2024-2025学年上海嘉定二中高一下学期数学期末试卷（含答案）

嘉定二中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．两个平面最多可以将空间分成 部分.
2．复数（i是虚数单位）的虚部是 .
3. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 .
4．向量在方向上的数量投影为 .
5．已知，则 .
6．若（i是虚数单位）是关于的方程的一个复数根，
则 .
7．已知，若满足，且的最小值为，则 .
8．若为奇函数，则 .（填写符合要求的一个值）
9．若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条．
10．如图，已知正六边形的边长为1，点在其内部（包含边界），则的取值范围是 .
11．设函数，其中，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 .
12．已知个两两互不相等的复数，其中满足，若（其中、，则正整数的最大值为 .
二、选择题（本大题满分18分，第13,14题每分4分，第15,16题每题5分）
13．若空间中有两条直线，则＂这两条直线为异面直线＂是＂这两条直线没有公共点＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
14．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）.
A．锐角三角形 B.直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
15．在物理学中简谐运动可以用函数，其中来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图象关于点成中心对称
B.函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．函数图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是
16．已知三个不共线的向量满足，则为的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
三、解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分）如图，已知长方体中，．
（1）求证：与是异面直线；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本题满分14分）
已知关于的实系数一元二次方程有两个根和.
（1）若和为两个虚根，求的取值范围；
（2）若，求的值．
19．（本题满分16分）
在中，．点为所在平面上一点，满足且.
（1）若，用表示；
（2）若点为的外心，求的值．
20．（本题满分16分）
某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中长为400米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道，其中步道终点两点在边界上，且．
（1）观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）为吸引了游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设＂集市＂，若建设观光步道平均每米需花费100元，建设商业步道平均每米需花费300元，试求建设步道总花费的最小值．
21．（本题满分18分）
若函数满足且，则称函数为＂函数＂．
（1）试判断是否为＂函数＂，并说明理由：
（2）函数为＂函数＂，且当时，，求函数的解析式，并写出函数在上的单调增区间；
（3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．设函数，其中，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 .
【答案】
【解析】函数，因为，所以，即，，
又因为存在，使得，即存在，
使得，由正弦函数的性质可得，
所以的最小值为．故答案为：．
12．已知个两两互不相等的复数，其中满足，若（其中、，则正整数的最大值为 .
【答案】
【解析】设，
因为，所以，
即，
即，故对应平面内距离为2的点，如图中的点．
因为，所以与对应的点的距离为1或3，构成了图中的点，，共5个点，故的最大值为5．
二、选择题
13.A 14.A 15.B 16.A
15．在物理学中简谐运动可以用函数，其中来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图象关于点成中心对称
B.函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．函数图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是
【答案】B
【解析】由函数图象的最高点的纵坐标可得，且可得，
可得，又，可得，所以，
中，因为，所以（不是函数的对称中心，所以不正确；
中，，所以正确；
中，因为，所以，，所以，
即，所以不正确；
中，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，所以不正确．故选：．
16．已知三个不共线的向量满足，则为的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】在上取点，在延长线上取点，
使得，则，
以为邻边作平行四边形，
则
∵平行四边形是菱形，∴，
过作的平行线交于点，∵，
即,∴在直线上，
∵，∴，
由菱形的性质可知，
∴为的角平分线，故在的角平分线上，
同理可得：在的平分线上，在的角平分线上，
∴是的内心．故选：．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分16分）
某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中长为400米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道，其中步道终点两点在边界上，且．
（1）观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）为吸引了游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设＂集市＂，若建设观光步道平均每米需花费100元，建设商业步道平均每米需花费300元，试求建设步道总花费的最小值．
【答案】（1）是，定值百米； （2）
【解析】（1）由题意，三角形和三角形为相似三角形，所以，设百米，则，
根据正弦定理有，所以，
所以，即观光步道的总长度为定值百米；
（2）结合（1），由余弦定理有
当取得最小值为，所以最小值为百米，
所以建设步道花费最小值为元．
21．（本题满分18分）
若函数满足且，则称函数为＂函数＂．
（1）试判断是否为＂函数＂，并说明理由：
（2）函数为＂函数＂，且当时，，求函数的解析式，并写出函数在上的单调增区间；
（3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．
【答案】（1）不是，例见解析 （2）； （3）
【解析】（1）不为函数，理由如下：
因为，所以函数的周期为，又因为，
所以函数的图象关于对称，因为的周期为，
当时，，所以的图象不关于对称，
∴不是＂的函数＂；
（2）由，可得，又因为的周期为，
当时，
当时，
综上
中，
当时，，此时单调递增区间为，
中，
当时，则，
当，即时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调递增区间为；
（3）由（2）知：函数在上图象为：
当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，
当时，有6个解，由对称性可知：其和为
当时，有8个解，其和为,
所以