7.2 排列
第1课时 排列
1.下列问题是排列问题的是（ ）
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有2 024个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C.集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
2.世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为（ ）
A.12 B.10
C.8 D.6
3.从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字组成两位数，组成不同的两位数共有（ ）
A.10个 B.12个
C.18个 D.20个
4.（2024·宿迁月考）四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“4”，则由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为（ ）
A.6 B.9
C.12 D.24
5.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有（ ）
A.9个 B.12个
C.15个 D.18个
6.（多选）已知甲、乙等5人站一横排，则下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙站两端有14种站法
B.甲、乙站两端有12种站法
C.甲、乙不站两端有108种站法
D.甲、乙不站两端有36种站法
7.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为 .
8.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是 .
9.某高三毕业班有40人，同学之间彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.
10.写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种直达机票？
（2）A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
11.（2024·苏州月考）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）
A.80个 B.40个
C.20个 D.10个
12.（多选）甲、乙、丙、丁四人参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1.比赛结束时甲以14分获第一名，乙的得分为13分，则（ ）
A.第三名的得分不超过9分
B.第三名可能获得其中一场比赛的第一名
C.最后一名的得分不超过6分
D.第四名可能有一项比赛拿到3分
13.（2024·南通月考）三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过五次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 种.
14.将3名男生，2名女生排成一列.
（1）男生甲必须排在第1位的排法有多少种？
（2）两名女生相邻的排法有多少种？两名女生不相邻的排法有多少种？
15.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.
第1课时 排列
1.D A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算与点的次序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都不是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题.故选D.
2.D 因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6（种），所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6.
3.D 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字可组成的两位数为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，共20个.
4.B 第一类，0在个位，有2 240，2 420，4 220，共3个；第二类，0在十位，有2 204，2 402，4 202，共3个；第三类，0在百位，有2 024，2 042，4 022，共3个，故由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为9.
5.B 本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为：
由图可知共有12个.
6.BD 甲、乙两人站两端有2×3×2×1＝12（种），B正确.甲、乙两人不站两端分两步进行：第1步，甲、乙站中间3个位置中的2个位置有3×2＝6（种）站法；第2步，其余3个人任意排列有3×2×1＝6（种），所以共有6×6＝36（种）站法，D正确.故选B、D.
7.4 解析：列“树状图”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种排列方法.
8.18 解析：lg a－lg b＝lg，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20（种），其中lg＝lg，lg＝lg，故共可得到18种结果.
9.1 560 解析：根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言.
10.解：（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示.
故符合题意的机票有北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
（2）因为A不排第一，排第一位的情况有3类（可从B，C，D中任选一人排），而此时兼顾分析B的排法，画出树形图如图.
所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种.
11.C 十位数只能是3，4，5.当十位数为3时只有：132，231，共2个；当十位数是4时有：142，143，241，243，341，342，共6个；当十位数是5时有：152，153，154，251，253，254，351，352，354，451，452，453，共12个，故共有2＋6＋12＝20（个）.
12.ACD 所有分数之和为4×（4＋3＋2＋1）＝40，甲和乙的总得分是27分，所以第三名和第四名的总得分是13分，第四名的得分不超过6分，C正确.第四名至少得4分，所以A正确.所有项目的第一名和第二名分数之和为4×（4＋3）＝28，只比甲、乙的总得分高1分，说明只有一种情况，即甲和乙包揽了所有的第一名，总共拿了3个第二名和1个第三名，总分第三名不可能获得其中某一场比赛的第一名，故B错误.如图所示为D正确的一种情况.
选手 比赛项目
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
甲 4 4 4 2
乙 3 3 3 4
丙 2 2 2 1
丁 1 1 1 3
故选A、C、D.
13.10 解析：记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式如图所示，其中经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式有5种.同理，若甲第一次把球传给丙，也有5种符合题意的不同的传球方式，所以共有10种符合题意的不同的传球方式.
14.解：（1）男生甲必须排在第1位的排法有4×3×2×1＝24（种）.
（2）先把两名女生当作一个整体，与3个男生进行排列，共有4×3×2×1＝24（种）排法.两个女生再进行排列，共2×1＝2（种）排法.根据分步计数原理，共有24×2＝48（种）排法；
若两名女生不相邻，先排3个男生，共有3×2×1＝6（种）排法，再把2个女生插在4个空中，共有4×3＝12（种）排法.根据分步计数原理，共有6×12＝72（种）排法.
15.解：如图，由树状图可写出所有不同试验方法如下：
故不同的试验方法为：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
2 / 27.2 排列
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解排列的概念；能利用计数原理推导排列数公式 数学抽象
2.能运用排列数公式解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
第1课时 排列
两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.
