2026年高考数学复习资料 真题分类汇编—等差数列（含解析）

等差数列（精讲精练）
考向一 等差数列基本量的计算
【例 1-1】（2025·山东德州·三模）已知Sn 为等差数列 an 的前n 项和， a2 4, S5 3a4 6 ，则a8 （ ）
B．8 C．16 D．32
【例 1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 S4 S1 9, a1 a4 5 ，则 an 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若Sm 3, Sm 1 0, Sm 2 4 ，则m （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【一隅三反】【公众号：林樾数学】
1．（2025·北京·高考真题）已知 an 是公差不为零的等差数列， a1 2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10 （ ）
20
18
C．16 D．18
2.（2025·福建·模拟预测）已知 Sn 为等差数列 an 的前n 项和，若 a3 S3 2 ， a4 S4 6 ，则 S9 （ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若S5 2S3 , a1 a8 10 ，则公差d 为（ ）
1 1 2
A． 4 B． 2 C． 3 D．1
4．（2025·浙江·三模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知a2 3 ， S5 25 ，则a3 2a6 （ ）
5．（2025·山西·二模）已知等差数列{an }公差不为 0，记其前 n 项和为 Sn ，若a6 a5 a7 ， S2k a2k ，则正整数 k
的值为（ ）
B．6 C．8 D．12
考向二 等差中项及应用
【例 2-1】（2026 高三·全国·专题练习）若a 是 1 和 3 的等差中项， b 是 1 和 4 的等比中项，则 a 的值为（ ）
b
1
2
1
2
C．1 D． 1
【例 2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且a2 a4 6 ，则 S5 （ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
【例 2-3】（2025·广西·三模）在公差不为 0 的等差数列 a 中，若a 是a 与a 的等差中项，则 1 4 的最小值
为（ ）
3 5
n 3 x y x y
6 9
A． 2 B． 3 C． 5 D． 5
【例 2-4】（2025·山东·一模）已知(1 2x)n n N* 的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数成等差数列，则n （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列 an 的前n 项和为Sn ，若a3 a10 a6 4 ，则 S13 （ ）
B．60 C．68 D．52
2．（23-24 浙江）在V ABC 中，三个内角 A, B,C 成等差数列，则sin A C （ ）
1
A． 2
B． 2
2
C． 3
2
D．1
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a, b R ， b 为a 和2 的等差中项，则3a 1 的最小值为（ ）
9b
1 1 2
A． 3 B． 2 C． 2 D． 3
4（2025·安徽淮北·二模）若实数m 和n 的等差中项为 1，则m2 n2 的最小值为 .
考向三 等差数列前 n 项和最值
【例 3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若a5 2 ， a3 a8 12 a7 ，则 Sn 的最小值
为（ ）【公众号：林樾数学】
A． 14
B． 49
4
C． 12
D． 10
时n 的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
【例 3-3】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列{an }是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若a3 a10 0 ，S11 0 ，则数列{Sn } 中最小的项是（ ）
S4
S5
S6
S7
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，且a2 2a1 2 ，则满足 Sn 888的 n 的最大值为
（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列 an 的前n 项和为Sn ，若a5 a8 0 ， S11 0 ，则 Sn 的最大值为（ ）
A． S5
B． S6
C． S7
D． S8
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为0 的等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若a7 2 ， a9 , a5 , a13 成等比数列，则满足Sn 0 的n 的最大值为（ ）
A． 8 B． 9 C．13 D．14
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）许多已知等差数列 an 的公差d 0 ，其前 n 项和记为 Sn ， a1 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 an 中有最大项 B．数列 Sn 中有最小项
C．若a a 0 ，则 55 S10 45
D．若 S
a ， S
a ，则 S 取最小值时n 9
10 11 d
20 20
21 21 n
考向四 等差数列片段和的性质
【例 4-1】（24-25 广西）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，且 S4 2, S8 6 ，则 S12 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【例 4-2】（24-25 河南）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S6 7, S12 21 ，则 S24 （ ）
A．56 B．105 C．112 D．189
【例 4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列 a 的前n 项和为 S ，若 S14 7 ，则 S21 （ ）
18 3
n n
7
11
S14
11
A． 7 B． 2 C． 7 D． 6
【例 4-4】（2024 高三·全国·专题练习）设等差数列 an 的前n 项和为Sn ，若 S12 288, S9 162 ，则S6 （ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【一隅三反】
1．（24-25 江西）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 S3 12 ， S6 S3 24 ，则 S12 S9 （ ）
A．36 B．48 C．60 D．120
2．（24-25 四川）已知Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S20 15 ， S40 40 ，则 S60 （ ）
A．75 B．65 C．50 D．55
3．（2024·河南周口·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，已知 S3 4, S6 10 ，则a16 a17 a18 （ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 S9 6 ，则 S12 的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
5．（2025·四川）设等差数列 an 的前n 项和 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则a7 a8 a9 （ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
6．（24-25 河南·阶段练习）已知等差数列{a }的前n 项和为S ，若 S3 3 ，则 S12 （ ）
n n
6 9
3 3 5
A． 7 B．3 C． 2 D． 3
考向五 等差数列和与 n 的比值
【例 5-1】（2025·江西）已知数列 a 和 b 都是等差数列，且其前 n 项和分别为S 和T ，若 Sn 3n 1 ，则 a5

