6.1.2 向量的加法（教学课件）__高中数学人教B版（2019）必修第二册（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.1.2 向量的加法（教学课件）__高中数学人教B版（2019）必修第二册（共25张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 30.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-09 05:22:06 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
6.1.2 向量的加法
人教B版（2019）必修第一册
第六章 平面向量初步
学习目标
掌握向量的加法运算
01
理解向量加法的三角形法则和平行四边形
02
理解向量的加法交换律和结合律
03
情境与问题
如图所示，假设某人上午从点 A 到达了点 B，下午从点 B 到达了点 C．
探索新知
(1) 分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
(2) 这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述．
A
B
C
上午：
下午：
一天：
位移 可以看成位移 与 的和．
探索新知
向量加法的三角形法则
向量的和：一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，在该平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，作出向量 ，则向量 称为向量 (也称 为向量 a 与 b 的和向量).
a 与 b 的和
a＋b
向量 a 与 b 的和向量记作 ，因此
探索新知
向量加法的三角形法则：
(1) 当 a 与 b 不共线时：求它们的和可用图 ① 表示. 因为此时 a， b，a＋b 正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则；
a
b
a
b
ab
图 ①
A
B
C
记忆口诀：首尾顺次相接，首指向尾为和向量.
探索新知
(2) 当向量 a，b 共线时，求它们的和可用如图所示.
A
B
C
a
b
a+b
b
a
a+b
b
a
A
B
C
a
b
（1）
（2）
方向相同
方向相反
a＋b
＝
＝
a＋b
＝
＝
注意：对于任一向量 a，有 a＋0＝0＋a＝a.
探索新知
向量和的三角表示
(1) 因为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由向量加法的三角形法则知，当 不共线时，恒有 |
(2) 当 同向共线时， 同向，
综上，有向量和的三角不等式 .
(3) 当 反向共线时，
若 则 与 同向，
若 则 与 同向，
典型例题
例 1 已知 |a|＝3，|b|＝4，求 | a＋b | 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时 a 与 b 的关系.
解：由 | a＋b |≤|a|＋|b| 可知，| a＋b |的最大值为
|a|＋|b|＝3 4 ＝7，
当且仅当 a 与 b 方向相同时取得最大值．
由 | a＋b |≥| |a|－|b| | 可知，| a＋b | 的最小值为
| |a|－|b| |＝4－3＝1，
当且仅当 a 与 b 方向相反时取得最小值．
情境与问题
从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向，因此力是向量.
探索新知
A
B
C
当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力 或 所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？
我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则. 因此，情境中的物体不会沿着 或 所在的方向运动；其会沿着以 AB，AC 为邻边的平行四边形的对角线运动．
探索新知
如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作 ＝a，＝b，以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC，作出向量 ，因为 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ .
a
b
a
ab
b
A
B
C
D
一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：
这种求两向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则.
探索新知
思考：数的加法满足交换律，向量的加法是否也满足交换律呢？
满足交换律
A
O
B
C
探索新知
从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到和向量与另外一个向量相加．而且我们也已经知道，如同数与数的加法一样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？
满足结合律．
三个向量相加时，最后的结果与求和的顺序无关．因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．
探索新知
如图所示，(1) 中给出了三个向量 a、b、c；(2) 中先作出了向量 a＋b，然后作出了向量 (a＋b)＋c；(3) 中首先作出了向量 b＋c，然后作出了向量 a＋(b＋c).
a
a
b
b
c
c
a+b
b+c
(a+b)+c
a+(b+c)
(2)
(3)
a
b
c
(1)
不难看出， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
即向量的加法运算满足结合律.
探索新知
因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序.例如
(a＋b)＋(c＋b)＝a＋[(b＋c)＋d]
＝[(d＋c)＋a]＋b
因此，以上运算我们都可用 a＋b＋c＋b 表示.
探索新知
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如下所示.
a
b
c
d
e
a+b+c+d+e
a
b
e
c
d
问题 图中向量的和，与向量相加的顺序有关吗？为什么？
无关.
原因在于向量的加法运算满足交换律，因此可以任意调整有关顺序．事实上，由于向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的.
典型例题
例 2 化简下列各式：
(1) + + ；(2) + + + + .
解：(1) + + = (+ ) + + ；
+ + + + = + +( + + )
= + +
= (+ ) +
= +
= = 0.
探索新知
探索与研究
在求作两个向量的和时，可以选择不同的始点. 想一想，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认识，作出的向量和显然都是相等的. 当然，这里你的“显然”是对的，你能根据右图说明这个结论的正确性吗？
如图所示，∵ ，∴ 四边形 为平行四边形，
∴ AA′ BB′，同理 BB′ CC′，∴ AA′ CC′，
∴ 四边形 AA′C′C 为平行四边形，∴ AC A′C′.
又 与 方向相同，∴ ＝，即结论成立.
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
ABCD
当堂检测
C
当堂检测
km
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1. 向量加法的三角形法则；
2. 向量加法的平行四边形法则；
3. 向量的交换律、结合律.