【问题】 （1）从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？
（2）从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
知识点 排列的概念
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
提醒 排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排成一列”.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，2，3与3，2，1为同一排列.（ ）
（2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现.（ ）
（3）从1，2，3，4中任选两个数字，就组成一个排列.（ ）
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（ ）
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
3.（多选）从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的有（ ）
A.加法 B.减法
C.乘法 D.除法
题型一 排列的有关概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题：
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
通性通法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【跟踪训练】
下面问题中，是排列问题的是（ ）
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
题型二 画树状图写排列
【例2】 （链接教科书第65页例1）（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成没有重复数字的两位数，一共可以组成多少个？
（2）写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，一共可以组成多少个排列？
通性通法
利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式；
（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.
【跟踪训练】
从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来.
题型三 简单的排列问题
【例3】 用具体数字表示下列问题：
（1）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
（2）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，求其分配方案的个数.
通性通法
解决简单的排列实际应用问题的策略
（1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序；
（2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.
【跟踪训练】
1.（2024·南京月考）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数为（ ）
A.15 B.30
C.12 D.36
2.已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分顺序，精加工要完成E，F，G三道工序且E为F的前一道工序，则完成该工艺品加工不同的方法有（ ）
A.144种 B.96种
C.48种 D.112种
1.（多选）下列问题中，是排列问题的有（ ）
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组
B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动
C.从a，b，c，d这4个字母中取出2个
D.从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数
2.李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序共有（ ）
A.6种 B.12种
C.24种 D.48种
3.（2024·扬州月考）将《语文》《数学》《英语》三本不同的教科书按上下方式放在一起，则《数学》放在最上面或最下面的不同放法共有（ ）
A.2种 B.4种
C.6种 D.9种
4.写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.
、第1课时 排列
【基础知识·重落实】
知识点
一定的顺序
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）×
2.C 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
3.BD 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字顺序无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的顺序有关，故是排列问题.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
（2）第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.
（3）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
跟踪训练
A 对选项A，由于三个数字位置不同所得到的三位数不同，即与顺序有关.A为排列问题，其他B、C、D表述事情均与所选取的元素顺序无关，它们不是排列问题，故选A.
【例2】 解：（1）由题意作出树状图如图：
故组成的所有没有重复数字的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个.
（2）由题意作出树状图如图：
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.一共可以组成24个排列.
跟踪训练
解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有4×3×2＝24（种）不同的分法，不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1，2，3，4，画出树状图如图.
由树状图可知，按甲、乙、丙的顺序分的方法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数.
【例3】 解：（1）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故要确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，
共有3×2×1＝6（个）.
（2）此题可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120（个）分配方案.
跟踪训练
1.B 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）.
2.C 由题意可知，粗加工工序的排法种数为4×3×2×1＝24.将E，F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法种数为2.由分步计数原理可知，完成该工艺品加工不同的方法有24×2＝48（种）.故选C.
随堂检测
1.AD A是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两位数.
2.C 从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学.按分步计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24（种）.
3.B 第一类《数学》放在最上面，有两种不同的放法，第二类《数学》放在最下面，也有两种不同的放法，则《数学》放在最上面或最下面的不同放法共有4种.
4.解：由题意作“树状图”，如图.
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
3 / 3(共53张PPT)
7.2 排列
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解排列的概念；能利
用计数原理推导排列数公式 数学抽象
2.能运用排列数公式解决简单的实际
问题 数学建模、数学运算
第1课时 排列
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数
字游戏.
【问题】 （1）从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的
两位数？
（2）从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
知识点 排列的概念
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照
排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
提醒 排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的
顺序排成一列”.
一定
的顺序
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，2，3与3，2，1为同一排列. （ × ）
（2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现. （ √ ）
（3）从1，2，3，4中任选两个数字，就组成一个排列.
（ × ）
×
√
×
2. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（ ）
A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B. 甲乙丙、乙丙甲
C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D. 甲乙、甲丙、乙丙
解析： 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有
如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
3. （多选）从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除
运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的
有（ ）
A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法
解析： 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法
和乘法时，结果与两数字顺序无关，故不是排列问题.而减法、除
法与两数字的顺序有关，故是排列问题.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列的有关概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题：
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个
座位安排三位客人，又有多少种方法？
解： 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”
问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人
是排列问题.
（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以
得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程 ＋ ＝1？可以得到多少
个焦点在x轴上的双曲线方程 － ＝1？
解： 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程
＋ ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小
关系一定；在双曲线 － ＝1中，不管a＞b还是a＜b，方
程 － ＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲
线，故是排列问题.
