第16-17章 整式的乘法、因式分解（阶段培优卷）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

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第16-17章 整式的乘法、因式分解
一、选择题（共10小题）
1．（4分）化简（﹣x3）2的结果是（　　）
A．﹣x6 B．﹣x5 C．x6 D．x5
2．（4分）若2a＝5，2b＝3，则2a+b＝（　　）
A．8 B．2 C．15 D．1
3．（4分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（　　）
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．m2 2m＝3m3 B．m4÷m＝m2
C．（m2）3＝m5 D．（﹣ab2）2＝a2b4
5．（4分）可表示为＝（　　）
A．nam B．am+n C．amn D．mna
6．（4分）若（x2+ax+2）（2x﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣2
7．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
8．（4分）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
9．（4分）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数，则m的值不可能是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣7
10．（4分）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（　　）
A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等
B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等
C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等
D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等
二、填空题（共6小题）
11．（4分）若a3 a□＝a12，则“□”内应填的数是 　 　 ．
12．（4分）计算　 　 ．
13．（4分）已知：（x﹣3）（x+1）＝x2+ax+b，则a﹣b的值是 　 　 ．
14．（4分）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如4×（﹣2）﹣0×2＝﹣8，那么当27时，则x＝　 　 ．
15．（4分）若10m＝2，100n＝5，则2m+4n﹣5＝　 　 ．
16．（4分）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．若满足条件3＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有5个，则m的值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（6分）计算：
（1）（2m2）2+m6÷m2；
（2）3a2b （﹣3ab）2．
18．（8分）计算：
（1）﹣a2 2ab﹣3a（a2b﹣1）；
（2）a（b﹣4a）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y），其中x＝﹣4，y＝﹣1．
20．（8分）如图，某体育训练基地，有一块长（3a﹣5b）米，宽（a﹣b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽（a﹣2b）米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．
（1）求休息区面积；（用含有a和b的式子表达，结果需要化简）
（2）当a＝25米，b＝5米，求休息区域的面积．
21．（10分）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式102x+3y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m 4n的值．
22．（10分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　 　 ；（ 　 　 ，﹣32）＝5；
②若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：　 　 ；
（2）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
23．（10分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为（2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝20，x+y＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°．
（1）如图1，P为△ABC外一点，AQ⊥AP交PC延长线于点Q，且AQ＝AP，求证：∠APB＝45°；
（2）如图2，∠BPC＝90°，求∠APB的度数．
第16-17章 整式的乘法、因式分解
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（4分）化简（﹣x3）2的结果是（　　）
A．﹣x6 B．﹣x5 C．x6 D．x5
【答案】C
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x6，
故选：C．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（4分）若2a＝5，2b＝3，则2a+b＝（　　）
A．8 B．2 C．15 D．1
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当2a＝5，2b＝3时，
2a+b＝2a×2b＝5×3＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则：底数不变，指数相加．
3．（4分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（　　）
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
【答案】A
【分析】列出算式，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．m2 2m＝3m3 B．m4÷m＝m2
C．（m2）3＝m5 D．（﹣ab2）2＝a2b4
【答案】D
【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方公式进行判断可得结果．
【解答】解：m2 2m＝2m3，所以A选项计算错误；
m4÷m＝m4﹣1＝m3，所以B选项计算错误；
（m2）3＝m2×3＝m6，所以C选项计算错误；
（﹣ab2）2＝a2b4，所以D选项计算正确．
故答案为：D．
【点评】此题主要是考查了整式的运算，能够熟练掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方公式是解答此题的关键．
5．（4分）可表示为＝（　　）
A．nam B．am+n C．amn D．mna
【答案】C
【分析】运用幂的乘方运算法则进行求解．
【解答】解：
＝（am）n
＝amn，
故选：C．
【点评】本题考查了运用幂的乘方进行运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．
6．（4分）若（x2+ax+2）（2x﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣2
【答案】B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，得出关于a的方程，求出a即可．
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣1）
＝2x3﹣x2+2ax2﹣ax+4x﹣2
＝2x3+（﹣1+2a）x2+（﹣a+4）x﹣2，
∵（x2+ax+2）（2x﹣1）的结果中不含x2项，
∴﹣1+2a＝0，
解得：a．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
7．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据长方形面积公式判断各式是否正确即可．
【解答】解：①（2a+b）（m+n），正确；
②a（m+n）+b（m+n），错误；
③m（2a+b）+n（2a+b），正确；
④2am+2an+bm+bn，正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【点评】本题考查了长方形的面积问题，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