n n
（ ）
16 28 10
n n 2n 5 b
34
A． 15 B． 23 C． 11 D． 27
【例 5-2】（24-25 四川）已知等差数列 a ， b 的前n 项和分别为 S ，T ，若 Sn 2n ，则 a2 a8 （ ）
n n n n
T 3n 1
b b
20 5
n 3 7
10 9
A． 31 B． 8 C． 13 D． 14
【例 5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知Sn ， Tn 分别是等差数列 an ， bn 的前 n 项和，且
Sn 2n 1 n N* ，则 a3 a8 （ ）
Tn 4n 2
7
b4 b7
11
b5 b6
21 17
A． 10 B． 18 C． 38 D． 30
【例 5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列 a ， b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn n ，则 a5 （ ）
n n
5 9 9
n n 2n 1 b
3
A． 9 B． 17 C． 20 D． 5
【例 5-5】（23-24 湖北武汉）在等差数列 a 中， a 1，其前 n 项和为 S ，若 S8 S6 2 ，则 S 等于（ ）
n 1 n 8 6 10
A．10 B．100 C．110 D．120
【例 5-6】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列 a 的前 n 项和为 S ，且 S7 S3 4 ，则a a （ ）
n n 7 3 9 6
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·河南·期末）已知 S 与T 分别是等差数列 a 与等差数列 b 的前 n 项和，且 Sn 6n ，
则 a1
b6 b2020
a2025 b4 b2022
n n
（ ）
Tn n 2025
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列 an ， bn 均为等差数列，其前n 项和分别为Sn，Tn ，满足(2n 3)Sn (3n 1)Tn，则 a7 a8 a9 （ ）
b6 b10
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（2025 湖北）已知 S ,T 分别是等差数列 a , b 的前项和，且 Sn 2n 1 (n N* ) ，则 a10 a11 （ ）
n n n n
T 4n 2
b b b b
21 23
n
43 41
3 18 6 15
A． 38 B． 42 C． 82 D． 78
4．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列 a 和 b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn 3n 4 ，则
a3 a8 （ ）
b2 b9
n n n n
Tn n 2
17 37 37 17
A． 13 B． 13 C． 6 D． 6
5．（2025·江苏）已知两个等差数列 a 和 b 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 Sn = 2n 70 ，则 a7 的值为（ ）
n n
48 42 84
Tn n 3 b6
1
A． 7 B． 5 C． 9 D． 4
6．（23-24 河北保定·期末）已知数列 a 满足a a 6 ， a 的前n 项和为S ，则 S2024 S2022 （ ）
n n 1 n n
n 2024 2022
A．12 B． 6 C． 3 D． 2
7．（2025·贵州）等差数列 a 的前n 项和为S ，若 S2021 S2020 1 且a 3 ，则( )
n n 2021 2020 1
A． an 2n 1 B． an n 1
C． S 2n2 n D． S 4n2 n
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝﹣2018， S2019 S2013
2019 2013
6 ，则 S2020
等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例 6-1】（2025 河南）一个等差数列共 100 项，其和为 80，奇数项和为 30，则该数列的公差为（ ）
1 1 2
A． 4 B．2 C． 3 D． 5
【例 6-2】（2025 陕西）等差数列 an 共 2n+1 个项，且奇数项和为 165，偶数项和为 150，则 n=（ ）
A．10 B．13 C．11 D．22
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列 an 的前 30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为 B ，且 B A 45 ，
2 A B 615 ，则an （ ）
3n 2
3n 1
3n 1
3n 2
2．（2025 河南）已知等差数列 a 的公差d 1 ， a a a 80 ，那么 S （ ）
n 2 2 4 100
100
A．80 B．120 C．135 D．160
3．（2025 上海）设等差数列的项数n 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
n 1
n
2n 1
n
2n 1
2n
n 1
n 1
考向七 等差数列的证明与判断
【例 6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列 a 满足a 3 ， an 1 an 1 ，证明： na 为等差数列；
n 1 n n 1 n(n 1) n
【例 6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列 a 的前项和为 S ，a 1，且na S n2 n ，证明：数列 Sn
为等差数列；
n n 1
n 1 n

【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列 a 的前n 项和为S ， a 3S S 0 ， a 1 ．
1
n n n 1
n n 1 1 3
证明：数列

为等差数列；
n
求 an 的通项；
1
求 a 的最大值．
n
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记 Sn 为正项数列 an 的前n 项和，且a1Sn n 1 an .
求a1 的值；
判断 an 是否为等差数列，并求 a 的通项公式；
n