（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定
多少条直线？可确定多少条射线？
解： 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
通性通法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【跟踪训练】
下面问题中，是排列问题的是（ ）
A. 由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B. 从40人中选5人组成篮球队
C. 从100人中选2人抽样调查
D. 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
解析： 对选项A，由于三个数字位置不同所得到的三位数不同，
即与顺序有关.A为排列问题，其他B、C、D表述事情均与所选取的元
素顺序无关，它们不是排列问题，故选A.
题型二 画树状图写排列
【例2】 （链接教科书第65页例1）（1）从1，2，3，4四个数字中
任取两个数字组成没有重复数字的两位数，一共可以组成多少个？
解： 由题意作出树状图如图：
故组成的所有没有重复数字
的两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，一共可以组成12个.
（2）写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，一共
可以组成多少个排列？
解： 由题意作出树
状图如图：
故所有的排列为
abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，
bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，
dba，dbc，dca，dcb.一共可以组成24个排列.
通性通法
利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是
一种比较有效的表示方式；
（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个
元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分
类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然
后再按树状图写出排列.
【跟踪训练】
从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三
人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来.
解：从语文、数学、
英语、物理4本书中任
意取出3本，分给甲、
乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有4×3×2＝24（种）不同的分法，不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1，2，3，4，画出树状图如图.
由树状图可知，按甲、乙、丙的顺序分的方法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数.
题型三 简单的排列问题
【例3】 用具体数字表示下列问题：
（1）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的
个数；
解： 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故要确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字
即可，
共有3×2×1＝6（个）.
（2）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习
生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分
配完毕，求其分配方案的个数.
解： 此题可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120（个）分配方案.
通性通法
解决简单的排列实际应用问题的策略
（1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序；
（2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成.
【跟踪训练】
1. （2024·南京月考）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无
锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六
个大站之间）准备不同的火车票的种数为（ ）
A. 15 B. 30 C. 12 D. 36
解析： 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火
车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每
张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站
和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30（种）.
2. 已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师
完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分顺
序，精加工要完成E，F，G三道工序且E为F的前一道工序，则
完成该工艺品加工不同的方法有（ ）
A. 144种 B. 96种 C. 48种 D. 112种
解析： 由题意可知，粗加工工序的排法种数为4×3×2×1＝
24.将E，F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法
种数为2.由分步计数原理可知，完成该工艺品加工不同的方法有
24×2＝48（种）.故选C.
1. （多选）下列问题中，是排列问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组
B. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动
C. 从a，b，c，d这4个字母中取出2个
D. 从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数
解析： A是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有
关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无关；C不
是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；D是排列问题，因
为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两位数.
2. 李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序
共有（ ）
A. 6种 B. 12种
C. 24种 D. 48种
解析： 从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中
任选1个同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最
后剩下1个同学.按分步计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24
（种）.
3. （2024·扬州月考）将《语文》《数学》《英语》三本不同的教科
书按上下方式放在一起，则《数学》放在最上面或最下面的不同放
法共有（ ）
A. 2种 B. 4种
C. 6种 D. 9种
解析： 第一类《数学》放在最上面，有两种不同的放法，第二
类《数学》放在最下面，也有两种不同的放法，则《数学》放在最
上面或最下面的不同放法共有4种.
4. 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有
可能站法.
解：由题意作“树状图”，
如图.
故所有可能的站法是BACD，
BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列问题是排列问题的是（ ）
A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 024个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可
以构成多少条线段
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D. 从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独
唱、独舞节目，有多少种选法
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解析： A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算
与点的次序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故
这三个问题都不是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其
中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是
2种不同的选法，因此是排列问题.故选D.
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2. 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、
丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中
甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为（ ）
A. 12 B. 10
C. 8 D. 6
解析： 因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一
起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有
3×2×1＝6（种），所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法
的种数为6.
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3. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字组成两位数，组成不
同的两位数共有（ ）
A. 10个 B. 12个
C. 18个 D. 20个
解析： 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字可组成的
两位数为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，
41，51，32，42，52，43，53，54，共20个.
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4. （2024·宿迁月考）四张卡片上分别标有数字
“2”“0”“2”“4”，则由这四张卡片可组成的不同的四位数的
个数为（ ）
A. 6 B. 9
C. 12 D. 24
解析： 第一类，0在个位，有2 240，2 420，4 220，共3个；第
二类，0在十位，有2 204，2 402，4 202，共3个；第三类，0在百
位，有2 024，2 042，4 022，共3个，故由这四张卡片可组成的不
同的四位数的个数为9.
