第1课时 两个基本计数原理及简单应用
1.如果某礼堂共有4个门，规定从一个门进，另一个门出，那么不同的走法共有（ ）
A.81种 B.64种
C.16种 D.12种
2.（2024·宿迁月考）如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A.26 B.20
C.24 D.19
3.阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ）
A.50 B.60
C.125 D.243
4.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）
A.18 B.17
C.16 D.10
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员中选1名作为运动员代表发言，有10种不同的选法
B.将3名同学分配到3个班级，每班1人，有9种不同的方案
C.将3名同学分配到3个班级，有27种不同的方案
D.某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，则有35种不同的方案
6.（多选）（2024·苏州月考）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的是（ ）
A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法
7.从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 .
8.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成 组.
9.（2024·连云港月考）已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使logab＞1的对数值有 个.
10.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
11.（2024·南通月考）满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对（a，b）的个数为（ ）
A.14 B.13
C.12 D.10
12.（多选）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为（ ）
A.20 B.27
C.32 D.30
13.某人持100元人民币到银行兑换成10元、20元、50元的零钱，共有 种不同的兑换方式.（有足够数量的零钱，且相同面值之间没有区别）
14.将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.
求：（1）1号盒中无球的不同放法种数；
（2）1号盒中有球的不同放法种数.
15.用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
（1）写出这个数列的前11项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若an＝341，求n.
第1课时 两个基本计数原理及简单应用
1.D 分两步：第一步，进门有4种方法；第二步，出门有3种方法.共有4×3＝12（种）不同的走法.
2.D 因为信息可以从不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种办法：12→5→3；12→6→4；12→6→7；12→8→6.故单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
3.D 由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是35＝243.故选D.
4.B 分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9（个）在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8（个）在第一、二象限内的点.由分类计数原理，共有9＋8＝17（个）点在第一、二象限内.
5.ACD 从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员中选1名作为运动员代表发言，根据分类计数原理，有3＋2＋5＝10（种）选法，故选项A正确；将3名同学分配到3个班级，每班1人，有3×2×1＝6（种）不同的方案，故选项B错误；将3名同学分配到3个班级，有33＝27（种）不同的方案，故选项C正确；某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，每封电子邮件都有3种不同的发法，根据分步计数原理，则有35种不同的方案，故选项D正确.故选A、C、D.
6.ABC 对于A，分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法，A正确；对于B，分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法，B正确；对于C，分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画.由分步计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法；第3类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法，C正确；对于D，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法.根据分步计数原理，不同挂法的种数是N＝5×4＝20，D错误，故选A、B、C.
7.6 解析：要完成的一件事情是“从A村经B村去C村”，不同路线的条数是3×2＝6.
8.60 解析：分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30（组）不同的结果.第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60（组）.
9.9 解析：分四类，当a＝2时，有b取3，5，7，9四种情况；当a＝4时，有b取5，7，9三种情况；当a＝6时，有b取7，9两种情况；当a＝8时，有b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10（种），又log23＝log49，所以能使logab＞1的对数值有9个.
10.解：（1）分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法.
根据分类计数原理，共有3＋5＋2＝10（种）选法.
（2）分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法.
根据分步计数原理知，共有3×5×2＝30（种）选法.
11.B 由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴所求（a，b）的个数为4＋4＋3＋2＝13.
12.ABC 东面上山的种数为：2×（3＋3＋4）＝20，西面上山的种数为：3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为：3×（2＋3＋4）＝27，北面上山的种数为：4×（2＋3＋3）＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32.
13.10 解析：①有两张50元的情况有1种；②有一张50元的情况有3种；③没有50元的情况有6种.按分类计数原理，共有1＋3＋6＝10（种）兑换方式.
14.解：（1）根据题意，要求1号盒子内没有球，即三个小球全部放进2、3、4号盒子，
分析可得：A球可以放进三个盒子中任意1个，即有3种选择方法；
同理，B、C球也有3种选择方法，
则不同的放法有3×3×3＝27种.
（2）先看总数，三个球选四个盒子，每个球有四种选择，做三次选择，共有43＝64种结果，
1号盒中没球的情况，共有33＝27种结果，
故共有64－27＝37种结果.
15.解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
（2）这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）.
（3）比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）.
所以n＝44＋1＝45.
2 / 2第七章 计数原理
7.1 两个基本计数原理
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义 数学抽象
2.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题 数学建模、数学运算
第1课时 两个基本计数原理及简单应用
杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.一名志愿者从成都赴杭州为亚运会服务，从成都到杭州每天有6个航班，4列火车.
