第2课时 排列数与排列数公式
1.某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起的聊天次数为（ ）
A.20 B.15
C.10 D.5
2.（2024·镇江月考）89×90×91×92×…×100可表示为（ ）
A. B.
C. D.
3.（2024·南京月考）已知3＝4，则n＝（ ）
A.5 B.7
C.10 D.14
4.某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（ ）
A.25种 B.55种
C.种 D.53种
5.（多选）与·相等的是（ ）
A. B.81
C.10 D.
6.（多选）已知－＋0！＝4，则m的可能取值是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
7.计算＋＝ .
8.不等式－n＜7的解集为 .
9.（2024·无锡月考）有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有 种.
10.计算下列各题：
（1）；（2）.
11.（2024·泰州月考）若S＝＋＋＋＋…＋，则S的个位数字是（ ）
A.8 B.5
C.3 D.0
12.（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A.（n＋1）＝ B.＝（n－2）！
C.＝· D.＝
13.满足n＞3且＜6的n的值为 .
14.求证：（1）＝－；
（2）＋＋＋…＋＝1－.
15.英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋（其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n！＝n（n－1）（n－2）×…×2×1），其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，求Rn不超过时，正整数n的最小值.
第2课时 排列数与排列数公式
1.A 由题意得共需发起的聊天次数为＝5×4＝20.
2.C 89×90×91×92×…×100＝＝＝.
3.B 由题意解得2＜n≤9，由×3＝×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14（舍）.
4.C 不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有种.
5.ACD ·＝10×9×8×7！＝＝10＝，81＝9≠，故选A、C、D.
6.CD 因为－＋0！＝4，所以－×6＋1＝4，所以＝6，当m＝2或3时成立，所以m的值可能是2或3.故选C、D.
7.726 解析：由条件得得n＝3，所以＋＝＋＝726.
8.{3，4} 解析：由－n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5且n∈N*，所以n＝3或n＝4.
9.24 解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有＝24（种）.
10.解：（1）＝10×9×8＝720.
（2）＝
＝＝＝.
11.C 因为当n≥5时，的个位数字是0，故S的个位数取决于前四个排列数.又＋＋＋＝33.故选C.
12.ABC 通过计算可知选项A、B、C均正确，但选项D中＝≠.
13.6 解析：两不等式可化为
∵n－1＞0，∴①式可化为n（n－2）＞3，即n2－2n－3＞0，∴n＞3或n＜－1（舍去）.由②得＜6·，∴（8－n）（7－n）＜6，即n2－15n＋50＜0，∴5＜n＜10.由排列数的意义可知n≥3，且n＋2≤8，∴3≤n≤6.综上，5＜n≤6，又n∈N*，∴n＝6.
14.证明：（1）左边＝＝－＝－＝右边.
（2）在（1）中将k用1，2，3，…，n依次代入，再将各式相加，
得＋＋＋…＋
＝（1－）＋（－）＋…＋［－］＝1－.
15.解：由题意知，Rn≤，
即≤，近似表示为≤，∴（n＋1）！≥3 000，
又∵（5＋1）！＝6×5×4×3×2×1＝720，
（6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，∴n的最小值为6.
2 / 2第2课时 排列数与排列数公式
在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人大家，要在庆祝会上逐一介绍……
【问题】 这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
知识点 排列数与排列数公式
1.排列数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
2.排列数公式：＝ （m，n∈N*，且m≤n）.
3.全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列.在排列数公式中，当m＝n时，即有＝n（n－1）（n－2）×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1称为n的阶乘，通常用 表示，即＝ .
提醒 （1）注意排列数公式的特征，m个自然数之积，其中最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；（2）规定0！＝1.排列数公式还可以写成＝（m，n∈N*，且m≤n）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在式子中，m，n的值都可以为0.（ ）
（2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.（ ）
（3）若＝9×10×11×12，则m＝4.（ ）
2.计算：＝ ，＝ .
题型一 排列数的计算
【例1】 （链接教科书第68页例2）计算：
（1）；（2）.
通性通法
应用排列数公式时应注意两个方面的问题
（1）准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确；
（2）合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算.
【跟踪训练】
1.7×8×9×…×15可表示为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024·宿迁月考）计算：＝ .
题型二 排列数公式的应用
【例2】 （链接教科书第69页例4）（1）解方程：＝140；
（2）求证：－＝m.
通性通法
排列数的第二个公式＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用.
【跟踪训练】
1.（2024·常州月考）不等式＜6的解集为（ ）
A.[2，8] B.[2，6] C.（7，12） D.{8}
2.求证：＝（n＋1）.