4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列 a 满足a 2 ， a an , n为奇数，数列 b 满足b a ．
n 1 n 1
a 1, n为偶数
n n 2n 1
n
证明：数列 bn 为等差数列；
求数列 bn 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
考向八 含绝对值的等差数列的前 n 项和
【例 7-1】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）记等差数列 an 的前n 项和为Sn ，已知a1 11， S3 S9 .
求 an 的通项公式；
记数列 an 的前n 项和为Tn ，求T100 .
【例 7-2】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列 an 的前n 项和为 Sn ，且a1 2, an 1 Sn 2 .
求数列 an 的通项公式；
设b
log a2 11，求数列 b 的前n 项和T .【公众号：林樾数学】
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an , a1 10 ，记 Sn 为 an 的前n 项和，从下面①②③中再选取一
个作为条件，解决下面问题．① 2a a 0；② S 55 ；③ S7 S5 2 ．
5 8 11 7 5
求Sn 的最小值；
设 an 的前n 项和为Tn ，求T20 ．
2（2023·全国乙卷·高考真题）记 Sn 为等差数列 an 的前n 项和，已知a2 11, S10 40 ．
求 an 的通项公式；
求数列 an 的前n 项和Tn ．
考向九 等差数列的简单应用
【例 8-1】（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于 2024年 4 月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km ，以后每秒钟通过的路程都增加3km ，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．【公众号：林樾数学】
A．10 B．11 C．12 D．13
【例 8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，七七数之剩二(除以 7 余 2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数 p( p 1) 满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数 p 按照从小到大的顺序排成一列，构
成数列 a ，记数列 a 的前 n 项和为 S ，则 2Sn an 23 的最小值为（ ）
n n n n
A．26 B．36 C．38 D．46
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A． 9 升 B．10.5 升 C．12 升 D．13.5 升
2．（2025 江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸 B．秋分的晷长为 75 寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸【公众号：林樾数学】
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下 3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个.这些物品
的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前 5 个数的和为
（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
等差数列（精讲精练）解析版
考向一 等差数列基本量的计算
【例 1-1】（2025·山东德州·三模）已知Sn 为等差数列 an 的前n 项和， a2 4, S5 3a4 6 ，则a8 （ ）
B．8 C．16 D．32
【答案】C
【解析】设等差数列 a 的公差为d ，由题意得 a1 d 4
，解得 a1 2 ，所以a a 7d 16 .
5a1 10d 3a1 9d 6
d 2 8 1
故选：C
【例 1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 S4 S1 9, a1 a4 5 ，则 an 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为 S4 S1 9, a1 a4 5 ，所以a2 a3 a4 3a3 9 ，解得a3 3，又a1 a4 a2 a3 5 ，所以a2 2 ，所以公差为a3 a2 1.故选：A．
【例 1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若Sm 3, Sm 1 0, Sm 2 4 ，则m （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】方法一：由题意得： am 1 Sm 1 Sm 3 ， am 2 Sm 2 Sm 1 4 ，
则等差数列的公差d am 2
am 1
1，则a1
3 m ， Sm
m 3 m m m 1 3，所以m 6 .
2
方法二：因为等差数列的性质即 Sn 为等差数列，则 Sm Sm 2 2Sm 1 ，得 3 4 0 ，解得m 6 .
故选：C
【一隅三反】
m m 2
m 1
m m 2
1．（2025·北京·高考真题）已知 an 是公差不为零的等差数列， a1 2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10 （ ）
20
18
C．16 D．18
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为d , d 0 ，
因为a , a , a 成等比数列，且a 2 ，所以a2 a a
，即 2 3d 2 2 2d 2 5d ，解得d 2 或d 0 （舍
去），所以a10 a1 9d 2 9 2 16.故选：C.
2.（2025·福建·模拟预测）已知 Sn 为等差数列 an 的前n 项和，若 a3 S3 2 ， a4 S4 6 ，则 S9 （ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，因为a3 S3 2 ， a4 S4 6 ，故两式作差可得：
a a S S 4 ，即d a 4 ， a 4 ，又 S 9 a1 a9 9a ，故 S 36 .
4 3 4 3
故选：C.
4 5 9 2 5 9
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若S5 2S3 , a1 a8 10 ，则公差d 为（ ）
1 1 2
A． 4 B． 2 C． 3 D．1
【答案】C
【解析】由S 2S ，则 5(a1 a5 ) 2 3(a1 a3 ) ，即5a 6a ，所以5(a d ) 6a 5d a ，则a 4d ，
5 3 2 2
3 2 2 2 2 1
由a a 2a 7d 15d 10 ，则 d 2 .故选：C
1 8 1 3
4．（2025·浙江·三模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知a2 3 ， S5 25 ，则a3 2a6 （ ）
A．17 B．21 C．23 D．27
【答案】D
【解析】设等差数列 a 的公差为d ，由题意得 a1 d 3 ，解得 a1 1，所以a 2a 3a 12d 27 .故
5a1 10d 25
d 2
3 6 1
选：D.
5．（2025·山西·二模）已知等差数列{an }公差不为 0，记其前 n 项和为 Sn ，若a6 a5 a7 ， S2k a2k ，则正整数 k
的值为（ ）
B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{an }公差为d , d 0 ，由a6 a5 a7 ，得a6 2a6 ，解得a6 0 ，
a a 5d 5d ， a a (n 1)d (n 6)d ， S 5d (2k 6)d 2k ，
1 6 n 1
2k 2
因此 5d (2k 6)d 2k (2k 6)d ，整理得2k 2 13k 6 0 ，解得k 6 .故选：B
2
考向二 等差中项及应用
【例 2-1】（2026 高三·全国·专题练习）若a 是 1 和 3 的等差中项， b 是 1 和 4 的等比中项，则 a 的值为（ ）
b
1
2
【答案】D
1
2
C．1 D． 1
【解析】由题知2a 1 3 ，所以a 2 ，由b2 4 得b 2 ，所以 a 1 ．故选：D.
b
【例 2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且a2 a4 6 ，则 S5 （ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【解析】因为a a 6, 所以2a 6, a
3. 又因为 S
5 a1 a5 5a
15, 故选：C.
2 4 3 3
5 2 3
【例 2-3】（2025·广西·三模）在公差不为 0 的等差数列 a 中，若a 是a 与a 的等差中项，则 1 4 的最小值
为（ ）
3 5
n 3 x y x y
6 9
A． 2 B． 3 C． 5 D． 5
【答案】A
【解析】因为在公差不为 0 的等差数列 an 中， a3 是ax 与ay 的等差中项，所以2a3 ax ay ，所以 x y 6 ，
1 4 1 x y
1 4 1 5 y 4 x 1
2 3
y 4x
y 4
所以
x y 6
x y 6
x y
6 5
2
，当且仅当 x y
，即 x 2 ，
时等号

成立，所以 1 4 的最小值为 3 .故选： A .
x y 2
【例 2-4】（2025·山东·一模）已知(1 2x)n n N* 的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数成等差数列，则n （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】已知(1 2x)n n N* 的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数为C1 , C2 , C3 ，
依题意成等差数列，故2C2 C1 C3 ，得到： 2 n n 1 n n n 1 n 2 ，
n n n
2 1 3 2 1
化简得6 n 1 6 n 1 n 2 ，即： n2 9n 14 0 ，解得： n 7 或n 2 （舍去）故选：C
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列 an 的前n 项和为Sn ，若a3 a10 a6 4 ，则 S13 （ ）
B．60 C．68 D．52
【答案】D
【解析】a a a a a 4 ，∴ a 4 ，∴ S
13 a1 a13 13a
52 ，故选：D.
3 10 6 7 6 7
13 2 7
2．（23-24 浙江）在V ABC 中，三个内角 A, B,C 成等差数列，则sin A C （ ）
1
A． 2
【答案】C
B． 2
2
C． 3
2
D．1
【解析】因为 A, B,C 成等差数列，所以 A+C = 2B ；
又 A B C π ，所以3B π ，即 B π ，所以 A C 2B 2π ，所以sin A C sin 2 π 3 .故选：C.
3 3 3 2
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a, b R ， b 为a 和2 的等差中项，则3a 1 的最小值为（ ）
9b
1 1 2
A． 3 B． 2 C． 2 D． 3
【答案】D
【解析】由题知2b a 2 ，得到a 2b 2 ，所以3a 1
9b
32b 2 1
9b
9b 1 1
9b
1 9b 1 2
9 9b
2 ，
3
当且仅当 1 9b 1
9 9b
，即b 1 , a 1时，取等号.故选：D.
2
4（2025·安徽淮北·二模）若实数m 和n 的等差中项为 1，则m2 n2 的最小值为 .
【答案】2
【解析】若实数m 和n 的等差中项为 1，则m n 2 ， m2 n2 2mn ，即2 m2 n2 m n 2 ，
m n 2 22
即m2 n2 2 ，当且仅当m n 1取等号.故
2 2
m2 n2 的最小值为 2.故答案为：2.
考向三 等差数列前 n 项和最值
【例 3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若a5 2 ， a3 a8 12 a7 ，则 Sn 的最小值为（ ）
14
【答案】C
49
4
12
10
【解析】假设等差数列 an 的公差为d ，由a3 a8 12 a7 得a3 a7 12 a8, 2a5 12 a5 3d 12 a5 3d,
所以3d 12 3a5 12 6 6 ，所以d 2 ，故an a5 (n 5)d 2n 8 ，
n a a n 6 2n 8
7 2 49
则S 1 n n n 7
n
则 Sn
S3 S4 12 ．故选：C．
n 2 2
2 4
min

