2024-2025学年上海曹杨二中高二下学期数学期末试卷（含答案）

曹杨中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知复数，则 ．
2．若数列为首项为3，公差为2的等差数列，则 ．
3．已知二项式，其展开式中含项的系数为 ．
4．已知是第二象限角，，则 ．
5．已知抛物线经过点，则此抛物线的准线方程是 ．
6．设为随机变量，，若随机变量的期望为2，则 ．
7．曲线在处切线的斜率是 ．
8．有一系列正方形，边长组成以1为首项，为公比的等比数列，表面积分别记为，则 ．
9．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 ．
10．给出下列4个命题：
（1）若随机变量服从正态分布，且，则；
（2）一组数据的第60百分位数为15；
（3）已知一组数据的方差是3，则的方差也是3；
（4）对具有线性相关关系的两个变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4．其中正确命题的序号为 ．
11．已知双曲线的左、右顶点分别为是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 ．
12．已知函数,点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是 ．
二、选择题（本题满分18分，13、14每小题满分4分，15、16每小题满分5分）
13．设为非零向量，则＂存在，使得＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．从含甲、乙在内的5名同学中随机选取3人参加某项活动，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是（ ）.
A． B． C． D．
15．在中，已知，且，则的形状为（ ）.
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形
16．关于曲线，给出下列四个结论：
（1）曲线关于原点对称，但不关于轴，轴对称；
（2）曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
（3）曲线上任意一点到原点的距离都不大于；
（4）曲线上任意一点到原点的距离都不小于2．其中，正确结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图为正四棱柱，其中.
（1）求矩形绕旋转一周所得几何体的表面积；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
已知数列的前项和为，且满足是正整数．
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某班组织同学们在体测前进行立定跳远、铅球两个项目的测试，已知个人总成绩为个人各项目成绩之和，立定跳远合格得60分，投掷铅球合格得20分.否则不得分，此外只有当第一个测试项目的成绩合格后，才能进行另一项测试．在这两项测试中，得到相关数据如下：（单位：名）
项目顺序 个人总成绩合格（人数） 个人总成绩不合格（人数） 合计
先立定跳远 20 8 28
先投掷铅球 10 16 26
合计 30 24 54
（1）分析能否有的把握认为先立定跳远与个人总成绩是否合格存在关联？
（2）设甲同学立定跳远的合格率为0.75，投掷铅球的合格率为0.8，且两个项目是否合格相互独立．若甲同学要使总成绩的期望最大，那么他应该先选哪个项目？说明理由．
附：，其中。
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆过点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的斜率为直线交椭圆于另一点，若的面积为2，其中为坐标原点，求直线的斜率的值；
（3）设过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点．求证：线段的中点为定点．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数和.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若函数的最大值和的最小值互为相反数，求的值；
（3）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.（2）（3）； 11. 12.
11．已知双曲线的左、右顶点分别为是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设在双曲线的左支上，∵外接圆面积为，
设外接圆的半径为，
令
则的坐标为即
代入双曲线方程可得，
由，可得，即有
12．已知函数,点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，则，函数在上为增函数，
当时，由，得，即
作出函数的图象如下图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，切点为，则切线方程为，
将原点坐标代入切线方程得，即，
令函数，其中，则，
函数在上单调递减，且，
由，解得，则，
而函数的渐近线方程为
设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，
则
结合图形可知，．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.B 15.D 16.B
15．在中，已知，且，则的形状为（ ）.
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由和正弦定理可得，即,
所以，由可得，又，所以，
所以，所以的形状为等边三角形故选：．
16．关于曲线，给出下列四个结论：
（1）曲线关于原点对称，但不关于轴，轴对称；
（2）曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
（3）曲线上任意一点到原点的距离都不大于；
（4）曲线上任意一点到原点的距离都不小于2．其中，正确结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据题意，关于曲线，
对于（1），对于，有成立，
即点也在曲线上，故曲线当于原点对称，
对于，方程不一定成立，
方程不一定成立，故曲线不关于坐标轴对称，（1）正确；
对于（2），时，时，；．
则曲线恰好经过6个整点，，故（2）不正确；
对于（3），，由于，即，则有,即，即曲线上任意一点到原点的距离都不大于，（3）正确；
对于（4），当时，曲线上任意一点到原点的距离，（4）错误；正确的有（1）（3）．故选：B．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略， （2）
19.（1）存在关联 （2）立定跳远，因为期望更大
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知椭圆过点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的斜率为直线交椭圆于另一点，若的面积为2，其中为坐标原点，求直线的方程；
（3）设过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点．求证：线段的中点为定点．
【答案】（1） （2）或． （3）证明见解析，定点．
【解析】依题意，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，，此时，
所以直线的方程为．
当直线的斜率为0时，，此时，
所以直线的方程为．
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得
设，
则
所以
则，解得（舍去）.
综上所述，直线的方程为或．
（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去并化简得，
则，
由，．
依题意可知直线的斜率存在，直线的方程为，
令，得
，同理可求得，
所以
，所以线段的中点为定点．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数和.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若函数的最大值和的最小值互为相反数，求的值；
（3）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）（3）
【解析】（3）由，得，
设．
则，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；所以，且当时，；当时，．故的值域为，
设，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以，且当时，；当时，，
故的值域为；依题意，的值域是的值域的子集．
显然，若，则的值域为，不合题意，舍去；
若，则的值域
则需的值域，则，解得．
综上，实数的取值范围为．故答案为：．