2026年中考数学一轮复习 图形的旋转（含解析）

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2026年中考数学一轮复习 图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．（2025 永寿县校级模拟）下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 大同模拟）科技馆是青少年科普实践的重要基地，通过互动性强的展览和活动，激发青少年的好奇心和探索精神．以下科技馆的标识中，文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．山西省科技馆 B．甘肃省科技馆
C．合肥市科技馆 D．滨州市科技馆
3．（2025 兴庆区校级一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（　　）
A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换
4．（2025 大庆模拟）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠ACD＝∠EFB B．AC∥DE C．AB＝DE D．BF⊥CE
5．（2025 蓬江区校级三模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，将线段BA绕点B顺时针旋转到对角线BD上得到线段BE，则∠AED＝（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
6．（2025 金凤区模拟）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠D＝∠BED＝45°）三角尺ABC固定不动，将三角尺DBE绕点B转动．当DE∥BC时，∠ABE的度数为（　　）
A．75° B．60° C．105° D．75°或105°
7．（2025 新华区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝66°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，当点C′落在边AB上时，连接AA'，则∠AA'C'＝（　　）
A．24° B．33° C．43° D．57°
8．（2025 滨海新区校级模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，若点B，E，D在一条直线上，连接EC，则下列说法正确的是（　　）
A．∠AEB+∠ACB＝180° B．∠CBE＝2α
C．AB＝EB+BC D．AD＝EC
9．（2025 济宁校级二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O（0，0），A（3，4）C（8，0），以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再把线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为（　　）
A．（﹣4，4） B．（﹣4，4） C．（4，﹣4） D．（4，﹣4）
10．（2025 青岛）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°．得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 花山区校级三模）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M在边BC上（不与点B，C重合），△AMN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，MN交AC于点P，连接CN．
（1）∠ACN的度数为　 　 °；
（2）若AB＝3，BM＝2CM，则PM的长为　 　 ．
12．（2025 新蔡县三模）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝8，M为边BC的中点，长度为2的动线段AN绕点A旋转，连接MN，取MN的中点P，则CP长度的最大值为　 　 ，最小值为　 　 ．
13．（2025 金凤区校级二模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式为 　 　 ．
14．（2025 齐齐哈尔四模）如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点A的坐标为（0，1），点B，C在x轴上，将△ABC绕顶点A旋转30°，得到△A1B1C1，则点C1的坐标为 　 　 ．
15．（2025 温州模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的大小是 　 　 °．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
17．（2025 青阳县模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（2，5），（1，2），（5，3）．
（1）将线段BC先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段B1C1，画出线段B1C1；
（2）将线段AC绕O点逆时针旋转90°，得到线段A1C2，画出线段A1C2；
（3）在所给的网格图中确定一个格点D，使得线段AD平分线段BC，写出点D的坐标．
18．（2025 广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
19．（2025 朝阳区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE＝3，点P沿AB﹣BC运动，将点P绕点E逆时针旋转90°得到点Q．
（1）EP平分矩形面积时，求BP的长；
（2）E、Q、C三点共线时，求AP的长；
（3）CQ的最小值为　 　 ，点Q的路径长为　 　 ；
（4）当点Q在四边形内形时，四边形PBCQ面积的最大值为　 　 ，此时线段AP的长为　 　 ．
20．（2025 河南模拟）综合与实践：
定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．
特例感知：已知△ABC，D为AC边上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A恰好落在BC边上（不含点C），此时折痕BD称为“落边折痕”．
探究1：如图①，若△ABC是直角三角形，其中∠A＝90°，∠ABC＝60°，AB＝1，若点D为AC边上一点，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，求“落边折痕”BD的长；