题型三 无约束条件的排列问题
【例3】 （链接教科书第70页例5）将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？
通性通法
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为，从n个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是.
【跟踪训练】
用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
1.10×9×…×6＝（ ）
A. B. C. D.
2.＝（ ）
A.12 B.24 C.30 D.36
3.（2024·南通月考）已知＝132，则n＝ .
4.12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？
第2课时 排列数与排列数公式
【基础知识·重落实】
知识点
1.排列 2.n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） 3.n！ n！
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.20 24 解析：＝5×4＝20.＝4×3×2×1＝24.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：根据排列数公式，可得
（1）＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
（2）
＝＝1.
跟踪训练
1.D 7×8×9×…×15＝＝.
2.6 解析：＝＝6.
【例2】 解：（1）因为所以x≥3，x∈N*.
由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）.
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝（舍去）.
所以原方程的解为x＝3.
（2）证明：因为－＝－＝·（－1）＝·＝m·＝m，所以－＝m.
跟踪训练
1.D 由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8②，由①②及x∈N*，得x＝8.
2.证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，所以＝（n＋1）.
【例3】 解：完成这件事可以分为两步.
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有种方法；
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有种方法.
根据分步计数原理，不同的分配方案有×＝576（种）.
跟踪训练
解：（1）本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数为，所以可以组成个没有重复数字的三位数.
（2）这是6个元素的全排列问题，其排列数为，所以一天的课程表有种排法.
随堂检测
1.C 根据排列数公式可得10×9×…×6＝，故选C.
2.D 因为＝7×6×，＝6×，所以原式＝＝36.
3.12 解析：由题意得n（n－1）＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12，n＝－11（舍）.
4.解：从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有＝12×11×10＝1 320（种）不同的获奖情况.
1 / 2(共43张PPT)
第2课时
排列数与排列数公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在上海交通大学建校120周年之际，有29位曾是交大学子的名人
大家，要在庆祝会上逐一介绍……
【问题】 这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问
题能否用一个公式来表示呢？
知识点 排列数与排列数公式
2. 排列数公式： ＝
（m，n∈N*，且m≤n）.
排列
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
3. 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的
一个全排列.在排列数公式中，当m＝n时，即有 ＝n（n－1）
（n－2）×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1称
为n的阶乘，通常用 表示，即 ＝ .
提醒 （1）注意排列数公式的特征，m个自然数之积，其中最大
的因数是n，最小的因数是n－m＋1；（2）规定0！＝1.排列数公
式还可以写成 ＝ （m，n∈N*，且m≤n）.
n！
n！
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在式子 中，m，n的值都可以为0. （ × ）
（2）甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.
（ × ）
（3）若 ＝9×10×11×12，则m＝4. （ √ ）
2. 计算： ＝ ， ＝ .
解析： ＝5×4＝20. ＝4×3×2×1＝24.
×
×
√
20
24
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列数的计算
【例1】 （链接教科书第68页例2）计算：
（1） ；（2） .
解：根据排列数公式，可得
（1） ＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
（2）
＝ ＝1.
通性通法
应用排列数公式时应注意两个方面的问题
（1）准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准
确；
（2）合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算.
【跟踪训练】
1.7×8×9×…×15可表示为（ ）
解析： 7×8×9×…×15＝ ＝ .
2. （2024·宿迁月考）计算： ＝ .
解析： ＝ ＝6.
6
题型二 排列数公式的应用
【例2】 （链接教科书第69页例4）（1）解方程： ＝140 ；
解： 因为
所以x≥3，x∈N*.
由 ＝140 得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x
（x－1）（x－2）.
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝ （舍去）.
所以原方程的解为x＝3.
（2）求证： － ＝m .
解： 证明：因为 － ＝ － ＝
·（ －1）＝ · ＝m· ＝
m ，所以 － ＝m .
通性通法
排列数的第二个公式 ＝ 适用于与排列数有关的证明、
解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，
同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用.
【跟踪训练】
1. （2024·常州月考）不等式 ＜6 的解集为（ ）
A. [2，8] B. [2，6]
C. （7，12） D. {8}
解析： 由 ＜6 ，得 ＜6× ，化简得x2－
19x＋84＜0，解得7＜x＜12①，又所以2＜x≤8
②，由①②及x∈N*，得x＝8.
2. 求证： ＝（n＋1） .
证明：因为 ＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
（n＋1） ＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
所以 ＝（n＋1） .
题型三 无约束条件的排列问题
【例3】 （链接教科书第70页例5）将4名医生与4名护士分配到四个
不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分
配方案？
解：完成这件事可以分为两步.
第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中
取出4个元素的排列问题，有 种方法；
第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有 种方法.