【例 3-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若a1 0 ， S9 S19 ，则当 Sn 取最小值时n 的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
【答案】C
【解析】由S9 S19 可得a10 a11 a19 0 ，由等差数列的性质可得： 5(a14 a15 ) 0 ，因a1 0 ，则等差数列 an 的公差d 0 ，即等差数列 an 为递增数列，
故a14 0, a15 0 ，即 Sn 取最小值时， n 的值为 14.故选：C.
【例 3-3】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列{an }是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若a3 a10 0 ，S11 0 ，则数列{Sn } 中最小的项是（ ）
S4
S5
S6
S7
【答案】C
【解析】因为 S
11(a1 a11 ) 11a
0 ，所以a 0 ，因为a a
a a
0 ，所以a 0 ，
11 2 6
6 6 7 3 10 7
所以公差d a7 a6 0 ，故当n 6 时， an 0 ，当n 7 时， an 0 ，所以当n 6 时， Sn 取得最小值，即{Sn } 中
最小的项是S6 ，故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，且a2 2a1 2 ，则满足 Sn 888的 n 的最大值为
（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】B
【解析】由已知可得a 1, a 2 ， a 的公差为a a 1，故 a n ，故 S 1 2 3 n n(n 1) ，
2 n
1 n n 2
令 n(n 1) 888 ，又n N* ，所以n 41 ，故 n 的最大值为 41，
2
验证 S41
41 42 861 888 ， S
2 42
42 43 903 888 ，所以 n 的最大值为 41.故选：B.
2
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列 an 的前n 项和为Sn ，若a5 a8 0 ， S11 0 ，则 Sn 的最大值为（ ）
A． S5
B． S6
C． S7
D． S8
【答案】B
【解析】因为数列 an 为等差数列，由a5 a8 0 a6 a7 0 ；
由S 0 11 a1 a11 0 a a 0 a 0 .所以a 0 .
11 1 11 6 7
所以等差数列 an 是首项为正数的递减数列，且前 6 项为正，从第 7 项开始为负数.所以 S6 最大.故选：B 3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为0 的等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若a7 2 ， a9 , a5 , a13 成等比数列，则满足Sn 0 的n 的最大值为（ ）
A． 8 B． 9 C．13 D．14
【答案】D
【解析】设数列 an 的公差为d ，
a1 6d 2
因为a 2 ， a , a , a 成等比数列，所以
a1 20
， 解得 ，
7 9 5 13
a 8d a 12d a 4d 2
d 3
1 1 1
所以an
23 3n ，故 Sn
n 20 (23 3n) n(43 3n)
.
2 2
由S 0 ，得 n(43 3n) 0 ，解得0 n 43 . ∵ n N ，∴ n 的最大值为14 .故选：D.
n 2 3
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（）许多已知等差数列 an 的公差d 0 ，其前 n 项和记为 Sn ， a1 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 an 中有最大项 B．数列 Sn 中有最小项
C．若a a 0 ，则 55 S10 45
D．若 S
a ， S
a ，则 S 取最小值时n 9
10 11 d
【答案】BC
20 20
21 21 n
【解析】对于 A，因为an a1 n 1 d ，且d 0 ，故 an 中无最大项，A 错误；
对于 B， a1 0 ， d 0 ，故 m N* ，a 0 ，a 0 ，则Sm 为 Sn 中的最小项（当am 1 0 时， Sm ， Sm 1 均
m 1
为 Sn 中的最小项），B 正确；
对于 C，若a a 0 ，则可知a 0， a 0 ，即a 9d 0 a 10d ，则可知 10 a1 9 ，故
10 11
10 11 1 1 d
S10 10a1 45d 10 a1 45 55, 45 ，C 正确；
d d d
对于 D，S20 a20 ，则可知 S19 0 ，则a10 0，又 S21 a21 ，则可知 S20 0 ，则a1 a20 0 ，即a10 a11 0 ，故a11 0 ，
故S10 最小，D 错误.故选：BC.
考向四 等差数列片段和的性质
【例 4-1】（24-25 广西）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，且 S4 2, S8 6 ，则 S12 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】因为 an 是等差数列，所以 S4 , S8 S4 , S12 S 8 也是等差数列，
所以2 S8 S4 S12 S8 S4 ，即2 6 2 S12 6 2 ，解得 S12 12 ．故选：C．
【例 4-2】（24-25 河南）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S6 7, S12 21 ，则 S24 （ ）
A．56 B．105 C．112 D．189
【答案】B
【解析】因为 S6 , S12 S6 , S18 S12 , S24 S18成等比数列，
即7,14, S 21, S S 成等比数列，所以142 7 S 21 ，解得 S 49 ，
18 24 18 18 18
又14 S S S 21 2 ，所以14 S 49 49 21 2 ，解得S 105 .
24 18 18 24 24
故选:B.
【例 4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列 a 的前n 项和为 S ，若 S14 7 ，则 S21 （ ）
18 3
n n
7
11
S14
11
A． 7 B． 2 C． 7 D． 6
【答案】A
【解析】在等差数列 an 中， S7 , S14 S7 , S21 S14 成等差数列，则2 S14 S7 S7 S21 S14 ，
设S m ，则 S 7m ，故2 7m m m S 7m ，解得 S 18m ，所以 S21 18m 18 .故选：A.
7 14
21 21
S14 7m 7
【例 4-4】（2024 高三·全国·专题练习）设等差数列 an 的前n 项和为Sn ，若 S12 288, S9 162 ，则S6 （ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【答案】D
【解析】因为差数列 an 中， S3 , S6 S3 , S9 S6 , S12 S9 成等差数列，
即 x 54 y, x 198 3y ，解得S6 y 72 ，故选：D．
【一隅三反】
1．（24-25 江西）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 S3 12 ， S6 S3 24 ，则 S12 S9 （ ）
A．36 B．48 C．60 D．120
【答案】B
【解析】由等差数列片段和的性质， S3 ， S6 S3 ， S9 S6 ， S12 S9 成等差数列，【公众号：林樾数学】故S9 S6 2( S6 S3) S3 36，则 S12 S9 2(S9 S6 ) (S6 S3 ) 48 .故选：B
2．（24-25 四川）已知Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S20 15 ， S40 40 ，则 S60 （ ）
A．75 B．65 C．50 D．55
【答案】A
【解析】由等差数列前n 项和的性质得： S20 , S40 S20 , S60 S40 成等差数列，
2 S40 S20 S20 S60 S40，即2 40 15 15 S60 40 ，解得 S60 75 .故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，已知 S3 4, S6 10 ，则a16 a17 a18 （ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由等差数列的片段和性质知， S3, S6 S3, S9 S6 , S12 S9 , S15 S12 , S18 S15
成等差数列，
由S3 4, S6 S3 6 ，得该数列首项为 4，公差为 2，所以a16 a17 a18 S18 S15 4 5 2 14 .故选：B 4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 S9 6 ，则 S12 的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】因为 an 是等差数列，所以 S3 , S6 S3 , S9 S6 , S12 S9 成等差数列，
又S3 S9 6 ，所以6, S6 6, 6 S6 , S12 6成等差数列，则6 S12 6 S6 6 6 S6 ，则 S12 0 .故选：A. 5．（2025·四川）设等差数列 an 的前n 项和 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则a7 a8 a9 （ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【解析】由题意得 S3 , S6 S3 , S9 S6 成等差数列，即9, 36 9, a7 a8 a9 成等差数列，
即2 36 9 9 a7 a8 a9 ，解得a7 a8 a9 45 .故选：C
6．（24-25 河南·阶段练习）已知等差数列{a }的前n 项和为S ，若 S3 3 ，则 S12 （ ）
n n
6 9
3 3 5
A． 7 B．3 C． 2 D． 3
【答案】C
【解析】由题意设 S3 3t ，则 S6 7t ，由{an }是等差数列，所以 S3, S6 S3, S9 S6 , S12 S9 , 也成等差数列，
所以 S S 2 7t 3t 3t 5t ，解得 S 12t ；S S 2 12t 7t 4t 6t ，解得 S 18t ，所以 S12 18t 3 ，
9 6
故选：C.【公众号：林樾数学】
9 12 9 12
考向五 等差数列和与 n 的比值
S9 12t 2
【例 5-1】（2025·江西）已知数列 a 和 b 都是等差数列，且其前 n 项和分别为S 和T ，若 Sn 3n 1 ，则 a5
n n
（ ）
16 28 10
n n 2n 5 b
34
A． 15 B． 23 C． 11 D． 27
【答案】B
【解析】对于等差数列的前 n 项和满足 S 2n 1 a ，知道 an S2n 1 ，故 a5 S9 3 9 1 28 .故选：B.
2n 1
n b T
b T 2 9 5 23
n 2n 1 5 9
【例 5-2】（24-25 四川）已知等差数列 a ， b 的前n 项和分别为 S ，T ，若 Sn 2n ，则 a2 a8 （ ）
n n n n
T 3n 1
b b
20 5
n 3 7
10 9
A． 31 B． 8 C． 13 D． 14
【答案】D
【解析】因为等差数列 an ， bn 的前 n 项和分别为 Sn ， Tn ，
9(a1 a9 )
所以我们对 a2 a8 进行变形，得到 a2 a8 a1 a9 2 S9 ，
b3 b7
b3 b7
b1 b9
9(b1 b9 ) T9
2
因为 Sn 2n ，所以 S9 18 9 ，即 a2 a8 9 ，故 D 正确.
Tn
故选：D
3n 1
T9 28 14
b3 b7 14
【例 5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知Sn ， Tn 分别是等差数列 an ， bn 的前 n 项和，且
Sn 2n 1 n N* ，则 a3 a8 （ ）
Tn 4n 2
b4 b7
b5 b6
7 11 21 17
A． 10 B． 18 C． 38 D． 30
【答案】C
【解析】因为 an , bn 是等差数列，
所以 a3
a8
10 a1 a10
a3 a8 a1 a10 2 S10
，又 Sn 2n 1 n N ，
b4 b7
b5 b6
b5 b6
b1 b10
10 b1 b10
2
T10
Tn 4n 2
a3
所以
b4 b7
a8 b5 b6
S10
T10
2 10 1 21 ，
4 10 2 38
故选：C.
【例 5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列 a ， b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn n ，则 a5 （ ）
n n
5 9 9
n n 2n 1 b
3
A． 9 B． 17 C． 20 D． 5
【答案】D
【解析】因为等差数列 a ， b 的前 n 项和分别为 S ， T ，所以 a5 S5 S4 ，
n n n n
b T T
4 4 3
因为 Sn
n
，所以可设S
kn2 ， T
kn 2n 1 ，则 S S
9k ， T T
15k ，所以 a5 9k
3 .
Tn
故选：D.
2n 1 n n
5 4 4 3
b4 15k 5
【例 5-5】（23-24 湖北武汉）在等差数列 a 中， a 1，其前 n 项和为 S ，若 S8 S6 2 ，则 S 等于（ ）
n 1 n 8 6 10
A．10 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】因为数列 a 是等差数列，则数列 Sn 也为等差数列，设其公差为d ，
n