探究2：如图②，若△ABC是等腰三角形，其中∠A＝120°，请求出“落边折痕BD”将其分割后的△ABD与△BCD的面积比；
探究3：如图③，若△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC＝5，BC＝6，请求出其“落边折痕”的长度．
2026年中考数学一轮复习 图形的旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 永寿县校级模拟）下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．该三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2025 大同模拟）科技馆是青少年科普实践的重要基地，通过互动性强的展览和活动，激发青少年的好奇心和探索精神．以下科技馆的标识中，文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．山西省科技馆 B．甘肃省科技馆
C．合肥市科技馆 D．滨州市科技馆
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、选项图形是中心对称图形，符合题意；
D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键．
3．（2025 兴庆区校级一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（　　）
A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换
【考点】几何变换的类型．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义判断即可．
【解答】解：小孔成倒像的实验，物和像属于位似变换．
故选：D．
【点评】本题考查几何变换的类型，平移变换，轴对称变换，旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是理解各种变换的定义．
4．（2025 大庆模拟）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠ACD＝∠EFB B．AC∥DE C．AB＝DE D．BF⊥CE
【考点】旋转的性质；平行线的判定．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】设BF与CE相交于点G，由旋转得可得∠E＝∠B＝30°，AB＝DE，∠BCE＝∠ACD＝60°，根据∠EGF＝∠BGC，可得∠EFB＝∠BCG＝60°，则∠ACD＝∠EFB．根据∠B＝30°，∠BCG＝60°，可得∠BGC＝90°，即BF⊥CE．
【解答】解：设BF与CE相交于点G，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠E＝∠B＝30°，AB＝DE，∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠EGF＝∠BGC，
∴∠EFB＝∠BCG＝60°，
∴∠ACD＝∠EFB．
故A，C选项正确，不符合题意；
∵∠B＝30°，∠BCG＝60°，
∴∠BGC＝90°，
∴BF⊥CE．
故D选项正确，不符合题意；
根据题意知条件不能得出AC∥DE，
故B选项不正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
5．（2025 蓬江区校级三模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，将线段BA绕点B顺时针旋转到对角线BD上得到线段BE，则∠AED＝（　　）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】先由菱形的性质得∠ABE＝∠CBE∠ABC＝40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝40°，
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEB＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（2025 金凤区模拟）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠D＝∠BED＝45°）三角尺ABC固定不动，将三角尺DBE绕点B转动．当DE∥BC时，∠ABE的度数为（　　）
A．75° B．60° C．105° D．75°或105°
【考点】旋转的性质；平行线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】分两种情况，运用平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图①，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠D＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝90°﹣15°＝75°，
如图②，当DE∥BC时，
∵DE∥BC，
∴∠CBE＝∠E＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝60°+45°＝105°．
综上所述，∠ABE的度数为75°或105°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质发，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
7．（2025 新华区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝66°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，当点C′落在边AB上时，连接AA'，则∠AA'C'＝（　　）
A．24° B．33° C．43° D．57°
【考点】旋转的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得AB＝A'B，∠ABC＝66°＝∠A'BC'，∠C＝90°＝∠A'C'B，由等腰三角形的性质可得∠BAA'＝57°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，
∴AB＝A'B，∠ABC＝66°＝∠A'BC'，∠C＝90°＝∠A'C'B，
∴∠BAA'＝57°，
∴∠AA'C'＝33°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（2025 滨海新区校级模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，若点B，E，D在一条直线上，连接EC，则下列说法正确的是（　　）