根据分步计数原理，不同的分配方案有 × ＝576（种）.
通性通法
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有
特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m
个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为 ，从n
个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是 .
【跟踪训练】
用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的
三位数？
解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三
个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数为 ，
所以可以组成 个没有重复数字的三位数.
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数为 ，所以一
天的课程表有 种排法.
1.10×9×…×6＝（ ）
解析： 根据排列数公式可得10×9×…×6＝ ，故选C.
2. ＝（ ）
A. 12 B. 24
C. 30 D. 36
解析： 因为 ＝7×6× ， ＝6× ，所以原式＝ ＝
36.
3. （2024·南通月考）已知 ＝132，则n＝ .
解析：由题意得n（n－1）＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝
12，n＝－11（舍）.
4.12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖
各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？
解：从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有 ＝12×11×10
＝1 320（种）不同的获奖情况.
12
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起微信聊天，共需发起
的聊天次数为（ ）
A. 20 B. 15
C. 10 D. 5
解析： 由题意得共需发起的聊天次数为 ＝5×4＝20.
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2. （2024·镇江月考）89×90×91×92×…×100可表示为（ ）
解析： 89×90×91×92×…×100＝ ＝ ＝ .
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3. （2024·南京月考）已知3 ＝4 ，则n＝（ ）
A. 5 B. 7
C. 10 D. 14
解析： 由题意解得2＜n≤9，由 ×3＝
×4，得（11－n）·（10－n）＝12，解得n＝7，n＝14
（舍）.
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4. 某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有（ ）
A. 25种 B. 55种
D. 53种
解析： 不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法
有 种.
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5. （多选）与 · 相等的是（ ）
解析： · ＝10×9×8×7！＝ ＝10 ＝ ，81
＝9 ≠ ，故选A、C、D.
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6. （多选）已知 － ＋0！＝4，则m的可能取值是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 因为 － ＋0！＝4，所以 － ×6＋1＝4，
所以 ＝6，当m＝2或3时成立，所以m的值可能是2或3.故选
C、D.
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7. 计算 ＋ ＝ .
解析：由条件得得n＝3，所以 ＋ ＝ ＋
＝726.
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8. 不等式 －n＜7的解集为 .
解析：由 －n＜7，得（n－1）（n－2）－n＜7，整理，得
n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n＜5
且n∈N*，所以n＝3或n＝4.
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9. （2024·无锡月考）有5名同学被安排在周一至周五值日，已知
同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共
有 种.
解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周
二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有 ＝24
（种）.
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10. 计算下列各题：
（1） ；（2） .
解：（1） ＝10×9×8＝720.
（2） ＝
＝ ＝ ＝ .
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11. （2024·泰州月考）若S＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，则S的
个位数字是（ ）
A. 8 B. 5
C. 3 D. 0
解析： 因为当n≥5时， 的个位数字是0，故S的个位数取
决于前四个排列数.又 ＋ ＋ ＋ ＝33.故选C.
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12. （多选）下列等式中，正确的是（ ）
解析： 通过计算可知选项A、B、C均正确，但选项D中
＝ ≠ .
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13. 满足n ＞3 且 ＜6 的n的值为 .
解析：两不等式可化为
∵n－1＞0，∴①式可
化为n（n－2）＞3，即n2－2n－3＞0，∴n＞3或n＜－1（舍
去）.由②得 ＜6· ，∴（8－n）（7－n）
＜6，即n2－15n＋50＜0，∴5＜n＜10.由排列数的意义可知
n≥3，且n＋2≤8，∴3≤n≤6.综上，5＜n≤6，又n∈N*，∴n
＝6.
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14. 求证：（1） ＝ － ；
证明： 左边＝ ＝ － ＝ －
＝右边.
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（2） ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
证明： 在（1）中将k用1，2，3，…，n依次代入，再
将各式相加，
得 ＋ ＋ ＋…＋
＝（1－ ）＋（ － ）＋…＋［ － ］＝1－
.
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15. 英国数学家泰勒（B. Taylor，1685—1731）以发现泰勒公式和泰
勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋ ＋ ＋
＋…＋ ＋ （其中e为自然对数的底数，0＜θ＜1，n！＝
n（n－1）（n－2）×…×2×1），其拉格朗日余项是Rn＝
.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也
就越精确.若 近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，
求Rn不超过 时，正整数n的最小值.
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解：由题意知，Rn≤ ，
即 ≤ ，近似表示为 ≤ ，∴（n＋1）！≥
3 000，
又∵（5＋1）！＝6×5×4×3×2×1＝720，
（6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，∴n的最小
值为6.
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谢 谢 观 看！