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5. 由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数
字的四位数有（ ）
A. 9个 B. 12个
C. 15个 D. 18个
解析： 本题要求首位数字是1，且恰
有三个相同的数字，用树状图表示为：
由图可知共有12个.
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6. （多选）已知甲、乙等5人站一横排，则下列说法正确的是
（ ）
A. 甲、乙站两端有14种站法
B. 甲、乙站两端有12种站法
C. 甲、乙不站两端有108种站法
D. 甲、乙不站两端有36种站法
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解析： 甲、乙两人站两端有2×3×2×1＝12（种），B正确.
甲、乙两人不站两端分两步进行：第1步，甲、乙站中间3个位置中
的2个位置有3×2＝6（种）站法；第2步，其余3个人任意排列有
3×2×1＝6（种），所以共有6×6＝36（种）站法，D正确.故选
B、D.
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7. 甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数
为 .
解析：列“树状图”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙
甲4种排列方法.
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8. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共
可得到lg a－lg b的不同的值的个数是 .
解析：lg a－lg b＝lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为
a，b，共有5×4＝20（种），其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故共可
得到18种结果.
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9. 某高三毕业班有40人，同学之间彼此给对方仅写一条毕业留言，那
么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.
解析：根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕
业留言.
1 560
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10. 写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种
直达机票？
解： 列
出每一个起
点和终点情况，如图所示.
故符合题意的机票有北京广州，北京南京，北京天津，广
州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南
京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
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（2）A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A
不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？
解： 因为A
不排第一，排第一
位的情况有3类
（可从B，C，D
中任选一人排），而此时兼顾分析B的排法，画出树形
图如图.所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种.
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11. （2024·苏州月考）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数
字都大，则称这个数为“伞数”.现从1，2，3，4，5这5个数字中
任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）
A. 80个 B. 40个
C. 20个 D. 10个
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解析： 十位数只能是3，4，5.当十位数为3时只有：132，
231，共2个；当十位数是4时有：142，143，241，243，341，
342，共6个；当十位数是5时有：152，153，154，251，253，
254，351，352，354，451，452，453，共12个，故共有2＋6＋12
＝20（个）.
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12. （多选）甲、乙、丙、丁四人参加4项体育比赛，每项比赛第一名
到第四名的得分依次为4，3，2，1.比赛结束时甲以14分获第一
名，乙的得分为13分，则（ ）
A. 第三名的得分不超过9分
B. 第三名可能获得其中一场比赛的第一名
C. 最后一名的得分不超过6分
D. 第四名可能有一项比赛拿到3分
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解析： 所有分数之和为4×（4＋3＋2＋1）＝40，甲和乙
的总得分是27分，所以第三名和第四名的总得分是13分，第四名
的得分不超过6分，C正确.第四名至少得4分，所以A正确.所有项
目的第一名和第二名分数之和为4×（4＋3）＝28，只比甲、乙的
总得分高1分，说明只有一种情况，即甲和乙包揽了所有的第一
名，总共拿了3个第二名和1个第三名，总分第三名不可能获得其
中某一场比赛的第一名，故B错误.如图所示为D正确的一种情况.
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选手 比赛项目 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
甲 4 4 4 2
乙 3 3 3 4
丙 2 2 2 1
丁 1 1 1 3
故选A、C、D.
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13. （2024·南通月考）三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次
传球，经过五次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共
有 种.
解析：记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式如图所示，其中经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式有5种.同理，若甲第一次把球传给丙，也有5种符合题意的不同的传球方式，所以共有10种符合题意的不同的传球方式.
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14. 将3名男生，2名女生排成一列.
（1）男生甲必须排在第1位的排法有多少种？
解： 男生甲必须排在第1位的排法有4×3×2×1＝24（种）.
（2）两名女生相邻的排法有多少种？两名女生不相邻的排法有多
少种？
解： 先把两名女生当作一个整体，与3个男生进行排
列，共有4×3×2×1＝24（种）排法.两个女生再进行排
列，共2×1＝2（种）排法.根据分步计数原理，共有24×2
＝48（种）排法；
若两名女生不相邻，先排3个男生，共有3×2×1＝6（种）
排法，再把2个女生插在4个空中，共有4×3＝12（种）排
法.根据分步计数原理，共有6×12＝72（种）排法.
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15. 某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药
b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗
效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不
能同时使用，试写出所有不同试验方法.
解：如图，由树状图可写出所有不同试验
方法如下：
故不同的试验方法为：a1a2b1，a1a2b2，
a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，
a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
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谢 谢 观 看！