A．∠AEB+∠ACB＝180° B．∠CBE＝2α
C．AB＝EB+BC D．AD＝EC
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转的性质得到△ADE≌△ABC，推出∠AED＝∠ACB，由邻补角的性质得到∠AEB+∠AED＝180°，推出∠AEB+∠ACB＝180°，由全等三角形的性质推出∠ABC＝∠D，AD＝AB，由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠D，而∠BAD＝α，求出∠D+∠ABD＝（180°﹣α），得到EBC＝180°﹣α，由全等三角形的性质得到DE＝BC，因此EB+BC＝DB，判定AB不一定等于EB+BC，由△ADE≌△ABC，推出AD＝AB，得到AD和CE不一定相等．
【解答】解：由旋转的性质得到：△ADE≌△ABC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠AEB+∠AED＝180°，
∴∠AEB+∠ACB＝180°，
故A符合题意；
∵△ADE≌△ABC，
∴∠ABC＝∠D，AD＝AB，
∴∠ABD＝∠D，
由旋转的性质得到：∠BAD＝α，
∴∠D+∠ABD＝（180°﹣α），
∴EBC＝∠ABD+∠ABC＝∠ABD+∠D＝180°﹣α，
故B不符合题意；
∵△ADE≌△ABC，
∴DE＝BC，
∴EB+BC＝BE+DE＝DB，
∵DE不一定等于AB，
∴AB不一定等于EB+BC，
故C不符合题意；
∵△ADE≌△ABC，
∴AD＝AB，
∵AB和CE不一定相等，
∴AD和CE不一定相等，
故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，关键是由旋转的性质得到△ADE≌△ABC，∠BAD＝α．
9．（2025 济宁校级二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中点O（0，0），A（3，4）C（8，0），以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交AB于点D，再把线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD′，则点D′的坐标为（　　）
A．（﹣4，4） B．（﹣4，4） C．（4，﹣4） D．（4，﹣4）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；旋转的性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】如图，延长BA交y轴于点E，过点D′作D′F⊥x轴于点F．证明△ODE≌△OD′F（AAS），推出D′F＝DE＝4，OF＝OE＝4可得结论．
【解答】解：如图，延长BA交y轴于点E，过点D′作D′F⊥x轴于点F．
由题意，可知DE⊥y轴，AE＝3，OE＝4．由旋转的性质，可知OD＝OC＝8，
∴DE4，
∵OD＝OD′，∠DOD′＝90°，
∴∠EOD+∠EOD′＝90°，
∵∠D′OF+∠EOD′＝90°．
∴∠D′OE＝∠DOE，
∵∠DEO＝∠D′FO＝90°，
∴△ODE≌△OD′F（AAS），
∴D′F＝DE＝4，OF＝OE＝4．
∴点D′的坐标为（﹣4，4），
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，旋转的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．
10．（2025 青岛）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°．得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据图中△ABC的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点A2，再根据绕原点O旋转180°即可求解点A1的坐标．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），
∴点A关于y轴对称的点A2（1，2），
将点A2（1，2）绕原点O旋转180°，
∴如图，点A1（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 花山区校级三模）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M在边BC上（不与点B，C重合），△AMN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，MN交AC于点P，连接CN．
（1）∠ACN的度数为　45　 °；
（2）若AB＝3，BM＝2CM，则PM的长为　　 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）45；
（2）．
【分析】（1）由旋转得AM＝AN，∠MAN＝90°，因为AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACB＝45°，∠BAM＝∠CAN＝90°﹣∠CAM，可根据“SAS”证明△ABM≌△ACN，得∠B＝∠ACN＝45°，于是得到问题的答案；
（2）作PF⊥CB于点F，PE⊥CN于点E，由AB＝AC＝3，求得BC＝3，由BM＝2CM，求得CM，BM＝CN＝2，因为∠MCN＝90°，所以MN，由角平分线的性质得PF＝PE，则S△CPMCM PE，S△CPNCN PE，所以，则PMMN，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵△AMN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AM＝AN，∠MAN＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∠BAM＝∠CAN＝90°﹣∠CAM，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠B＝∠ACN＝45°，
故答案为：45．
（2）作PF⊥CB于点F，PE⊥CN于点E，
∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，
∴BC3，
∵BM＝2CM，
∴2CM+CM＝3，
∴CM，BM＝CN＝2，
∵∠ACB＝∠ACN＝45°，
∴∠MCN＝2∠ACN＝90°，
∴MN，
∵CA平分∠BCN，PF⊥CB于点F，PE⊥CN于点E，
∴PF＝PE，
∴S△CPMCM PFCM PE，S△CPNCN PE，
∵，
∴，
∴PMMNMN，
故答案为：．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式推导线段之间的数量关系等知识与方法，证明△ABM≌△ACN是解题的关键．
