2024-2025学年上海华二附中高一下学期数学期末试卷（含答案）

华东师大二附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知是第四象限的角，则点在 第象限.
2．若复数满足，则的虚部为 ．
3．已知，则 ．（数字作答）
4．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了 项．
5．已知平面向量，则在方向上的投影向量为 ．
6．已知等比数列中，，则等比数列的公比 ．
7．已知向量，若，则实数的取值范围是 ．
8．方程的两根均为虚数，且两根的模的和为2，则实数 ．
9．已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则 ．
10．正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点.点为平面上一点，满足，则的最小值为 ．
11．如图，是某水域的两直线型岸边，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（分别在上），围成养殖区．若都不超过8，则隔离网长度的取值范围是 ．
12．已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为 ．
二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）
13．已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ）.
A． B． C． D．
14．已知复数，下列说法错误的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C.若，则与共线 D．若，则
15．设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
16．设函数，其中为已知实常数，，有下列四个命题：
（1）若，则对任意实数恒成立；
（2）若，则函数为奇函数；
（3）若，则函数为偶函数；
（4）当时，若，则；
则上述命题中，正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（共78分）
17．（14分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数．
（1）求实数；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
18．（14分）已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的减区间．
19．（14分）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上．
（1）求和的通项公式；
（2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.
20．（18分）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点．
（1）延长交于点（图1），求的值；
（2）过点的直线与边分别交于点（图2），设．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为的面积为，求的最小值．
21．（18分）若实数列的项数为，则称项数为的数列为的一个＂配对和＂数列，其中为的一个排列，即.例如：数列的一个＂配对和＂数列为．
（1）若为等差数列，求的所有常值＂配对和＂数列；
（2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值＂配对和＂数列，求等比数列的公比；
（3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个＂配对和＂数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由．
华东师大二附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知是第四象限的角，则点在 第象限.
【答案】二
2．若复数满足，则的虚部为 ．
【答案】-1
3．已知，则 ．（数字作答）
【答案】
4．记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了 项．
【答案】3
5．已知平面向量，则在方向上的投影向量为 ．
【答案】
6．已知等比数列中，，则等比数列的公比 ．
【答案】2或
7．已知向量，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
8．方程的两根均为虚数，且两根的模的和为2，则实数 ．
【答案】
9．已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则 ．
【答案】2025
10．正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点.点为平面上一点，满足，则的最小值为 ．
【答案】－7
11．如图，是某水域的两直线型岸边，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（分别在上），围成养殖区．若都不超过8，则隔离网长度的取值范围是 ．
【答案】
12．已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）
13．已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．已知复数，下列说法错误的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C.若，则与共线 D．若，则
【答案】B
15．设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
16．设函数，其中为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则；则上述命题中，正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
三、解答题（共78分）
17．（14分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数．
（1）求实数；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵
∵为纯虚数，∴，解得，故，则．
（2）∵，∴,
∵复数对应的点在第二象限，∴，解得,
故实数的取值范围为．
18．（14分）已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的减区间．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为函数的最小正周期为，
所以，可得，故，所以．
（2）由（1）可得，
由，解得
故函数的单调递减区间为：．
19．（14分）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上．
（1）求和的通项公式；
（2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
所以当时，，所以，
所以，所以，又，
所以从第二项开始是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
又因为符合，所以
因为点在函数的图象上，所以，即，
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以；
（2）因为是所有的正偶数，又，所以，
所以
20．（18分）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点．
（1）延长交于点（图1），求的值；
（2）过点的直线与边分别交于点（图2），设．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为的面积为，求的最小值．
【答案】（1） （2）（i）证明见解析； （ii）．
【解析】（1）依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，因为三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）（i）根据题意，同理可得：，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，化简得，
即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，,
所以，
由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．
21．（18分）若实数列的项数为，则称项数为的数列为的一个＂配对和＂数列，其中为的一个排列，即.例如：数列的一个＂配对和＂数列为．
（1）若为等差数列，求的所有常值＂配对和＂数列；
（2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值＂配对和＂数列，求等比数列的公比；
（3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个＂配对和＂数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） （3）不存在
【解析】（1）一方面，数列的任意＂配对和＂数列的各项之和等于的各项之和，所以若有两个常值＂配对和＂数列以及，则，即，
即只存在一个常值＂配对和＂数列.
另一方面，由等差数列的性质，为的一个＂配对和＂数列，因此，有且只有一个常值＂配对和＂数列：；
（2）若，且，则递增，所以的常值＂配对和＂数列只能是：，否则必有两项不相等.
注意到若，则，由此可知，即，矛盾.
同理，若此时，也矛盾.因此时，有.同理，当时，也有.
综上，等比数列的公比.
（3）此时，由于改变各项顺序不影响＂配对和＂数列的存在与否，
故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：.
注意到数列的任意＂配对和＂数列的各项之和等于的各项之和.
因此，若假设存在两个＂配对和＂数列和，
使得和分别是数列的前3项和后3项，那么数列的各项之和为0，
又数列的各项均非零，故.
由于数列和构成数列，所以存在.
因为此时是数列中最小的项，故且；
同理，存在，其中且．
由此可知，数列的大小排序为：
因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况：
①一组：由于，故只能写成中的某两个和，
则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！
②一组：矛盾理由与情况1同理！
③一组：则只能，
由于可得矛盾！
同理：不能一组，故可得不能一组！
同理：不能一组！
而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！
同理：也显然不能一组！
则可能情况只能还有以下两种可能：
④一组：则，作差得矛盾！
⑤一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！
因此各项非零的数列不存在两个＂配对和＂数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项.