【问题】 （1）该志愿者从成都到杭州的方案可以分为几类？
（2）在这几类中各有几种方法？
（3）该志愿者从成都到杭州共有多少种不同的方法？
知识点一 分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
知识点二 分步计数原理
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
提醒 两个计数原理的区别与联系
分类计数原理 分步计数原理
关键词 分类 分步
区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（ ）
（2）在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（ ）
（3）在分步计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（ ）
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题.（ ）
2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方法数为（ ）
A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9
C.3×4×2＝24 D.以上都不对
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A.7 B.12
C.64 D.81
题型一 分类计数原理
【例1】 （链接教科书第60页例1（1））某校高三共有三个班，各班人数如下表：
班级 男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
通性通法
利用分类计数原理计数时的解题流程
【跟踪训练】
1.某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和5名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（ ）
A.3 B.5
C.8 D.15
2.（2024·无锡月考）设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（ ）
A.6个 B.8个
C.12个 D.16个
题型二 分步计数原理
【例2】 （链接教科书第61页例2（2））从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
（2）三位偶数.
通性通法
利用分步计数原理计数时的解题流程
【跟踪训练】
1.某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有4种测试方案.某人参加该项测试，不同的测试方法种数为（ ）
A.3＋4＝7 B.3×4＝12
C.34 D.43
2.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A.6种 B.24种
C.64种 D.81种
题型三 两个计数原理的简单应用
【例3】 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营.
（1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则共有多少种选法？
通性通法
使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，用分步计数原理.
【跟踪训练】
有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.
（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
（3）若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？
1.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有（ ）
A.8种 B.6种
C.14种 D.48种
2.（2024·泰州月考）已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则xy的不同的值的个数是（ ）
A.2 B.3
C.6 D.9
3.某校教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有 种（用数字作答）.
4.一学习小组有4名男生，3名女生.
（1）若任选一名学生当数学课代表，共有多少种不同选法？
（2）若选男、女生各一名当组长，共有多少种不同选法？
第1课时 两个基本计数原理及简单应用
【基础知识·重落实】
知识点一
m1＋m2＋…＋mn
知识点二
m1×m2×…×mn
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.B 根据分类计数原理可得，一天内从A地乘坐这三种交通工具到B地的不同走法种数为3＋4＋2＝9.
3.B 第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12（种）不同的配法.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案：
第一类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第二类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第三类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类计数原理，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法.
（2）从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第一类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第二类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第三类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.
根据分类计数原理，从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法.
跟踪训练
1.C 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从5名男大学生中选聘1人，有5种选法，根据分类计数原理，可知不同的选法种数为3＋5＝8，故选C.
2.A 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）.
【例2】 解：（1）三位数有三个数位：
百位 十位 个位
，故可分三个步骤完成：
第一步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法.
根据分步计数原理，共有4×3×2＝24（个）满足要求的三位数.
（2）分三个步骤完成：
第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法.
根据分步计数原理，共有2×3×2＝12（个）满足要求的三位偶数.
跟踪训练
1.B 因过第一关有3种测试方法，过第二关有4种测试方法.由分步计数原理知，不同的测试方法共有3×4＝12种.
2.D 每名学生都有3种选择，则4名学生的报名方式共有34＝81（种）.故选D.
【例3】 解：（1）分三类：从高一学生中选1人作总负责人有50种选法；从高二学生中选1人作总负责人有42种选法；从高三学生中选1人作总负责人有30种选法.由分类计数原理，可知共有50＋42＋30＝122（种）选法.
（2）分三步：从高一学生中选1名负责人有50种选法；从高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责人有30种选法.由分步计数原理，可知共有50×42×30＝63 000（种）选法.
（3）分三类：①从高一和高二学生中各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100（种）选法；②从高二和高三学生中各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260（种）选法；③从高一和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500（种）选法.故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（种）选法.
跟踪训练
解：（1）分三类：3名老师中选一人，有3种选法；8名男同学中选一人，有8种选法；5名女同学中选一人，有5种选法.
由分类计数原理知，有3＋8＋5＝16（种）选法.
（2）分三步：第一步选老师，有3种选法；第二步选男同学，有8种选法；第三步选女同学，有5种选法.由分步计数原理知，共有3×8×5＝120（种）选法.
（3）分两类，每一类又分两步.
第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24（种）选法；
第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15（种）选法.
由分类计数原理知，共有24＋15＝39（种）选法.
