2024-2025学年上海黄浦区学高一下学期数学期末试卷（含答案）

黄浦区2024-2025学年第二学期高一年级数学期末统考
2025.6
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题．
1．函数的最小正周期是 ．
2．若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴质合，终边经过点，则角的正弦值为 ．
3．若（i为虚数单位），则 ．
4．已知向量，若，则等于 ．
5．已知数列是公差不为零的等差数列，．若成等比数列，则 ．
6．满足的角的集合为 ．
7．若，则的值为 ．
8．已知，则与的夹夹为 ．
9．若，则 ．
10．设的内角的对边分别为，若，则 ．
11．将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②：依此类推，可得图③，图④，．设从左到右第个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的的最小值为 ．
12．在中，，若点满足，则的正切值为 ．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．
13．已知，则角的终边在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（ ）．
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
15．已知，且，则（i为虚数单位）的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
16．若函数满足：对于集合内的任意，都存在，使得，则称函数在上具有性质．对于命题：
（1）若函数在上具有性质，则的取值范围是；
（2）函数在上具有性质，
则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A．（1）和（2）均为真命题 B．（1）为真命题，（2）为假命题
C．（1）为假命题，（2）为真命题 D．（1）和（2）均为假命题
三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题．
17．（本题满分8分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
已知．
（1）求的值；（2）求的值．
18．（本题满分8分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
设的顶点的坐标分别为．
（1）若，求点的坐标；
（2）过点作，垂足为，求的坐标．
19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
已知关于的方程．
（1）若（i为虚数单位）是该方程的一个根，求与的值；
（2）已知是该方程的两个复数根，且，若，求的值．
20．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园，若已知扇形的圆心角（即）为，半径，点分别为的中点，是弧上的动点，且四边形是矩形或以、为底的梯形．
（1）若四边形是矩形，试求的正弦值；
（2）设四边形的面积为（单位：），的中点为．试从与中选择一个角并设其大小为，写出随变化的函数表达式，并求的最大值．
21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．
设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：10,1与．从而．
（1）求；
（2）若是首项为2，公比为2的等比数列，求；
（3）若，则与之间有何关系？请求出的通项公式．
黄浦区2024-2025学年第二学期高一年级数学期末统考
2025.6
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题．
1．函数的最小正周期是 ．
【答案】
2．若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴质合，终边经过点，则角的正弦值为 ．
【答案】
3．若（i为虚数单位），则 ．
【答案】
4．已知向量，若，则等于 ．
【答案】
5．已知数列是公差不为零的等差数列，．若成等比数列，则 ．
【答案】
6．满足的角的集合为 ．
【答案】
7．若，则的值为 ．
【答案】
8．已知，则与的夹夹为 ．
【答案】
9．若，则 ．
【答案】
10．设的内角的对边分别为，若，则 ．
【答案】
11．将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②：依此类推，可得图③，图④，．设从左到右第个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的的最小值为 ．
【答案】
12．在中，，若点满足，则的正切值为 ．
【答案】
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．
13．已知，则角的终边在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
14．设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（ ）．
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
15．已知，且，则（i为虚数单位）的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
16．若函数满足：对于集合内的任意，都存在，使得，则称函数在上具有性质．对于命题：
（1）若函数在上具有性质，则的取值范围是；
（2）函数在上具有性质，
则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A．（1）和（2）均为真命题 B．（1）为真命题，（2）为假命题
C．（1）为假命题，（2）为真命题 D．（1）和（2）均为假命题
【答案】B
三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题．
17．（本题满分8分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
已知．
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵，2分
∴，4分
（2）由，6分
∴．8分
18．（本题满分8分）本题共2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
设的顶点的坐标分别为．
（1）若，求点的坐标；
（2）过点作，垂足为，求的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设是坐标原点，
由，2分
可得，
故点的坐标为．4分
法二：由，可知，设点的坐标为，
则，故点的坐标为．4分
（2）设，则，
由，可知，所以，解得，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
另法：∵是在方向上的投影，，
∴．．．．．．．．．．．．8分
19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
已知关于的方程．
（1）若（i为虚数单位）是该方程的一个根，求与的值；
（2）已知是该方程的两个复数根，且，若，求的值．
【答案】（1） （2）1或
【解析】（1）由是的一个根，可知是该方程的另一根．
所以．．．．．．．．2分
另法：由是的一个根，
可知，即，．．．．．．．2分
所以且，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）由是该方程的两个复数根，可知，
当，即时，
有，
解得或3，故此时的值为1．．．．．．．．7分
当，即或时，有，
解得，故此时的值为．所以的值为1或．．．．．．．．10分
法二：若都是实数，则
且，可得．
若都是虚数，则
且可得．
所以的值为1或．．．．．．．．10分
20．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园，若已知扇形的圆心角（即）为，半径，点分别为的中点，是弧上的动点，且四边形是矩形或以、为底的梯形．
（1）若四边形是矩形，试求的正弦值；
（2）设四边形的面积为（单位：），的中点为．试从与中选择一个角并设其大小为，写出随变化的函数表达式，并求的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）在图①中，设点是的中点，连，它与交于，则有，
由，可知，
又是等腰直角三角形，故．
又，2分
为锐角，故，
所以．．．．．．．4分
法二：，．．．．．．．．2分
在中，由，
可得．．．．．．．．．4分
法三：在中，由，
可得，
又是锐角，故，
所以
．．．．．．．．4分
法四：先求出，又，可得．
（2）在图②中，设与交于，由点是的中点，
同（1）可知．
设，则，
，
所以.
．．．．．．．．7分
令，则
（当且仅当时取等号）
故的最大值为．．．．．．．．．10分
法二：设，则同上述解法可得
，
又，故
.．．．．．．．．．8分
又
（当且仅当时取等号），
故的最大值为．.．．．．．．．．．10分
21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．
设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：10,1与．从而．
（1）求；
（2）若是首项为2，公比为2的等比数列，求；
（3）若，则与之间有何关系？请求出的通项公式．
【答案】（1）， （2）
（3），
【解析】（1）当时，可以含有2个10,1个10和0个10，
故所有不同的共有3个，即；.．．．．．．．．．2分
当时，除了数列100,1之外，可以含有10个个个10，共有11种不同情形，故所有不同的共有12个，即．.．．．．．．．．．4分
（2）由是首项为2，公比为2的等比数列，可知，
又，
，..．．．．．．．．．．．6分
，
所以．.．．．．．．．．．8分
（3）当时，将分成两类：至少含有一个100和不含100．
对于前一类情形，去掉首项（该项是100）之后，设剩下的项按原来的顺序组成的数列为，则的所有项的和为，且它可以是同时满足条件①②③的任意数列，
因此这一类情形中的数列的个数应等于的个数，即等于.
对于后一类情形，其中含有10的个数可以是：，
共有种情形，因此这一类情形中的数列的个数为．
故．.．．．．．．．．．11分
从而当时，，
又当时，也成立，故的通项公式.．．．．．12分