2024-2025学年上海徐汇区学高二下学期数学期末试卷（含答案）

徐汇区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末统考
2025.6
一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．平面上两条相交直线夹角的取值范围是________．
2．若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留）
3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________．
4．若，且，则所有可能的值为________．
5．对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若高校专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有________人能报考该专业．
6．某校高中一年级共有男生204名，女生221名．徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生名，则的值为________．
7．设，且，与（其中是虚数单位）在复平面上对应的点分别为与，则线段的长度为________．
8．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小和质地相同的小球中，随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为________．
9．已知等差数列的公差，且，则________．
10．已知抛物线，焦点为，若第一象限的点、均在抛物线上，且满足、、，则所在直线的斜率为________．
11．在平面直角坐标系中，圆上一质点从点出发按逆时针方向作匀速圆周运动，角速度大小为1弧度/秒，该圆上另一质点同时从点出发按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度大小也为1弧度/秒，设运动时间为秒．当与夹角最大时，所有满足条件的的取值组成的集合为________．
12．半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）．
13．如果事件与事件独立，且，，、分别是、的对立事件，那么以下等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ）
A． B． C． D．
15．若存在实数、，使得函数的图像将圆分成周长、面积均相等的两部分，则称函数为“美好函数”．若从“，，，，，”这6个表达式中随机选一个，则函数是“美好函数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．给定两个不共线的向量、，且对任意正整数，和同时成立．则关于以下两个命题的判断，正确的是（ ）
①对任意正偶数，均存在正整数，使得与共线；
②存在正整数，对任意正偶数，均有与不共线．
A．①、②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①、②都错误
三、解答题（本大题共有5题，满分56分）．
17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值．
18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
设（其中）．
（1）若，、、为的三个内角，其中，，，求线段的长度；
（2）若函数最小正周期为，求函数的值域．
19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下：
组：10．5，11．5，12．5，13．5，14．5，15．5，16．5；
组：12，13，15，16，17，14，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立．
（1）从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率；
（2）若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求证：，并求点到直线的距离．
21．本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．
（1）写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积；
（2）设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程；
（3）若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7. ;
8.; 9. ; 10.； 11. 12.
11．【答案】
【解析】经时间后，与轴正向所成的角为，与正向所成的角为，依题设有，，解得，又，可得或，此时为或
12．【答案】
【解析】设球缺（球的截面分球的两个部分）所在球体的半径为，球缺的高度为（球垂直于截面的半径的端点到截面的距离），则易有截面的半径，类比球体积的推导方法，构造一个底面半径的圆柱，里面挖去底面为圆柱下底面，顶点为上底面的圆心的圆锥，则可以算得在任意高度，两个几何体的截面面积均为
，故两个几何体的体积相等，则得所在球体的半径为，高度为的体积（也得在得到截面面积后，利用积分/找原函数的方法得到体积公式），由可知越大，体积越大，故当截面垂直于时，取较大的球缺的体积为，较小的为，可有所求最小值为
二、选择题
13. C 14. D 15. B 16. A
15．【答案】A
【解析】依题意，“美好函数”应该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区间长度超过4
16．【答案】A
【解析】设，则可有，其中与不共线.要使与共线，则.
（1）对任意的正偶数，总存在正整数，使得与共线，故（1）对
（2）取，则，故不存在正偶数使得与共线，故（2）对
三．解答题
17.（1） （2）（注意指出各项均不为零）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（1） （2）
21．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（2）取，顺次连接，易有四边形为平行四边形，且平行四边形在“果圆”内部，所以当与平行四边形有公共点时，直线截“果圆”所得的弦长必然大于，不合题意，所以与“果圆”的两个交点均在上，由的斜率，可设的方程为，将它与的方程联立，消整理得，设，则有
又因为
代入解得，故直线的方程为
（3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积
设圆的圆心，半径为，则圆的方程为，
易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有
设上有任意一点，则，
当时，；当时，
同理，设上有任意一点，可有
记
易有，当时，，此时圆面积
故圆心为，半径为的圆，符合题意