随堂检测
1.C 由分类计数原理，得完成升旗这一任务分两类，安排方法共有8＋6＝14（种）.
2.D x从2，3，7中选一个，有3种方法，y从－31，－24，4中选一个，有3种方法，故xy共有3×3＝9（个）不同的值.
3.8 解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有2×2×2＝23＝8种.
4.解：（1）任选一名当数学课代表可分两类，第1类是从男生中选，有4种选法；第2类是从女生中选，有3种选法.根据分类计数原理，共有4＋3＝7（种）不同选法.
（2）若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法.根据分步计数原理，共有4×3＝12（种）不同选法.
3 / 4(共60张PPT)
7.1 两个基本计数原理
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解分类计数原理、分步计
数原理及其意义 数学抽象
2.能利用两个计数原理解决一些简单的实
际问题 数学建模、数学运算
第1课时
两个基本计数原理及简单应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022
年第19届亚运会.一名志愿者从成都赴杭州为亚运会服务，从成都到
杭州每天有6个航班，4列火车.
【问题】 （1）该志愿者从成都到杭州的方案可以分为几类？
（2）在这几类中各有几种方法？
（3）该志愿者从成都到杭州共有多少种不同的方法？
知识点一 分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方
法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不
同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的
方法.
m1＋m2＋…＋mn
知识点二 分步计数原理
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方
法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那
么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
m1×m2×…×mn
分类计数原理 分步计数原理
关键词 分类 分步
区别 每类方法都能独立完成
这件事 各步都完成，才能完成这件事
各类方法之间是互斥
的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，
“关联”确保不遗漏，“独立”
确保不重复
联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 提醒 两个计数原理的区别与联系
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.
（ × ）
（2）在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.
（ √ ）
（3）在分步计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一
个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，
这件事情才算完成. （ √ ）
（4）从甲地经丙地到乙地是分步问题. （ √ ）
×
√
√
√
2. 从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内
汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方
法数为（ ）
A. 1＋1＋1＝3
B. 3＋4＋2＝9
C. 3×4×2＝24
D. 以上都不对
解析： 根据分类计数原理可得，一天内从A地乘坐这三种交通
工具到B地的不同走法种数为3＋4＋2＝9.
3. 现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件
上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A. 7 B. 12
C. 64 D. 81
解析： 第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的
选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.
故共有4×3＝12（种）不同的配法.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分类计数原理
【例1】 （链接教科书第60页例1（1））某校高三共有三个班，各
班人数如下表：
班级 男生人数 女生人数 总人数
高三（1）班 30 20 50
高三（2）班 30 30 60
高三（3）班 35 20 55
（1）从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的
选法？
解： 从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有三类不
同的方案：
第一类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第二类，从高三（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第三类，从高三（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类计数原理，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共
有50＋60＋55＝165（种）不同的选法.
（2）从高三（1）班、（2）班男生中或从高三（3）班女生中选1名
学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解：从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中
选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第一类，从高三（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的
选法；
第二类，从高三（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的
选法；
第三类，从高三（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的
选法.
根据分类计数原理，从高三（1）班、（2）班男生中或高三（3）班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法.
通性通法
利用分类计数原理计数时的解题流程
【跟踪训练】
1. 某中学需从2024年师范大学毕业的3名女大学生和5名男大学生中选
聘1人，则不同的选法种数为（ ）
A. 3 B. 5
C. 8 D. 15
解析： 选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有
3种选法；从5名男大学生中选聘1人，有5种选法，根据分类计数原
理，可知不同的选法种数为3＋5＝8，故选C.
2. （2024·无锡月考）设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程
＋ ＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有（ ）
A. 6个 B. 8个
C. 12个 D. 16个
解析： 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m＞n.当m＝4时，n＝
1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭
圆共有3＋2＋1＝6（个）.
题型二 分步计数原理
【例2】 （链接教科书第61页例2（2））从1，2，3，4中选三个数
字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
解： 三位数有三个数位：
百位 十位 个位
故可分三个步骤完成：
第一步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法.
根据分步计数原理，共有4×3×2＝24（个）满足要求的三
位数.
，
（2）三位偶数.
解： 分三个步骤完成：
第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法.
根据分步计数原理，共有2×3×2＝12（个）满足要求的三
位偶数.
通性通法
利用分步计数原理计数时的解题流程
【跟踪训练】
1. 某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有4种测试方
案.某人参加该项测试，不同的测试方法种数为（ ）
A. 3＋4＝7 B. 3×4＝12
C. 34 D. 43
解析： 因过第一关有3种测试方法，过第二关有4种测试方法.