则 S8 S6 2 2d ，则d 1，又因为 S1 a 1 ，所以 Sn 1 n 1 n ，所以 S n2 ，所以 S 100 .
8 6
故选：B.
1 1 n
n 10
【例 5-6】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列 a 的前 n 项和为 S ，且 S7 S3 4 ，则a a （ ）
n n 7 3 9 6
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
【答案】D
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，
n 1 a n n 1 d na n n 1
则 S S
1 1
d n n 1 d ，
n 1 n 2 2 a d a d
n 1
n n 1
n 1 2
1 2 2
数列 Sn 是公差为 d 的等差数列， S7 S3 4 d 4 ，解得： d 2 ， a a 3d 6 .故选：D.
7 3 2 9 6
【一隅三反】
1．（24-25 高三上·河南·期末）已知 S 与T 分别是等差数列 a 与等差数列 b 的前 n 项和，且 Sn 6n ，
则 a1
b6 b2020
a2025 b4 b2022
n n
（ ）
Tn n 2025
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知b6 b2020 b4 b2022 b1 b2025 ，
所以 a1 a2025 a1 a2025 S2025 6 2025 3. 故选：C
b6 b2020 b4 b2022 b1 b2025 T2025 2025 2025
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列 an ， bn 均为等差数列，其前n 项和分别为Sn，Tn ，满足(2n 3)Sn (3n 1)Tn，则 a7 a8 a9 （ ）
b6 b10
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【解析】因为数列 a , b 均为等差数列，可得a a a 3a 1 15a 1 S ，
n n 7 8 9 8 5
8 5 15
1 S
且b b b b ，又由T 15 b1 b15 ，可得b b 2 T ．因此 a7 a8 a9 5 3 S15 3 4 2 .
6 10 1 15
15 2
6 10
15 15
b b
2 2 T 2 3
故选：A．
6 10
15 T15 15
3．（2025 湖北）已知 S ,T 分别是等差数列 a , b 的前项和，且 Sn 2n 1 (n N* ) ，则 a10 a11 （ ）
n n n n
T 4n 2
b b b b
21 23
n
43 41
3 18 6 15
A． 38 B． 42 C． 82 D． 78
【答案】D
【解析】 S ,T 分别是等差数列 a , b 的前项和，故 an S2n 1 (n N* ) ，且b b
b b
b b ，故
n n n n b T
3 18 6 15 10 11
n 2n 1
a10 a11 a10 a11 a10 a11 S20 2 20 1 41 ，
b3 b18
故选：D
b6 b15
b10 b11
b10 b11
b10 b11
T20
4 20 2 78
4．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列 a 和 b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn 3n 4 ，则
a3 a8 （ ）
b2 b9
n n n n
Tn n 2
17 37 37 17
A． 13 B． 13 C． 6 D． 6
【答案】D
10 a1 a10
【解析】因为数列 a 和 b 均为等差数列，所以 a3 a8 a1 a10 2 S10
3 10 4 17 .
n n b b b b 10 b b T
10 2 6
故选：D.
2 9 1 10
1 10 10
2
5．（2025·江苏）已知两个等差数列 a 和 b 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 Sn = 2n 70 ，则 a7 的值为（ ）
n n
48 42 84
Tn n 3 b6
1
A． 7 B．
【答案】A
5 C． 9 D． 4
【解析】因为 Sn = 2n 70 ，所以可设 S kn 2n 70 ， T
kn n 3 ， k 0 ，
Tn n 3
所以a S S
588k 492k 96k ， b T T
54k 40k 14k ，所以 a7 96k 48 ，故选：A.
7 7 6
6 6 5
b6 14k 7
6．（23-24 河北保定·期末）已知数列 a 满足a a 6 ， a 的前n 项和为S ，则 S2024 S2022
（ ）
n n 1 n n
n 2024 2022
A．12 B． 6 C． 3 D． 2
【答案】B
【解析】 an 1 an 6 ， 数列 an 是以6 为公差的等差数列，
n 1 a n n 1 6
na n n 1 6
Sn 1 Sn
2 1 2
a
3n
a 3 n
1 3 ，
n 1
n n 1
n 1 1
数列 Sn 是以3 为公差的等差数列， S2024 S2022 2 3 6 .