12．（2025 新蔡县三模）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝8，M为边BC的中点，长度为2的动线段AN绕点A旋转，连接MN，取MN的中点P，则CP长度的最大值为　21　 ，最小值为　21　 ．
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【答案】21，21．
【分析】连接AM，取AM的中点Q，连接CQ，求出CMBC＝4，AM4，可得CQAM＝2，求出PQAN＝1，知P在以Q为圆心，1为半径的圆上运动，即可得当P在线段CQ上时，CP最小为21；当P在CQ延长线上时，CP最大为21．
【解答】解：连接AM，取AM的中点Q，连接CQ，如图：
∵Rt△ABC，AC＝BC＝8，M为边BC的中点，
∴CMBC＝4，AM4，
∵Q为AM中点，∠ACM＝90°，
∴CQAM＝2，
∵P为MN中点，Q为AM中点，
∴PQ是△AMN的中位线，
∴PQAN2＝1，
∴P在以Q为圆心，1为半径的圆上运动，
当P在线段CQ上时，CP最小，如图：
此时CP最小为21；
当P在CQ延长线上时，CP最大，如图：
此时CP最大为21；
故答案为：21，21．
【点评】本题考查直角三角形中的旋转问题，解题的关键是求出P的轨迹．
13．（2025 金凤区校级二模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式为 　y　 ．
【考点】中心对称；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】y．
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB AB＝5，
∴AB，
∴OC，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3k，
k，
∴直线l解析式为yx．
故选：答案为：y．
【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．
14．（2025 齐齐哈尔四模）如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点A的坐标为（0，1），点B，C在x轴上，将△ABC绕顶点A旋转30°，得到△A1B1C1，则点C1的坐标为 　或（2，1）　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】推理能力．
【答案】或（2，1）．
【分析】先求出AC的长度，再分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，结合旋转的性质，利用三角函数求出点C1的坐标．
【解答】解：∵A（0，1），AB＝AC，∠BAC＝120°，AO⊥BC，
∴，AO＝1．
在Rt△AOC中，
，即，
∴AC＝2．
情况一：顺时针旋转30°，
∴∠CAC1＝30°，
∴∠OAC1＝∠CAO﹣∠CAC1＝60°﹣30°＝30°．
过C1作C1D⊥y轴于D点，
在Rt△AC1D中，
AC1＝AC＝2，，．
∴，．
∴，
∴C1坐标为．
情况二：逆时针旋转30°
过C1作C1D⊥x轴于D点，
则∠OAC1＝∠CAO+∠CAC1＝60°+30°＝90°．
∵AC1＝AC＝2，A点坐标（0，1），
∴C1的横坐标为2，纵坐标为1，即C1坐标为（2，1）．
故答案为：或（2，1）．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（2025 温州模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的大小是 　50　 °．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】50．
【分析】证明∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，可得结论．
【解答】解：设AC交DE于点O．
∵DE⊥AC，
∴∠AOD＝90°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定；作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点E的对应点F即可，连接AC交网格线于点O，作直线FO交AB于点G即可；
（2）取格点J，K，连接AK，CJ交于点M，取格点P，L，Q．网格线的中点T，连接PL，QT交于点W，作直线MW交BD于点N，直线MN即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点F，直线FG即为所求；
（2）如图，点M，直线MN即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2025 青阳县模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（2，5），（1，2），（5，3）．
（1）将线段BC先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段B1C1，画出线段B1C1；
（2）将线段AC绕O点逆时针旋转90°，得到线段A1C2，画出线段A1C2；
（3）在所给的网格图中确定一个格点D，使得线段AD平分线段BC，写出点D的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析，D（4，0）或（6，﹣4）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可；
（3）构造平行四边形ABDC或AD的延长线上的点D′满足条件．
【解答】解：（1）如图所示，线段B1C1即为所求．
（2）如图所示，线段A1C2即为所求；
（3）如图所示，点D，点D′即为所求，D（4，0）或（6，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
18．（2025 广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA（180°﹣50°）＝65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF4．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（2025 朝阳区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE＝3，点P沿AB﹣BC运动，将点P绕点E逆时针旋转90°得到点Q．
（1）EP平分矩形面积时，求BP的长；
（2）E、Q、C三点共线时，求AP的长；
（3）CQ的最小值为　2　 ，点Q的路径长为　13　 ；
（4）当点Q在四边形内形时，四边形PBCQ面积的最大值为　16　 ，此时线段AP的长为　1　 ．
【考点】几何变换综合题．