由分步计数原理知，不同的测试方法共有3×4＝12种.
2. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则
不同的报名方式有（ ）
A. 6种 B. 24种
C. 64种 D. 81种
解析： 每名学生都有3种选择，则4名学生的报名方式共有34＝
81（种）.故选D.
题型三 两个计数原理的简单应用
【例3】 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成
冬令营.
（1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
解： 分三类：从高一学生中选1人作总负责人有50种选
法；从高二学生中选1人作总负责人有42种选法；从高三学生中
选1人作总负责人有30种选法.由分类计数原理，可知共有50＋
42＋30＝122（种）选法.
（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
解： 分三步：从高一学生中选1名负责人有50种选法；从
高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责
人有30种选法.由分步计数原理，可知共有50×42×30＝63 000
（种）选法.
（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年
级，则共有多少种选法？
解： 分三类：①从高一和高二学生中各选1人作为中心发
言人，有50×42＝2 100（种）选法；②从高二和高三学生中各
选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260（种）选法；③从高一
和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500（种）
选法.故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860（种）选法.
通性通法
使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入
手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类
解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的
步骤，然后逐步解决，用分步计数原理.
【跟踪训练】
有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员
参加.
（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？
解： 分三类：3名老师中选一人，有3种选法；8名男同学
中选一人，有8种选法；5名女同学中选一人，有5种选法.
由分类计数原理知，有3＋8＋5＝16（种）选法.
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选
法？
解： 分三步：第一步选老师，有3种选法；第二步选男同
学，有8种选法；第三步选女同学，有5种选法.由分步计数原理
知，共有3×8×5＝120（种）选法.
（3）若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？
解： 分两类，每一类又分两步.
第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24（种）选
法；
第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15（种）
选法.
由分类计数原理知，共有24＋15＝39（种）选法.
1. 某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学
校星期一早晨升旗任务，安排方法共有（ ）
A. 8种 B. 6种
C. 14种 D. 48种
解析： 由分类计数原理，得完成升旗这一任务分两类，安排方
法共有8＋6＝14（种）.
2. （2024·泰州月考）已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则
xy的不同的值的个数是（ ）
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
解析： x从2，3，7中选一个，有3种方法，y从－31，－24，4
中选一个，有3种方法，故xy共有3×3＝9（个）不同的值.
3. 某校教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层
走到第四层的方法共有 种（用数字作答）.
解析：学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二
层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层
都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层的方法共有
2×2×2＝23＝8种.
8
4. 一学习小组有4名男生，3名女生.
（1）若任选一名学生当数学课代表，共有多少种不同选法？
解： 任选一名当数学课代表可分两类，第1类是从男生
中选，有4种选法；第2类是从女生中选，有3种选法.根据分
类计数原理，共有4＋3＝7（种）不同选法.
（2）若选男、女生各一名当组长，共有多少种不同选法？
解： 若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，
从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3
种选法.根据分步计数原理，共有4×3＝12（种）不同选法.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果某礼堂共有4个门，规定从一个门进，另一个门出，那么不同
的走法共有（ ）
A. 81种 B. 64种
C. 16种 D. 12种
解析： 分两步：第一步，进门有4种方法；第二步，出门有3种
方法.共有4×3＝12（种）不同的走法.
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2. （2024·宿迁月考）如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间
的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时
间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息
可以从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为
（ ）
A. 26 B. 20
C. 24 D. 19
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解析： 因为信息可以从不同的路线同时传递，由分类计数原
理，完成从A向B传递有四种办法：12→5→3；12→6→4；
12→6→7；12→8→6.故单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋
6＝19.
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3. 阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同
的选法种数是（ ）
A. 50 B. 60
C. 125 D. 243
解析： 由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅
读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是
35＝243.故选D.
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4. 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中
各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示
第一、二象限内不同的点的个数是（ ）
A. 18 B. 17
C. 16 D. 10
解析： 分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作
纵坐标，则有3×3＝9（个）在第一、二象限内的点；第2类，N中
的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8（个）在第
一、二象限内的点.由分类计数原理，共有9＋8＝17（个）点在第
一、二象限内.