故选：B.
2024 2022
7．（2025·贵州）等差数列 a 的前n 项和为S ，若 S2021 S2020 1 且a 3 ，则( )
n n 2021 2020 1
A． an 2n 1 B． an n 1
C． S 2n2 n D． S 4n2 n
【答案】A
【解析】设 a 的公差为 d，∵ S na n n 1 d ∴ Sn a n 1 d d n a d ，即{ Sn }为等差数列，公差
n n 1 2
n 1 2 2 1 2 n
为 d ，由 S2021 S2020
1知 d 1 d 2 ，故a
2n 1，S
n 3 2n 1 n 2 2n
﹒故选：A﹒
2 2021 2020 2
n n 2
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝﹣2018， S2019 S2013
2019 2013
6 ，则 S2020
等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，∴数列{ Sn }是等差数列．
n
∵a1＝﹣2018， S2019 S2013 6 ，∴数列{ Sn }的公差 d 6 1 ，首项为﹣2018，∴ S2020
2018+2019×1＝1，
2019 2013 n 6
∴S2020＝2020．故选：C．
2020
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例 6-1】（2025 河南）一个等差数列共 100 项，其和为 80，奇数项和为 30，则该数列的公差为（ ）
1 1 2
A． 4 B．2 C． 3 D． 5
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d ，则由条件可知：数列的奇数项之和为a1 a3 a5 a99 30 ，①
偶数项之和为a2 a4 a6 a100 80 30 50 ，②
由②-①，得50d 20 ，所以d 2 ，即该数列的公差为 2 .
5 5
故选：D.
【例 6-2】（2025 陕西）等差数列 an
共 2n+1 个项，且奇数项和为 165，偶数项和为 150，则 n=（ ）
A．10 B．13 C．11 D．22
【答案】A
【解析】等差数列 an
共 2n+1 个项，其中奇数项有n 1个，偶数项有n 个，
设等差数列 a 的公差为d ，奇数项和a a
a
n 1 a n 1 n 2d
n 1 a nd 165 ①，
n 1 3 2 n 1 1 2 1
偶数项和a a
a
n a d n n 1 2d
n a nd 150 ②，
2 4 2 n 1 2 1
①-②得a1 nd 15 ，则n 15 150, n 10 .故选：A
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列 an 的前 30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为 B ，且 B A 45 ，
2 A B 615 ，则an （ ）
3n 2
3n 1
3n 1
3n 2
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d ，首项为a1 ，则 B A 15d 45 ，所以d 3，
因为2 A B 615 ，即2A A 45 615 ，则 A 660 ，
等差数列的奇数项是以a1 为首项， 2d 为公差的等差数列，等差数列 an 的前 30 项中奇数项有 15 项，所以
A 15a 15 14 6 660，得a 2 ，
1 2 1
所以an a1 n 1 d 2 3 n 1 3n 1.
故选：B
2．（2025 河南）已知等差数列 a 的公差d 1 ， a a a
80 ，那么 S （ ）
n 2 2 4 100
100
A．80 B．120 C．135 D．160
【答案】C
【解析】在等差数列 a 中，公差d 1 ， a a a
80 ，
n 2 2 4 100
所以a a a a a
a 50d 80 50 1 55 ,
1 3 99 2 4
100 2
所以 S100 a1 a3 a99 a2 a4 a100 80 55 135 ，故选：C
3．（2025 上海）设等差数列的项数n 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
n 1
n
2n 1
n
2n 1
2n
n 1
n 1
【答案】D
【解析】由题知，奇数项有
n 1 2
项，偶数项有
n 1
项，
2
奇数项之和为 n 1 a
n 1 n 1
2 2
2 d n 1
n 1 d)，
2 1 2 2
n 1 n 3
( a1 2
偶数项之和为 n 1 (a d ) 2 2
2d n 1 (a n 1 d ，
2 1 2 2 1 2
n 1
所以奇数项之和与偶数项之和的比为
故选：D
n 1 ，
考向七 等差数列的证明与判断
【例 6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列 a 满足a 3 ， an 1 an 1
，证明： na 为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】由题意证明如下， n N* ，
n 1 n n 1
n(n 1) n
在数列 a 中， a 3 ， an 1 an
1 ，∴ n 1 a
na
1，即 n 1 a
na
1，
n 1 n n 1
n n 1
n 1 n
n 1 n
∴ nan 是以a1 3 为首项，1 为公差的等差数列.
【例 6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列 a 的前项和为 S ，a 1，且na S n2 n ，证明：数列 Sn
为等差数列；
n n 1
n 1 n

