5.4 三角函数的图象与性质--2025-2026学年高中数学人教A版必修一课时训练（含解析）

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5.4 三角函数的图象与性质--2025-2026学年高中数学人教A版必修一课时训练
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．函数的定义域为( )
A. B. C. D.
2．若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为( )
A. B. C. D.
3．下列函数中周期不是的是( )
A. B. C. D.
4．函数是( )
A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数
C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数
5．下列函数中，最小正周期为的偶函数是( )
A． B． C． D．
6．若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则( )
A.3 B.2 C. D.
7．函数的最小值为( )
A. B. C.3 D.4
8．如图（1）,函数的图象与y轴交于点,将绘有该函数图象的纸片沿x轴折成直二面角,如图（2）,若折叠后A、B两点间的距离为,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中最小正周期为的是( )
A． B． C． D．
10．已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
11．若函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( )
A.当时， B.
C. D.阴影部分的面积为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数，为偶函数，则的值为______.
13．已知函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为_______________.
14．已知函数,,则的单调递减区间为_______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求下列函数的周期.
（1）；
（2）.
16．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数k的取值范围.
17．已知函数
（1）求的最小正周期和对称轴;
（2）判断函数在的单调性.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调增区间;
（2）若,求的值域.
19．已知平面向量，，.
(1)求函数在上的单调区间；
(2)当时，求函数的最小值及此时x的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得，即，
又，故，即定义域为.
故选：C.
2．答案：B
解析：依题意，，
即，
又，故a的最小值为.
故选：B.
3．答案：B
解析：对于A,函数的周期为,A不是;
对于B,函数的周期为,B是;
对于C,函数的周期为,C不是;
对于D,函数的周期为,D不是.
故选:B
4．答案：D
解析：设,,
,所以为偶函数,
因为的周期为,
所以的周期为,
故选:D.
5．答案：C
解析:对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误；
对于B，是奇函数，不合题意，故B错误；
对于C，作出函数的图像如下图所示：
由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确；
对于D，设，因为，
，所以，
所以的周期不是，故D错误.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，即当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，所以.
7．答案：B
解析：因为，所以，所以函数的最小值为，故选B.
8．答案：C
解析：如图,过点A作轴,垂足为C,过点B作轴,垂足为D,连接.
因为的最小正周期,所以,
又因为,所以.
当折成直二面角时,即平面平面,
因为,平面平面,平面,所以平面,
因为平面,故,
所以,
解得（负值舍去）,故.
因为,且,所以或,
又因为在y轴右侧附近单调递减,所以,则,
所以.
故选:C.
9．答案：ACD
解析:对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C正确；
对于D，作的图像，如图，由图可知的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：观察函数图像，设函数，
则，最小正周期
解得，又，
则，，
又，则，
所以，B正确；
，A错误；
，
，C正确，
，D错误.
故选：BC
11．答案：AC
解析：作出函数，的图象，函数，的图象与直线围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确，B错误，C正确，
利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又，，，D错误.故选AC.
12．答案：
解析：因为为偶函数，
故y轴为其图像的对称轴，
所以，
故，
因为，故，
故答案为：
13．答案：
解析：由题意,函数的部分图象,
可得,,所以,
可得,即,
又由,
结合三角函数的五点对应法,可得,,即,,
又因为,所以,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由在上单调递减,且,
根据正弦函数的性质时,单调递增,
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）；
（2）因为，所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，则根据图像可得，
又，解得，
所以，
又，
则，，
又，得，
故.
(2)由，则，
又在上单调递增，对应的值域为；
在上单调递减，对应的值域为，
又函数在区间上恰好有两个零点，
即与在区间上恰好有两个交点，如下图：
所以，即.
故实数k的取值范围为.
17．答案：（1）,
（2）见解析
解析：（1）最小正周期;
令,,得,,
所以的对称轴:,
（2）由正弦函数的性质知,,则,,
所以的单调递增区间为,;
又,令,在单调递增
同理:在单调递减
综上:在单调递增,在单调递减.
18．答案：（1）最小正周期;单调增区间,
（2）
解析：（1）因为函数,
则其最小正周期,
由,,
解得,,
所以的单调增区间为,.
（2）由可得,
当时,;
当时,;
所以的值域为.
19．答案：(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)的最小值为-1，此时
解析：(1)
，
，
令得；
令得；
得
的单调递增区间为和，单调递减区间为.
(2)当时,，
此时，
，
的最小值为-1，
此时，即.
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