【专题】配方法；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）3；
（3）2，13；
（4）16，1．
【分析】（1）连接AC，BD，交于点O，射线EO交BC于P，此时EP平分矩形ABCD的面积，根据对称性得出结果；
（2）可得出DE＝CD＝5，∠D＝90°，从而得出∠QEF＝∠DCE＝45°，进而得出∠APE＝∠AEP＝45°，从而AP＝AE＝3；
（3）当点P在AB上时，作EG⊥AD，作QG⊥EG于G，GQ所在的直线交CD于Q′，可证得△AEP≌△GEQ，从而得出EG＝AE＝3，从而得出点Q在过点G且与AD的距离是3的线段上运动，当点P在B时，点Q在Q′处，进一步得出结果；当点P在BC上时，作EW⊥BC于W，可得出△EPW≌△EQD，进一步得出结果；
（4）作QV⊥AB于V，作QX⊥AD于X，设AP＝x，设四边形PBCQ的面积为S，可得出AV＝QX＝3，VQ＝AX＝x+3，BV＝2，PV＝3﹣x，从而得出S的关系式，配方求得结果．
【解答】解：（1）如图1，
连接AC，BD，交于点O，射线EO交BC于P，
此时EP平分矩形ABCD的面积，
由对称性可得：BP＝DE＝AD﹣AE＝6﹣3＝5；
（2）如图2，
∵DE＝CD＝5，∠D＝90°，
∴∠QEF＝∠DCE＝45°，
∵点P绕点E逆时针旋转90°得到点Q，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠AEP＝90°﹣∠FEQ＝45°，
∵∠A＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE＝3；
（3）如图3﹣1，
当点P在AB上时，
作EG⊥AD，作QG⊥EG于G，GQ所在的直线交CD于Q′，
∴∠A＝∠G＝∠AEG＝90°，
∴∠AEP+∠PEG＝90°，∠QEG+∠PEG＝90°，
∴∠AEP＝∠QEG，
∵PE＝EQ，
∴△AEP≌△GEQ（AAS），
∴EG＝AE＝3，
∴点Q在过点G且与AD的距离是3的线段上运动，
当点P在B时，点Q在Q′处，
此时CQ最小＝2，GQ′＝DE＝5，
如图3﹣2，
当点P在BC上时，
作EW⊥BC于W，
同理可得，
△EPW≌△EQD，
∴点Q在直线CD上运动，
当点P在点C处时，点Q在Q″处，
DQ″＝CD＝5，
∴当点P从点B运动到C处，Q运动5+3＝8，
∴点Q共运动5+8＝13，
故答案为：2，13；
（4）如图4，
作QV⊥AB于V，作QX⊥AD于X，
设AP＝x，设四边形PBCQ的面积为S，
由上知，
AV＝QX＝3，VQ＝AX＝x+3，BV＝2，PV＝3﹣x，
∴S＝S△PQC+S梯形BCQV
，
∴当x＝1时，S最大＝16，
故答案为：16，1．
【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，配方法等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
20．（2025 河南模拟）综合与实践：
定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．
特例感知：已知△ABC，D为AC边上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A恰好落在BC边上（不含点C），此时折痕BD称为“落边折痕”．
探究1：如图①，若△ABC是直角三角形，其中∠A＝90°，∠ABC＝60°，AB＝1，若点D为AC边上一点，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，求“落边折痕”BD的长；
探究2：如图②，若△ABC是等腰三角形，其中∠A＝120°，请求出“落边折痕BD”将其分割后的△ABD与△BCD的面积比；
探究3：如图③，若△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC＝5，BC＝6，请求出其“落边折痕”的长度．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】探究1：；
探究2：；
探究3：或．
【分析】探究1：根据叠的性质可知，，则∴，即可求解；
探究2：分别过点D作AB、EB的垂线，垂足分别为M，N．根据折叠的性质可知，S△ABD＝S△EBD，∠ABD＝∠EBD，推出DM＝DN，得到，即可求解；
探究3：分情况讨论：当沿BD折叠，点A落在BC边上的点E处时，当沿CH折叠，点A落在BC边上的点I处时，当沿BP折叠，点A落在AC边上的点Q处时，当沿CX折叠，点A落在AB边上的点Y处时，结合相关知识求解即可．
【解答】解：探究1：∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝60°，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，
∴，
又∵∠A＝90°，AB＝1，
∴；
探究2：如图②，分别过点D作AB、EB的垂线，垂足分别为M，N．
∵△ABC是等腰三角形，其中∠A＝120°，将△ABC沿着BD折叠后，点A恰好落在BC边上的点E处，
∴S△ABD＝S△EBD，∠ABD＝∠EBD，
∴DM＝DN，
∴，（将面积比转化为线段比），
在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
即；
探究3：根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）．
在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BC＞AB，
∴只能是点A向下折叠，则分情况讨论（若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义）；
①如图③，当沿BD折叠，点A落在BC边上的点E处时，
由探究2可得，，
∴，
过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，（通过面积比，可以推导出对应线段比值，构造等量关系，求解所需线段），
∴，G为BC中点，AG∥DF，
∴CG＝3，△AGC∽△DFC，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，；
②如图④，当沿CH折叠，点A落在BC边上的点I处时，同①，则；（此种情况与情况①属于对称状态，折痕相等）；
③如图⑤，当沿BP折叠，点A落在AC边上的点Q处时，
BP为AQ的垂直平分线，即BP⊥AC，
由①可知，
∴，
∴；
④如图⑥，当沿CX折叠，点A落在AB边上的点Y处时，CX为AY的垂直平分线，则同情况③，则．（此种情况与情况③属于对称状态，折痕亦相等），
综上所述，“落边折痕”的长度为或．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
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