8．（4分）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】将a、b、c化为同指数形式为a＝84，b＝94，c＝74，即可比较大小．
【解答】解：a＝212＝84，
b＝38＝94，
∵9＞8＞7，
∴94＞84＞74，
∴b＞a＞c，
故选：B．
【点评】本题考查实数的大小比较，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，根据数的特点，将数变为同指数形式是解题的关键．
9．（4分）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数，则m的值不可能是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣7
【答案】D
【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣6，
∴当a＝1，b＝﹣6时，m＝a+b＝﹣5；
当a＝﹣1，b＝6时，m＝a+b＝5；
当a＝2，b＝﹣3时，m＝﹣1；
当a＝﹣2，b＝3时，m＝1；
当a＝3，b＝﹣2时，m＝1；
当a＝﹣3，b＝2时，m＝﹣1；
故m的值不可能是﹣7；
故选：D．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．
10．（4分）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（　　）
A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等
B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等
C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等
D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等
【答案】A
【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出p，q，再分析即可．
【解答】解：（x+a）（2x+b）
＝2x2+bx+2ax+ab
＝2x2+（b+2a）x+ab，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab，
∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q，
∴p＝b+2a，q＝2b+a，
∵p+q＝6，且p，q均为正整数，
∴b+2a+2b+a＝6，
整理得：a+b＝2．
又p＝b+2a，q＝2b+a，
∴p＝a+2，q＝b+2．
∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．
∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．
∵p，q均为正整数，
∴p的取值为1，2，3，4，5．
∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．
∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，
∴1（q≠2）．
∵p，q均为正整数，
∴q的取值为1，2，3，4，5．
∴的最大值为1，的最小值为﹣3．
故选项A正确，符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的变形，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决．
二、填空题（共6小题）
11．（4分）若a3 a□＝a12，则“□”内应填的数是 　9　 ．
【答案】9．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则求解即可．
【解答】解：∵a3 a9＝a12，
∴“□”内应填的数是9，
故答案为：9．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则am an＝am+n是解答的关键．
12．（4分）计算　﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝（）2023×（﹣2）2023×（﹣2）
＝[（）×（﹣2）]2023×（﹣2）
＝12023×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．（4分）已知：（x﹣3）（x+1）＝x2+ax+b，则a﹣b的值是 　1　 ．
【答案】1．
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出（x﹣3）（x+1），从而得到a、b的值，然后代值计算即可．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）＝x2+ax+b，
∴x2﹣3x+x﹣3＝x2+ax+b，
∴x2﹣2x﹣3＝x2+ax+b，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣3）＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出（x﹣3）（x+1）的结果是解题的关键．
14．（4分）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如4×（﹣2）﹣0×2＝﹣8，那么当27时，则x＝　22　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据新定义运算法则化简得出一元一次方程，进而利用因分解法求出即可．
【解答】解：∵27，
∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，
解得：x＝22．
故答案为：22．
【点评】此题主要考查了新定义和一元一次方程的解法，熟练掌握运算法则是解题关键．
15．（4分）若10m＝2，100n＝5，则2m+4n﹣5＝　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【分析】根据10m＝2，100n＝5，得出10m×100n＝2×5，变形为10m+2n＝10，得出m+2n＝1，整体代入求值即可．
【解答】解：∵10m＝2，100n＝5，
∴10m×100n＝2×5，
∴10m×（102）n＝10，
∴10m×102n＝10，
∴10m+2n＝10，
∴m+2n＝1，
∴2m+4n﹣5＝2（m+2n）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，代数式求值，解题的关键是根据10m＝2，100n＝5，求出m+2n＝1．
16．（4分）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．若满足条件3＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有5个，则m的值为 　8　 ．
【答案】8．
【分析】根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
∵m为正整数，
∴﹣m﹣1＜0
∴|S1﹣S2|＝|﹣m﹣1|＝m+1，
∵3＜n＜m+1有5个整数解，
∴这5个整数为4，5，6，7，8，
∴8＜m+1≤9
∴7＜m≤8
∵m为正整数，
∴m＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算．
三．解答题（共8小题）
17．（6分）计算：
（1）（2m2）2+m6÷m2；
（2）3a2b （﹣3ab）2．
【答案】（1）5m4；（2）27a4b3．
【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可；
（2）根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）（2m2）2+m6÷m2
＝4m4+m4
＝5m4；
（2）3a2b （﹣3ab）2
＝3a2b 9a2b2
＝27a4b3．
【点评】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方，同底数幂除法运算法则，准确计算．
18．（8分）计算：
（1）﹣a2 2ab﹣3a（a2b﹣1）；
（2）a（b﹣4a）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
【答案】（1）﹣5a3b+3a；（2）﹣7ab﹣21b2．
【分析】（1）去括号，合并同类项，即可得；
（2）去括号，合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣2a3b﹣3a3b+3a
＝﹣5a3b+3a；
（2）原式＝ab﹣4a2+4a2﹣14ab+6ab﹣21b2
＝﹣7ab﹣21b2．
【点评】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握单项式乘以多项式的法则和多项式乘以多项式的法则．