【答案】证明见解析；
【解析】由 S1 a1 1 ， na
n(S
S ) S
n2 n ，则nS
(n 1) S
n(n 1)，
1 1 n 1
n 1 n n
n 1 n
所以 Sn 1 Sn 1 ，故 Sn 是首项、公差均为 1 的等差数列；
n 1 n
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列 a 的前n 项和为S ， a
3S S
0 ， a 1 ．
1
n n n 1
n n 1 1 3
证明：数列

为等差数列；
n
求 an 的通项；
1
求 a 的最大值．
n
【答案】(1)证明见解析；
1 , n 1
3
an


1
3n n 1
；
, n 2
3.
【解析】（1）因为a
S S
，所以 S S
3S S ，故 1
1 3 ，
n 1
n 1 n
n n 1
n 1 n
Sn 1 Sn
又 1 1 3 ，所以 1 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列．
S1 a1

n
1
（2）由（1）知
n
3 n 1 3 3n Sn
3n ，
当n 2 时， a
3 1 1
1 ，
n 3n 3n 3
3n n 1

而n 1 时， a 1 不满足题意，
n 3
1 , n 1
3
所以an


1
3n n 1
.
, n 2
1
（3）由（2）知，当n 2 时，
n
3n n 1 0 ，
又 1 3 0 ，所以， 1 的最大值为 1 3.
a a a
1 n 1
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记 Sn 为正项数列 an 的前n 项和，且a1Sn n 1 an .
(1)求a1 的值；
(2)判断 an 是否为等差数列，并求 a 的通项公式；


【答案】(1) a1 2
(2) an 是常数列，也是等差数列， a
n
n
2n .
【解析】（1）令 n 1 可得a2 2a ， 又a 0 ，故a 2 .
1 1 1 1
（2） 2Sn n 1 an ，① 2Sn 1 n 2 an 1 ，②
由②-①，得2a n 2 a n 1 a ，即na n 1 a 故 an 1 an ，故 an 是常数列，也是等差数列
n 1
故 an a1 2 ，故a
2n .
n 1
n n 1
n n 1 n