感谢观看
祝同学新学期新气象
6.1.2 向量的加法
人教B版（2019）必修第一册
第六章 平面向量初步
学习目标
掌握向量的加法运算
01
理解向量加法的三角形法则和平行四边形
02
理解向量的加法交换律和结合律
03
情境与问题
如图所示，假设某人上午从点 A 到达了点 B，下午从点 B 到达了点 C．
探索新知
(1) 分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
(2) 这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述．
A
B
C
上午：
下午：
一天：
位移 可以看成位移 与 的和．
探索新知
向量加法的三角形法则
向量的和：一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，在该平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，作出向量 ，则向量 称为向量 (也称 为向量 a 与 b 的和向量).
a 与 b 的和
a＋b
向量 a 与 b 的和向量记作 ，因此
探索新知
向量加法的三角形法则：
(1) 当 a 与 b 不共线时：求它们的和可用图 ① 表示. 因为此时 a， b，a＋b 正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则；
a
b
a
b
ab
图 ①
A
B
C
记忆口诀：首尾顺次相接，首指向尾为和向量.
探索新知
(2) 当向量 a，b 共线时，求它们的和可用如图所示.
A
B
C
a
b
a+b
b
a
a+b
b
a
A
B
C
a
b
（1）
（2）
方向相同
方向相反
a＋b
＝
＝
a＋b
＝
＝
注意：对于任一向量 a，有 a＋0＝0＋a＝a.
探索新知
向量和的三角表示
(1) 因为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由向量加法的三角形法则知，当 不共线时，恒有 |
(2) 当 同向共线时， 同向，
综上，有向量和的三角不等式 .
(3) 当 反向共线时，
若 则 与 同向，
若 则 与 同向，
典型例题
例 1 已知 |a|＝3，|b|＝4，求 | a＋b | 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时 a 与 b 的关系.
解：由 | a＋b |≤|a|＋|b| 可知，| a＋b |的最大值为
|a|＋|b|＝3 4 ＝7，
当且仅当 a 与 b 方向相同时取得最大值．
由 | a＋b |≥| |a|－|b| | 可知，| a＋b | 的最小值为
| |a|－|b| |＝4－3＝1，
当且仅当 a 与 b 方向相反时取得最小值．
情境与问题
从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向，因此力是向量.
探索新知
A
B
C
当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力 或 所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？
我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则. 因此，情境中的物体不会沿着 或 所在的方向运动；其会沿着以 AB，AC 为邻边的平行四边形的对角线运动．
探索新知
如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作 ＝a，＝b，以 AB、AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC，作出向量 ，因为 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ .
a
b
a
ab
b
A
B
C
D
一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：
这种求两向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则.
探索新知
思考：数的加法满足交换律，向量的加法是否也满足交换律呢？
满足交换律
A
O
B
C
探索新知
从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到和向量与另外一个向量相加．而且我们也已经知道，如同数与数的加法一样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？
满足结合律．
三个向量相加时，最后的结果与求和的顺序无关．因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序．
探索新知
如图所示，(1) 中给出了三个向量 a、b、c；(2) 中先作出了向量 a＋b，然后作出了向量 (a＋b)＋c；(3) 中首先作出了向量 b＋c，然后作出了向量 a＋(b＋c).
a
a
b
b
c
c
a+b
b+c
(a+b)+c
a+(b+c)
(2)
(3)
a
b
c
(1)
不难看出， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
即向量的加法运算满足结合律.
探索新知
因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序.例如
(a＋b)＋(c＋b)＝a＋[(b＋c)＋d]
＝[(d＋c)＋a]＋b
因此，以上运算我们都可用 a＋b＋c＋b 表示.
探索新知
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如下所示.
a
b
c
d
e
a+b+c+d+e
a
b
e
c
d
问题 图中向量的和，与向量相加的顺序有关吗？为什么？
无关.
原因在于向量的加法运算满足交换律，因此可以任意调整有关顺序．事实上，由于向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的.
典型例题
例 2 化简下列各式：
(1) + + ；(2) + + + + .
解：(1) + + = (+ ) + + ；
+ + + + = + +( + + )
= + +
= (+ ) +
= +
= = 0.
探索新知
探索与研究
在求作两个向量的和时，可以选择不同的始点. 想一想，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认识，作出的向量和显然都是相等的. 当然，这里你的“显然”是对的，你能根据右图说明这个结论的正确性吗？
如图所示，∵ ，∴ 四边形 为平行四边形，
∴ AA′ BB′，同理 BB′ CC′，∴ AA′ CC′，
∴ 四边形 AA′C′C 为平行四边形，∴ AC A′C′.
又 与 方向相同，∴ ＝，即结论成立.
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km
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本节课学习了哪些知识点呢？
1. 向量加法的三角形法则；
2. 向量加法的平行四边形法则；
3. 向量的交换律、结合律.
感谢观看
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