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y），其中x＝﹣4，y＝﹣1．
【答案】6y2﹣8xy；﹣26．
【分析】根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【解答】解：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y）
＝x2﹣5xy+6y2﹣x2﹣3xy
＝6y2﹣8xy，
把x＝﹣4，y＝﹣1代入得：原式＝6×（﹣1）2﹣8×（﹣4）×（﹣1）＝6﹣32＝﹣26．
【点评】本题主要考查了整式化简求值，解题关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
20．（8分）如图，某体育训练基地，有一块长（3a﹣5b）米，宽（a﹣b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽（a﹣2b）米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．
（1）求休息区面积；（用含有a和b的式子表达，结果需要化简）
（2）当a＝25米，b＝5米，求休息区域的面积．
【答案】（1）（2a2﹣6ab+5b2）平方米；（2）625平方米．
【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则，根据空地的面积减去长方形游泳池的面积即可得出答案；
（2）代入a＝25米，b＝5米求出结果即可．
【解答】解：（1）长方形游泳池面积为：
a（a﹣2b）
＝（a2﹣2ab）平方米；
∵长方形空地的面积为：
（3a﹣5b）（a﹣b）
＝3a2﹣3ab﹣5ab+5b2
＝（3a2﹣8ab+5b2）平方米，
∴休息区面积＝（3a2﹣8ab+5b2）﹣（a2﹣2ab）
＝3a2﹣8ab+5b2﹣a2+2ab
＝（2a2﹣6ab+5b2）平方米；
（2）解：把a＝25米，b＝5米，代入2a2﹣6ab+5b2得：
原式＝2×252﹣6×25×5+5×52＝625（平方米），
∴休息区的面积为625平方米．
【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握长方形的面积公式，整式混合运算法则，是解题的关键．
21．（10分）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式102x+3y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m 4n的值．
【答案】（1）72；（2）64．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则将原式变形进行求解；
（2）利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进行求解．
【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，
∴102x+3y＝（10x）2×（10y）3
＝32×23
＝72；
（2）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m 4n＝23m 22n＝23m+2n＝26＝64．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，解题关键是熟记运算法则．
22．（10分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝　3　 ；（ 　﹣2　 ，﹣32）＝5；
②若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：　a+b＝c　 ；
（2）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
【答案】（1）①3；﹣2；②a+b＝c；（2）t＝24．
【分析】（1）①根据新定义运算，求解即可；
②根据新定义运算，对式子进行变形，再根据5×6＝30，即可求解；
（2）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．
【解答】解：（1）①∵53＝125，（﹣2）5＝﹣32，
∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；
故答案为：3；5；
②a+b＝c，理由如下：
∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，
∴a+b＝c．
（2）设（m，8）＝x，（m，3）＝y，（m，t）＝z，
则mx＝8，my＝3，mz＝t，
由（m，8）+（m，3）＝（m，t）可得x+y＝z，
∴t＝mz＝mx+y＝mx×my＝8×3＝24．
【点评】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．
23．（10分）数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片A、一张正方形纸片B、两张长方形纸片C，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式；（用含a、b的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为（2a+b）（3a+2b）的大长方形，则需要A，B，C三种纸片各多少张？
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为x、y的正方形面积，且M、N、P三点在一条直线上，若S1+S2＝20，x+y＝6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）由图2可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）需要A，B，C三种纸片各6张、2张、7张；
（3）图中阴影部分的面积为8．
【分析】（1）通过运用整体求解和部分求和的方法表示图2的面积进行求解；
（2）通过计算（2a+b）（3a+2b）的结果为6a2+7ab+2b2可求解此题；
（3）根据x2+y2＝20，x+y＝6，运用完全平方公式可求得xy＝8，即可求得此题结果．
【解答】解：（1）∵图2的面积为a2+2ab+b2，
或（a+b）2，
∴由图2可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A，B，C三种纸片各6张、2张、7张；
（3）由题意得x2+y2＝20，x+y＝6，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，
即20+2xy＝62，
解得xy＝8，
∴图中阴影部分的面积为：2＝xy＝8．
【点评】此题考查了完全平方公式数形结合问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识和方法进行求解．
24．（12分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°．
（1）如图1，P为△ABC外一点，AQ⊥AP交PC延长线于点Q，且AQ＝AP，求证：∠APB＝45°；
（2）如图2，∠BPC＝90°，求∠APB的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）45°．
【分析】（1）证明△ABP≌△ACQ（SAS）得到∠APB＝∠Q，再根据等腰直角三角形的性质证明∠Q＝45°即可；
（2）在BP截取BD＝CP，连接AD，设BP、AC相交于O，如图2，先利用三角形的内角和定理证得∠ABD＝∠ACP，再证明△ABD≌△ACP得到∠BAD＝∠CAP，AD＝AP，进而证明∠PAD＝90°得到△ADP是等腰直角三角形即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°．
∴AB＝AC，
∵AQ⊥AP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝90°﹣∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠APB＝∠Q，
∵AQ⊥AP，AQ＝AP，
∴，
∴∠APB＝45°；
（2）解：在BP截取BD＝CP，连接AD，设BP、AC相交于O，如图2，
∵在△AOB和△POC中，∠BAC＝∠BPC＝90°，∠AOB＝∠POC，
∴∠ABD＝∠ACP，
在△ABD和△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴∠BAD＝∠CAP，AD＝AP，
∴∠PAD＝∠CAP+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝90°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝45°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
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