n 1 n
3．（2025·河南许昌·三模）在数列 an 中， a1 0, a2 4 ，且an 2 2an 1 an 2 ，证明： an 1 an 是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】 在数列 an 中， a1 0, a2 4 ，且an 2 2an 1 an 2 ，
a 2 an 1 an 1 an 2a 1 a 2 an 1 a 1 an 2 ，
an 1 an 是首项为a2 a1 4 ，公差为 2 的等差数列．
4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列 a 满足a 2 ， a
an ,
n为奇数，数列 b 满足b a ．
n 1 n 1
a 1, n为偶数
n n 2n 1
n
(1)证明：数列 bn 为等差数列；
(2)求数列 bn 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
【答案】(1)证明见解析
(2) bn
n 1
， Sn
n2 3n 2
【解析】（1） bn 1 bn a2n 1 a2n 1 a2n 1 a2n 1 1 ，
所以数列 bn 为等差数列，首项为b1 a1 2 ，公差为 1.
（2） bn
2 n 1 1 n 1
， Sn
2 n 1 n n2 3n
2 2
考向八 含绝对值的等差数列的前 n 项和
【例 7-1】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）记等差数列 an 的前n 项和为Sn ，已知a1 11， S3 S9 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)记数列 an 的前n 项和为Tn ，求T100 .
【答案】(1) an 2n 13 (2)8872
【解析】（1）由 S3 S9 a4 a5 a6 a7 a8 a9
0 a6 a7
0 则a12 a1 11
设 an 的公差为d 则a1 11d 11 11 11d 11 d 2 则an a1 n 1 d 11 2 n 1 2n 13
所以数列 an 的通项公式为an 2n 13 .
（2）由题可知T100 a1 a2 a6 a7 a100 T100 a1 a2 a6 a7 a100
T S
S
S 2S S
2 6 11 1 100 11 187 8872 ， T
8872 .
100 6 100 6 6 100 2 2
100
【例 7-2】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列 an 的前n 项和为 Sn ，且a1 2, an 1 Sn 2 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设b
log a2 11，求数列 b 的前n 项和T .
【答案】(1) a 2n ， n N*
10n n2 , n 5
(2) Tn n2 10n 50, n 6
， n N* .
【解析】（1）由 an 1 Sn 2 ，则当n 2 时an Sn 1 2
两式相减得an 1 an an ，所以an 1 2an n 2 .将a1 2 代入an 1 Sn 2 得， a2 4 2a1，所以对于n N*, a 2a ，故 a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以a 2n .
（2） b log a 2 11 2n 11 . B b b b
n n 10 n2 10n ，
n 2 n n 1 2 n
因为当n 5 时b 0 ，当n 6 时b 0 ，所以当 n 5时， T b b b B
10n n 2 ，
n n n 1 2 n n
当n 6 时， T
b b
b b b
b
B 2B
n 2 10n 50 .故T
10n n2 , n 5
.
n
【一隅三反】
1 2 5 6 7
n n 5
n n2 10n 50, n 6
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an , a1 10 ，记 Sn 为 an 的前n 项和，从下面①②③中再选取一
个作为条件，解决下面问题．① 2a a 0；② S 55 ；③ S7 S5 2 ．
5 8 11 7 5
(1)求Sn 的最小值；
(2)设 an 的前n 项和为Tn ，求T20 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，且a1 10 ．
选择①：（1）因为2a5 a8 0，所以3a1 15d 0 ，解得d 2 ．
所以a a (n 1)d 2n 12 ，则 S na n(n 1) d n2 11 n，
n 1 n 1 2
利用二次函数对称性和开口方向知， S n2 11n 关于 n 5.5 对称，
因为n N* ，所以当n 5 或 6 时， Sn S5 S 6 30 .
选择②：因为S 55 ，可得11 (a1 a11) 55 ，
11 2
因为a 10 ，所以a 0 ，此时d a11 a1 1 ，所以a a (n 1)d n 11 ，
1 11
11 1 n 1
因为d 0 ，所以 an 单调递增，且当n 11时， an 0 ．
所以当n 10 或 11 时， Sn 最小，此时 Sn S10 S11 55 .
选择③：因为 S7 S5 2 ，所以 a1 a7 a1 a5 2 ，即a a 4 ，所以d a7 a5 2 ，
7 5 2 2 7 5 2
所以a a (n 1)d 2n 12 ，则 S na n(n 1) d n2 11 n，
n 1 n 1 2
利用二次函数对称性和开口方向知， S n2 11n 关于 n 5.5 对称，【公众号：林樾数学】因为n N* ，所以当n 5 或 6 时， Sn S5 S 6 30 .
（2）解：若选择①或③：由（1）知an 2n 12 ，当n 6 时， an 0 ，
所以T20 a1 a2 a3 a20 a1 a2 a3 a3 a5 a6 a7 a20
T20 a1 a2 a3 a20 2( a1 a2 a3 a3 a5) S20 2S5 240 .
若选择②：由（1）知an
n 11，且当n 11时， an 0 ，且 Sn
1 n 2 21 n ，
2 2
所以T20 a1 a2 a3 a20 a1 a2 a10 a11 a12 a20
T20 a1 a2 a3 a20 2( a1 a2 a3 a10) S20 2S10 100 .
2（2023·全国乙卷·高考真题）记 Sn 为等差数列 an 的前n 项和，已知a2 11, S10 40 ．
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 an 的前n 项和Tn ．
【答案】(1) an 15 2n
14n n2 , n 7
(2) Tn n2 14n 98, n 8
【解析】（1）设等差数列的公差为 d ，
a2 a1 d 11
a1 d 11
a1
13
由题意可得 S 10a 10 9 d 40 ，即 2a 9d 8 ，解得 d 2 ，
10 1 2 1
所以an 13 2 n 1 15 2n ，
n 13 15 2n 2
（2）因为 Sn
14n n ，
2
令an
15 2n 0 ，解得n 15 ，且n N* ，
2
当n 7 时，则a 0 ，可得T a a a a a a S 14n n2 ；
n n 1 2 n 1 2 n n
当n 8 时，则an 0 ，可得Tn a1 a2 an a1 a2 a7 a8 an
S S S 2S S 2 14 7 7 2 14n n 2 n 2 14n 98 ；【公众号：林樾数学】
14n n2 , n 7
综上所述： Tn n2 14n 98, n 8 .
考向九 等差数列的简单应用
【例 8-1】（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于 2024年 4 月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km ，以后每秒钟通过的路程都增加3km ，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{an }，由题意可知{an }为等差数列，
则数列首项a1 2 ，公差d 3，所以an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 1，
由求和公式有 Sn
n a1 an (3n 1 2)n 222 ，解得n 12 ，故选：C．
2 2
【例 8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3
余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，七七数之剩二(除以 7 余 2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数 p( p 1) 满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数 p 按照从小到大的顺序排成一列，构
成数列 a ，记数列 a 的前 n 项和为 S ，则 2Sn an 23 的最小值为（ ）
n n n n
A．26 B．36 C．38 D．46
【答案】C
【解析】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为2m 1、3k 1， m,k N ，
因此数列{an }的项即为以上两类数的公共项6n 1，即an 6n 1， n N ，而an 1 an (6 n 7) (6 n 1) 6，则数列{an }是等差数列，
n(7 6n 1) 2
2S a 23 6n2 14n 24 4
于是 Sn 2 3n
4n ， n n 6(n
n n n
) 14 ，
又对勾函数 y x 4 在(0, 2] 上单调递减，在[2, ) 上单调递增，
x
所以n 2 时， 2Sn an 23 取得最小值 38.故选：C
n
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A． 9 升 B．10.5 升 C．12 升 D．13.5 升
【答案】B
【解析】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列{a }, n N , n 7 ，则a1 a2 4, a6 a7 2 ， a1 a7 a2 a6 3 ，
所以这根竹子的装米量为S7
故选：B
7(a1 a7 ) 10.5 （升）.【公众号：林樾数学】
2
2．（2025 江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸 B．秋分的晷长为 75 寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长 D．立冬的晷长为一丈五寸
【答案】C
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列 an ，其中a1 15 寸， a13 135 寸，公差为d 寸，则
135 15 12d ，解得d 10 （寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列 bn ，首项b1 135 ，末项b13 15 ，公差d 10 （单位都为寸）.故选项 A 正确；
春分的晷长为b7 , b7 b1 6d 135 60 75,
秋分的晷长为a7 , a7 a1 6d 15 60 75，所以B 正确；
立冬的晷长为a10 , a10 a1 9d 15 90 105 ，即立冬的晷长为一丈五寸， D 正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为b4 , a4 ，【公众号：林樾数学】
a4 a1 3d 15 30 45, b4 b1 3d 135 30 105， b4 a4 ，故错C 误.故选：C.
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知
其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下 3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个.这些物品
的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前 5 个数的和为
（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【答案】B
【解析】根据题意，被以 3 除余 2，除以 5 余 3 的数，构成首项为8 ，公差为15 的等差数列，
则an 8 (n 1) 15 15n 7，
所以将这样的正整数由小到大排列，则前 5 个数的和为故选：B.
5 8 15 5 7
2
190 .