江苏省常州高级中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷（含解析）

江苏省常州高级中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷
一、选择题
1．若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2．已知角的终边上有一点,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
3．“角是锐角”是“角是第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．函数的大致图像是( )
A.B.C.D.
5．已知,,则“”是“”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知,,,则( )
A. B.
C. D.
7．已知函数是定义域为R的偶函数，且，当时，，则( )
A． B． C．254 D．2025
8．若函数有最大值,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若（，）为函数图象上的一点，则下列选项正确的是( )
A.为函数图象上的点 B.为函数图象上的点
C.为函数图象上的点 D.为函数图象上的点
10．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若为锐角三角形,则
C.若,,,则满足条件的有两个
D.若,则为等腰三角形
11．已知,函数,下列结论正确的是( )
A.,
B.当时,函数有2个零点
C.若在上单调递增,则a的取值范围是
D.若的图象上不存在关于原点对称的点,则的取值范围是
三、填空题
12．若点关于y轴的对称点为，则的一个取值为___________.
13．若直线被圆所截得的弦长为4，则的最小值为_________.
14．已知定义在R上的函数满足：
①的图象关于直线对称,
②函数为偶函数；
③当时,,
若关于x的不等式的整数解有且仅有6个,则实数m的取值范围是________．
四、解答题
15．已知函数.
（1）求图象的对称轴方程;
（2）若,求的值.
16．已知函数.
（1）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知集合.
①求集合A；
②当时，函数的最小值为，求实数a的值.
17．设函数.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的x的值.
18．已知幂函数的图象关于y轴对称,函数．
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)设函数,．若,,求a的取值范围．
19．定义：若函数与在公共定义域内存在,,,（,,,互不相等,）,使得,,,则称与为“n阶相似函数”, ,,,称为与的“n阶相似点”.
(1)已知,函数,,判断函数与是否为“三阶相似函数”,并说明理由.
(2)已知函数,,与为“二阶相似函数”, ,称为与的“二阶相似点”.
（i）求实数m的取值范围;
（ii）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以，所以，故A错误；
，因为，所以，即，所以，故B正确；
C项中，取，，，则不满足，故C错误，
D项中应是.D错误，故选：B.
2．答案：D
解析：因为,
所以是第四象限角.
故选:D.
3．答案：A
解析：若角是锐角,则角是第一象限角；
但角是第一象限角,则角不一定是锐角,
故“角是锐角”是“角是第一象限角”的充分不必要条件,
故选：A.
4．答案：B
解析：由题意，函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，图像关于原点中心对称，故AC错误；
根据指数函数与二次函数的增长速度可知，
当时，且，故D错误.
故选：B
5．答案：B
解析：因为,,则,解得,即充分性成立；
若,不妨取,则不等于2,即必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意得,则,,
所以．
故选：B.
7．答案：B
解析:由是偶函数推出的性质，
因为是定义域为R的偶函数，
所以，即，
对于任意都成立，那么.
用代替x，可得，即.
又因为，则关于直线对称，所以.
由和可得，
再用代替x，得到，即，
而，所以，进而，所以函数的周期是8.
已知当时，.
..
因为的图像关于直线对称，所以，.
.
.，，.
则.
因为，其中1是余数.
所以.
，
故选：B.
8．答案：A
解析：当时,,
当时,,
若,在上单调递增,此时没有最大值,
若,在上单调递减,
要想函数有最大值,则,解得;
若,,函数有最大值1,符合题意;
故实数a的取值范围为.
故选:A
9．答案：ABC
解析：（，）为函数图象上的一点，
，，则为函数图象上的点，故A正确；
，，则为函数图象上的点，故B正确；
，，则为函数图象上的点，故C正确；
，，故D错误.故选ABC.
10．答案：BC
解析：对于选项A：在上单调递减且,
,
则,故选项A不正确；
对于选项B：为锐角三角形,
,且,,
即.
又函数在上单调递增,
,
,故选项B正确；
对于选项C：因为,,,
所以由正弦定理：可得.
又因为,
则,且,
所以满足条件的角C有两个,故选项C正确；
对于选项D, ,
则由正弦定理可得,
,即,
或,即或,
为等腰三角形或直角三角形,故选项D不正确,
故选：BC．
11．答案：BCD
解析：对于A,因为,所以是增函数,所以在上单调递增,,故A错误;对于B,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,且,直线与函数有两个交点,则方程有两个根,即函数有2个零点,故B正确;对于C,由在上单调递增,可知,解得,故C正确;对于D,当时,在上单调递增,画出的图象,如图1所示,当时,画出的图象,如图2所示,则的图象上不存在关于原点对称的点,即函数与函数的图象没有交点.①当时,函数与函数的图象一定有交点,比如;②当时,直线分别与函数交于点,由题意可得,解得,故当的图象上不存在关于原点对称的点时,的取值范围是,故D正确.
12．答案：（答案不唯一）
解析：由题意知即
所以，，解得，（写出其中之一即可）.
13．答案：
解析：由，
则圆心为，半径为2，
由直线被圆所截得的弦长为4，
故直线过圆心，
所以且，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．答案：
解析：由函数为偶函数可知,函数关于对称,
且,即,
又因为关于对称,所以,即,
可得函数的周期,
当时,可得其图象如下所示：
由对称性可知,当时满足不等式的整数解有3个即可,
根据图示可得,解得,
即.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
由,可得,
所以图象的对称轴方程为;
（2）由（1）知,
由,可得,
所以
,
16．答案：（1）
（2）①
②或5
解析：（1）由题意得，当时，.
因为为R上的奇函数，所以，.
当时，，所以.
综上，
（2）①不等式可化为，
即，所以，解得，
所以集合.
②
.
设，则，.
当，即时，函数在上单调递增，
所以，解得（舍去）；
当，即时，函数在上单调递减，
所以，解得；
当，即时，函数在处取得最小值，
所以，
解得或（舍去）.
综上，实数a的值为或5.
17．答案：(1),
(2)最大值是2,,的最小值是,
解析：(1)函数的最小正周期为,
由,,可得,,
所以函数的图象对称轴方程为,.
(2)由(1)知,在上,,
故当,即时,取得最大值为2,
当,即时,取得最小值为,
故的最大值是2,此时的最小值是,此时.
18．答案：(1)函数在上单调递增；证明见解析
(2)
解析：(1)由,所以或,
由幂函数的图象关于y轴对称,所以.
故.
所以.
函数在上单调递增,下面用单调性定义证明：
设,
则
因为,所以,,,所以,
所以,即.
所以函数在上单调递增.
(2)因为函数在上单调递增,且,
所以,.
对,.
当即时,在上单调递增,所以,
由.
当即时,在上单调递减,在上单调递增,所以.
由,无解.
当即时,在上单调递减,所以,
由,这与矛盾,无解.
综上可知：.
故a的取值范围是：.
19．答案：(1)函数与为“三阶相似函数”,理由见解析
(2)（i）;（ii）证明见解析
解析：(1)令,则,
令,解得或,令,解得,
所以在上单调递减,在和上单调递增.
,,,,
所以存在,,,使得,
即,,,
所以函数与为“三阶相似函数”.
(2)（i）因为与为“二阶相似函数”,所以在上有两个不相等的实数根,
即,
两边取对数,可得.记,易知在上是增函数,
故可等价于,即.
记,则,得在上单调递减,在上单调递增,有最小值,故,即m的取值范围为.
（ii）证明：根据题意得,不妨设.
构造函数,
则.
当时,,,则,得在上单调递减,
有,即.
将代入不等式,得,又,
所以,
又,,在上单调递增,
所以,即.