2024-2025学年上海奉贤区高二下学期数学期末区统考试卷（含答案）

奉贤区2024~2025学年高二下学期期末考试
2025.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．抛物线的焦点坐标为___________．
2．在等差数列中，已知，则___________．
3．在平面直角坐标系中，，则___________．
4．已知，则曲线在点处的切线方程为___________．
5．已知直线与圆相交于两点，则___________．
6．某班要选举班干部，现有10名候选人，从这10名候选人中任选5人组成班委，有___________种不同的选法．（结果用数字表示）
7．在的二项展开式中系数最大的项的系数是___________．（结果用数字表示）
8．某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差，已知每包糖果的实际质量服从的正态分布，随意买一包该公司生产的糖果，其质量误差超过5g（即）的可能性为___________．（结果精确到）
（参考数据：若，则，
9．若点在曲线上，点在曲线上，定义．已知有两条直线分别为，则___________．
10．设函数，其中，定义域为．对于，定义，则___________．
11．已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是___________．
12．点是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点．若组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有___________种情况.
二、单项选择题（本题共4小题，13~14每小题4分，15~16每小题5分，共18分．）
13．已知变量与负相关，且由观测数据得到样本的平均数，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ）.
A． B． C． D．
14．如图，在棱长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
15．函数图像上存在点，使得不等式成立，则称函数为“向心函数”，下列四个选项中，是向心函数的为（ ）.
A． B． C． D．
16．圆锥的母线长为6cm，下面有两个判断，则正确的判断是（ ）.
①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大．
②圆锥的体积可以取到88．
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①②都错误 D．①错误，②正确
三、解答题（本题共5小题，17~19题每题14分，20~21题每题18分，共78分．）
17．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 50 100
女性 70 100
合计
（1）完成上表，并根据以上数据判断是否有的把握认为我市市民网购与性别有关？
（2）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
参考公式：
18．如图，已知点为所在平面外一点，若平面.
（1）求证：面面；
（2）若与面所成的角的大小为，，求点到平面的距离．
19．已知无穷数列．若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”．
（1）若，判断与是否“伴随”，说明理由；
（2）已知数列的前项和为满足，证明：与“伴随”．
20．如下图3所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作，点在第一象限，点在第三象限．
（1）如图3，设，，求点的坐标和；
（2）如图4，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积；
（3）如图5，在轴右侧的曲线上有两点，直线经过点（点在上）. 当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由．
21．已知函数，数列满足且．对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质T．
（1）任意取一个，判断函数是否具有性质T；
（2）函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质T；
（3）求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质T，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.5
11．已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】由得，化简得恒成立，所以，即，从而可得，∴.
设，以为轴建系，则，再设，
则
.
其几何意义为圆上的一动点到两定点的距离之和.
经计算可知：直线恰好与圆相切，故位于切点时，可使得线段之和最小，最小值为，如图所示.
12．点是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点．若组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有___________种情况.
【答案】5
【解析】依题意可得：共有如下6种情况，分别对应的离心率为：①；②；③；④5；
⑤；⑥.
① ②
③ ④
⑤ ⑥
二、选择题
13.B 14. D 15.B 16.B
16．圆锥的母线长为6cm，下面有两个判断，则正确的判断是（ ）.
①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大．
②圆锥的体积可以取到88．
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①②都错误 D．①错误，②正确
【解析】设母线与底面所成角为，则半径，高为，
则.
设，并设，则可得，其中.
易得，令得（负舍）.
则时，，单调递增；
时，，单调递减；
所以当时，即时，，
此时，所以①对，②错，选B.
三、解答题
17.（1）有关；（2）.
18.（1）证明略；（2）.
19.（1）不伴随，理由略；（2）证明略.
20．如下图3所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作，点在第一象限，点在第三象限．
（1）如图3，设，，求点的坐标和；
（2）如图4，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积；
（3）如图5，在轴右侧的曲线上有两点，直线经过点（点在上）. 当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）9；（3）.
【解析】（1）根据对称性可知：，代入曲线方程得；
由可知，即；可求得；
（2），由得，此时曲线为和.
根据对称性，只需考虑第一象限内的情况即可.
设直线方程为，联立得. 由得.
所以直线为，所以四边形面积为.
（3）时，由得，此时曲线为和.
当所在直线与所在直线关于直线对称时，.
根据对称性可知，∴直线的方程为，即.
联立得，得，并不是轴右侧，故不存在符合要求的直线.
21．已知函数，数列满足且．对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质T．
（1）任意取一个，判断函数是否具有性质T；
（2）函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质T；
（3）求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质T，说明理由．
【答案】（1）不具有性质T；（2）；（3）不具有性质T.
【解析】（1）对于，，，此时，并不满足，故不具有性质T；
（3）由得.
所以的单调递增区间为，单调减区间为.
所以的最小值为.
再设. 则.
即在单调递减，且.
所以当时，，即，即时，；
当时，，即，即时，.
若时，可得，且，∴，
∴，，故，故当时，函数不具有性质T.