＞0，
∴当x时，y取最小值，
∴m8，
∵（b﹣2）2≥0，a＞0，
∴0，
∴8≤8，
∴当b＝2时，m取最大值8，故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键．
3．已知函数y1＝2x﹣2，y2＝x2﹣3x+2，y3＝﹣2x+8，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值．则y的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．3
【分析】作出草图，然后求出y值的最大值的点，联立两函数的解析式解方程组即可得解．
【解答】解：y的最大值在三个函数图象的公共部分所在的区域，
∵y2与y3的交点最高，
∴y2＝x2﹣3x+2，y3＝﹣2x+8的交点的y值最大，
联立得：，
解得或，
∴y的最大值为2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，作出图形，利用数形结合的思想更形象直观．
4．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣ax2﹣bx+3的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B． C．2≤m≤4 D．m≥2
【分析】根据完美点的概念令ax2+bxx，即ax2+（b﹣1）x0，由题意，Δ＝（b﹣1）2﹣4a （）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，方程的根为，从而求得a＝﹣1，b＝4，所以函数y＝﹣ax2﹣bx+3＝x2﹣4x+3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2+bxx，即ax2+（b﹣1）x0，
由题意，Δ＝（b﹣1）2﹣4a （）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，
又方程的根为，
解得a＝﹣1，b＝4或（b＝﹣2舍去），
故函数y＝﹣ax2﹣bx+3＝x2﹣4x+3，
如图，该函数图象顶点为（2，﹣1），与y轴交点为（0，3），由对称性，该函数图象也经过点（4，3）．
由于函数图象在对称轴直线x＝2左侧y随x的增大而增减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣1，最大值为3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
5．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为（　　）
A．3或1 B．3或3
C．3或1 D．1或1
【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最大值1、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最大值为﹣5，可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最大值﹣5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5，分别列出关于h的方程求解即可．
【解答】解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（1﹣h）2+1＝﹣5，
解得：h＝1或h＝1（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5，
可得：﹣（3﹣h）2+1＝﹣5，
解得：h＝3或h＝3（舍）．
③当1≤h≤3时，最大值为1，不符合题意，
综上，h的值为1或3，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
6．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
7．二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　）
A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝6时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最小值6，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论：
若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6，
∴a＝3，
若a≤x≤a+2＜2时，当x＝a+2时，y的最小值是6，
∴a+2＝﹣1，
解得a＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝6时x的值是解题的关键．
8．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　）
A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，
解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
解得：m；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0且﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【分析】根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题．
【解答】解：因为y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a（a＞0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，2﹣a）．
因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
所以t﹣1≤3，
又因为当x＝1时，函数取得最小值，
所以t﹣1≥1，
所以1≤t﹣1≤3，
解得2≤t≤4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．若a、b满足a2+b2＝2+ab，则（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值与最小值的差为（　　）
A．4 B． C． D．
【分析】依据题意，由（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）计算得到5a2+5b2﹣12ab，由a2+b2＝2+a，即可得到5a2+5b2﹣12ab＝5（a2+b2）﹣12ab＝10﹣7ab，又ab（a+b）2，即可得到ab的最小值为，又（a﹣b）2＝2﹣ab，进而可得ab的最大值为2，从而可以判断得解．
【解答】解：∵a2+b2＝2+ab，
∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）
＝4a2+9b2﹣12ab+a2﹣4b2
＝5a2+5b2﹣12ab
＝5（a2+b2）﹣12ab
＝10+5ab﹣12ab，
＝10﹣7ab．
∵a2+b2＝2+ab，
∴（a+b）2＝2+3ab，
∴ab（a+b）2，
∴ab的最小值为，
∴﹣7ab的最大值为．
∴10﹣7ab的最大值为．
∵a2+b2＝2+ab，
∴（a﹣b）2＝2﹣ab≥0．
∴ab≤2．
∴﹣7ab≥﹣14．
∴10﹣7ab≥﹣4．
∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值与最小值的差为：（﹣4）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，正确变形代数式是解题的关键．
二、解答题
11．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
①求a，c的值；
②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，求实数n的取值范围．
【分析】（1）“慧泉”点的定义得到﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，即可得到其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；
（2）①根据“慧泉”点定义得到x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，由二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点以及，点（2，﹣2）在函数y＝ax2+3x+c图象上，即可得到，解方程组即可求得a、c的值；
②由①可知二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，根据二次函数的性质即可得到当x时，函数有最大值为，而x＝﹣1时，y＝﹣8，由﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，即可求得实数n的取值范围是n≤4．
【解答】解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，
根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，
故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；
（2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，
∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，
∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
∴，
解得a＝﹣1，c＝﹣4；
②∵a＝﹣1，c＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，
∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8，
∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2，
∴对称轴为直线x，
∴当x时，函数有最大值为，
∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，
∴实数n的取值范围是n≤4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
12．已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P．
（1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　2　 ；
（2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值．
【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P，可得P（0，t2﹣1），又将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1），故此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上，从而计算得解；
（2）依据题意，由点（m，y），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，从而，，结合y1＜y2，故m2﹣4m+3＜m2+2m，进而计算可以得解；
（3）依据题意，分当t＜1、1≤t≤3和t＞3进行分类讨论，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P，
∴P（0，t2﹣1）．
∴将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1）．
又∵此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上，
∴（4﹣t）2﹣1＝t2﹣1．
∴t＝2．
故答案为：2．
（2）∵点（m，y），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴，．
∵y1＜y2，
∴m2﹣4m+3＜m2+2m．
∴m．
（3）由题意，①当t＜1时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y的最小值为3．
∴（1﹣t）2﹣1＝3．
∴t＝﹣1或t＝3（舍去）．
②当1≤t≤3时，二次函数的最小值为﹣1，不合题意，舍去．
③当t＞3时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y的最小值为3．
∴（3﹣t）2﹣1＝3．
∴t＝1（舍去）或t＝5．
综上可知，t的值为﹣1或5．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
13．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2的最小值为﹣2，求m的值．
【分析】依据题意，先求出二次函数对称轴为直线x＝1，再分m＞0和m＜0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+2（m≠0），
∴二次函数对称轴为直线x1．
当m＞0时，
∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴当x＝1时，y＝m﹣2m+2＝﹣2，
∴m＝4；
当m＜0时，
∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝4m+4m+2＝﹣2，
∴m．
综上所述，m＝4或m．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
14．已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．
（1）求b、c的值；
（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．
【分析】（1）把点（0，3）、（1，﹣2）代入二次函数解析式，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤m＜3时，当3≤m＜6时，当m≥6时，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2），
∴
解得：；
（2）由（1）得，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6．
∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
①当0≤m＜3时，
当x＝0时，y取最大值，最大值是3，当x＝m时，y取最小值，最小值是（m﹣3）2﹣6，
∴3+（m﹣3）2﹣6＝1，
解得m1＝1，m2＝5（舍去）．
②当3≤m＜6时，
当x＝6时，y取最大值，y的最大值是3，
当x＝3时，y取最小值，y的最小值是﹣6．
∵﹣6+3＝﹣3≠1，
∴不符合题意．
③当m≥6时，
当x＝m时，y取最大值，y的最大值是（m﹣3）2﹣6，
当x＝3时，y取最小值，y的最小值是﹣6．
∴﹣6+（m﹣3）2﹣6＝1，
解得，（舍去）．
综上所述，m的值为1或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
15．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）根据题意，当﹣4≤x≤0时，抛物线开口向下，求得顶点坐标，当x＝﹣3时，y有最大值为6，当x＝0时，y有最小值为﹣3，即可求解；
（3）①当﹣3＜m≤0时，②当m≤﹣3时，分类讨论，根据二次函数的性质，结合题意即可求解．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，
解得：；
（2）由（1）得：该函数解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，6），
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
∴最大值与最小值的差为6﹣（﹣3）＝9，
（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小；
当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，
①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4
∴或（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根．
（1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值．
（2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用二次函数的对称性求得对称轴，由方程f（x）＝2x有两相等的实数根，则ax2+bx﹣2x＝0中Δ＝0，即可求得b＝2，a＝﹣1，求得解析式，进而即可求得f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（2）分三种情况：a、若n≤1，有：﹣m2+2m＝4m①，﹣n2+2n＝4n②，m＜n③，由此求出m、n的值；b、若m≥1，有：﹣m2+2m＝4n①，﹣n2+2n＝4m②，m＜n③，由此确定m＝n＝3，不合题意；c、若m＜1，n＞1，此时函数的最大值为1，4n＝1，得出n，不合题意，便可得出结果．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），
∴对称轴为直线x1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∵方程f（x）＝2x有两相等的实数根，
∴ax2+bx﹣2x＝0，则Δ＝0，
∴（b﹣2）2＝0，
∴b＝2，
∴a＝﹣1，
∴f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴x＝1时，f（x）有最大值1，
∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是1；
（2）存在，
分三种情况：
a、n≤1，有：﹣m2+2m＝4m①，﹣n2+2n＝4n②，m＜n③，
解得m＝﹣2，n＝0；
b、m≥1，有：﹣m2+2m＝4n①，﹣n2+2n＝4m②，m＜n③，
①﹣②得：（n﹣m）（m+n）＝6（n﹣m），n﹣m＞0，
∴m+n＝6，
代入①解得：m＝3，n＝3；
不合题意，
c、若m＜1，n＞1，
∵此时函数的最大值为1，
∴4n＝1，
∴n，
不合题意，
综上所述：m＝﹣2，n＝0时，存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，关键是分情况讨论和根据特征点解题．
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