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5. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员中选1名作为运动员代表发言，有10种不同的选法
B. 将3名同学分配到3个班级，每班1人，有9种不同的方案
C. 将3名同学分配到3个班级，有27种不同的方案
D. 某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，则有35种不同的方案
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解析： 从3名射击运动员、2名游泳运动员和5名跳水运动员
中选1名作为运动员代表发言，根据分类计数原理，有3＋2＋5＝10
（种）选法，故选项A正确；将3名同学分配到3个班级，每班1
人，有3×2×1＝6（种）不同的方案，故选项B错误；将3名同学
分配到3个班级，有33＝27（种）不同的方案，故选项C正确；某人
有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，每封电子邮件都有3
种不同的发法，根据分步计数原理，则有35种不同的方案，故选项
D正确.故选A、C、D.
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6. （多选）（2024·苏州月考）现有5幅不同的国画，2幅不同的油
画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的是（ ）
A. 从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B. 从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的
选法
C. 从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D. 要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定
位置，共有9种不同的挂法
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解析： 对于A，分为三类：从国画中选，有5种不同的选
法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的
选法，根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法，
A正确；对于B，分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2
种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70（种）
不同的选法，B正确；对于C，分为三类：第一类是一幅选自国
画，一幅选自油画.由分步计数原理知，有5×2＝10（种）不同的
选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35
（种）不同的选法；
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第3类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的
选法，所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法，C正确；对于D，
从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩
下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法.根据分步计数原理，不
同挂法的种数是N＝5×4＝20，D错误，故选A、B、C.
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7. 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经
B村去C村，不同路线的条数是 .
解析：要完成的一件事情是“从A村经B村去C村”，不同路线的
条数是3×2＝6.
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8. 古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、
丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用
天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、
亥”相配，共可配成 组.
解析：分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支
的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30（组）不同的
结果.第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60（组）.
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9. （2024·连云港月考）已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，
则能使logab＞1的对数值有 个.
解析：分四类，当a＝2时，有b取3，5，7，9四种情况；当a＝4
时，有b取5，7，9三种情况；当a＝6时，有b取7，9两种情况；
当a＝8时，有b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10
（种），又log23＝log49，所以能使logab＞1的对数值有9个.
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10. 现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
解： 分三类：
第一类，选出的是医生，有3种选法；
第二类，选出的是护士，有5种选法；
第三类，选出的是麻醉师，有2种选法.
根据分类计数原理，共有3＋5＋2＝10（种）选法.
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（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗
小组，有多少种不同的选法？
解： 分三步：
第一步，选1名医生，有3种选法；
第二步，选1名护士，有5种选法；
第三步，选1名麻醉师，有2种选法.
根据分步计数原理知，共有3×5×2＝30（种）选法.
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11. （2024·南通月考）满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方
程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对（a，b）的个数为
（ ）
A. 14 B. 13
解析： 由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4
种可能；当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝1
时，b＝－1，0，1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种
可能.∴所求（a，b）的个数为4＋4＋3＋2＝13.
C. 12 D. 10
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12. （多选）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4
条，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可
能为（ ）
A. 20 B. 27
C. 32 D. 30
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解析： 东面上山的种数为：2×（3＋3＋4）＝20，西面上
山的种数为：3×（2＋3＋4）＝27，南面上山的种数为：3×（2
＋3＋4）＝27，北面上山的种数为：4×（2＋3＋3）＝32，故只
从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，
32.
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13. 某人持100元人民币到银行兑换成10元、20元、50元的零钱，共
有 种不同的兑换方式.（有足够数量的零钱，且相同面值之
间没有区别）
解析：①有两张50元的情况有1种；②有一张50元的情况有3种；
③没有50元的情况有6种.按分类计数原理，共有1＋3＋6＝10
（种）兑换方式.
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14. 将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四
个盒子中.
求：（1）1号盒中无球的不同放法种数；
解： 根据题意，要求1号盒子内没有球，即三个小球全
部放进2、3、4号盒子，
分析可得：A球可以放进三个盒子中任意1个，即有3种选择
方法；
同理，B、C球也有3种选择方法，
则不同的放法有3×3×3＝27种.
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（2）1号盒中有球的不同放法种数.
解： 先看总数，三个球选四个盒子，每个球有四种选
择，做三次选择，共有43＝64种结果，
1号盒中没球的情况，共有33＝27种结果，
故共有64－27＝37种结果.
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15. 用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数
由小到大排成一个数列{an}.
（1）写出这个数列的前11项；
解： 111，112，113，114，121，122，123，124，
131，132，133.
（2）这个数列共有多少项？
解： 这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数
的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64
（项）.
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（3）若an＝341，求n.
解： 比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）.
所以n＝44＋1＝45.
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谢 谢 观 看！
