7.3 组合
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解组合及组合数的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值 逻辑推理、数学运算
3.会用组合知识解决一些简单的组合问题 数学运算、数学建模
第1课时 组合与组合数公式
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言.
【问题】 （1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？
（2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？
（3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？
知识点一 组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
提醒 排列与组合的区别是排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关.
知识点二 组合数与组合数公式
组合数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数
符号表示
组合数公式 乘积式 ＝ ＝
阶乘式 ＝
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，2，3与3，2，1是同一个组合.（ ）
（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（ ）
（3）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军是组合问题.（ ）
2.计算＝ ，＝ .
3.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为 .
题型一 组合的有关概念
【例1】 （链接教科书第75页练习1题）判断下列问题是组合问题还是排列问题：
（1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
（3）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
（4）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
（5）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
通性通法
判断一个问题是否是组合问题的流程
【跟踪训练】
从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合.
题型二 组合数及组合数公式
角度1 利用组合数化简、求值
【例2】 （链接教科书第74页例2）计算：
（1）－·；
（2）＋.
角度2 利用组合数证明
【例3】 证明：＝.
通性通法
关于组合数公式的选取技巧
公式＝常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式＝常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式.
【跟踪训练】
1.（2024·宿迁月考）求值：3－2＝ .
2.解方程：11＝24.
题型三 简单的组合问题
【例4】 在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
（1）任意选5人；
（2）甲、乙、丙三人必须参加；
（3）甲、乙、丙三人不能参加；
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加.
通性通法
解简单的组合问题的策略
（1）解简单的组合问题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；
（2）要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
提醒 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
【跟踪训练】
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
（3）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
1.下列问题中属于组合问题的是（ ）
A.从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译
B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式
D.10个人相互写一封信，共写了几封信
2.＋＝（ ）
A.9 B.18
C.28 D.36
3.（2024·泰州月考）6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数是（ ）
A. B.
C.62 D.26
4.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为 （用数字作答）.
第1课时 组合与组合数公式
【基础知识·重落实】
知识点一
并成一组
知识点二
所有组合
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.28 35 解析：＝＝28，＝＝35.
3.15 解析：由题意得，不同选法的种数为＝15.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.
（2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.
（3）选出的2个数作分子或分母，结果是不同的，是排列问题.
（4）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
（5）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
跟踪训练
解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示.
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种.
【例2】 解：（1）原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0.
（2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，
∴＋＝＋＝466.
【例3】 证明：＝·＝＝.
跟踪训练
1.148 解析：3－2＝3×－2×＝148.
2.解：原方程可化为
11·＝24·，
即11x2－105x－50＝0，
解得x＝10或x＝－.
又x≥3且x∈N*，所以x＝10.
【例4】 解：（1）从中任取5人是组合问题，共有＝792（种）不同的选法.
（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有＝36（种）不同的选法.
（3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有＝126（种）不同的选法.
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3（种）选法；再从另外9人中选4人，有种选法.共有×＝378（种）不同的选法.
跟踪训练
解：（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为＝＝45.
（2）可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种选法；
第2类，选出的2名是女教师有种选法.
根据分类计数原理，共有＋＝15＋6＝21（种）不同的选法.
（3）从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步计数原理，共有×＝15×6＝90（种）不同的选法.
随堂检测
1.C A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题.
2.B ＋＝＋＝3＋15＝18.
3.B 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是.
4.210 解析：先给甲组选4人，有种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为＝210.
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7.3 组合
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解组合及组合数的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式，并会
应用公式求值 逻辑推理、数学运算
3.会用组合知识解决一些简单的组合问题 数学运算、数学建模
第1课时
组合与组合数公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上
台发言.
【问题】 （1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？
（2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？
（3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？
知识点一 组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
提醒 排列与组合的区别是排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺
序无关.
并成一
组
知识点二 组合数与组合数公式
组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的
的个数，叫作从n个不同元素中取出m个
元素的组合数
符号表示
组合 数公 式 乘积 式 ＝ ＝
阶乘 式 ＝
所
有组合
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，2，3与3，2，1是同一个组合. （ √ ）
（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
（ √ ）
（3）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军是组合问题.
（ × ）
√
√
×
2. 计算 ＝ ， ＝ .
解析： ＝ ＝28， ＝ ＝35.
28
35
3. 现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数
为 .
解析：由题意得，不同选法的种数为 ＝15.
15
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 组合的有关概念
【例1】 （链接教科书第75页练习1题）判断下列问题是组合问题还
是排列问题：
（1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元
素的有多少个？
解： 因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少
种票价？
解： 因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是
排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是
同一种票价，故是组合问题.
（3）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和
分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
解： 选出的2个数作分子或分母，结果是不同的，是排列
问题.
（4）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职
务，有多少种不同的选法？
解： 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
（5）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解： 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
通性通法
判断一个问题是否是组合问题的流程
【跟踪训练】
从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组
合？请写出所有组合.
解：先将元素按照一定顺序排好，然
后按顺序用图示的方法将各个组合逐
个写出来，如图所示.
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，
de，共有10种.
题型二 组合数及组合数公式
角度1 利用组合数化简、求值
【例2】 （链接教科书第74页例2）计算：（1） － · ；
解： 原式＝ － ＝ －7×6×5＝210－210
＝0.
（2） ＋ .
解： ∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，
∴n＝10，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝466.
角度2 利用组合数证明
【例3】 证明： ＝ .
证明： ＝ · ＝ ＝ .
通性通法
关于组合数公式的选取技巧
公式 ＝ 常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；
公式 ＝ 常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒
等式.
【跟踪训练】
1. （2024·宿迁月考）求值：3 －2 ＝ .
解析：3 －2 ＝3× －2× ＝148.
148
2. 解方程：11 ＝24 .
解：原方程可化为
11· ＝24· ，
即11x2－105x－50＝0，
解得x＝10或x＝－ .
又x≥3且x∈N*，所以x＝10.
题型三 简单的组合问题
【例4】 在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中
选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
（1）任意选5人；
解： 从中任取5人是组合问题，共有 ＝792（种）不同
的选法.
（2）甲、乙、丙三人必须参加；
解： 甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2
人，是组合问题，共有 ＝36（种）不同的选法.
（3）甲、乙、丙三人不能参加；
解： 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5
人，共有 ＝126（种）不同的选法.
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加.
解： 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从
甲、乙、丙中选1人，有 ＝3（种）选法；再从另外9人中选4
人，有 种选法.共有 × ＝378（种）不同的选法.
通性通法
解简单的组合问题的策略
（1）解简单的组合问题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问
题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序
有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；
（2）要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
提醒 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
【跟踪训练】
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？
解： 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为 ＝
＝45.
（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
解： 可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有 种选法；
第2类，选出的2名是女教师有 种选法.
根据分类计数原理，共有 ＋ ＝15＋6＝21（种）不同的
选法.
（3）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同
的选法？
解： 从6名男教师中选2名的选法有 种，从4名女教师中
选2名的选法有 种，根据分步计数原理，共有 × ＝
15×6＝90（种）不同的选法.
1. 下列问题中属于组合问题的是（ ）
A. 从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C. 从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式
D. 10个人相互写一封信，共写了几封信
解析： A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中
选出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题.
2. ＋ ＝（ ）
A. 9 B. 18
C. 28 D. 36
解析： ＋ ＝ ＋ ＝3＋15＝18.
3. （2024·泰州月考）6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的
次数是（ ）
A. B.
C. 62 D. 26
解析： 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取
出2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是 .
4.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数
为 （用数字作答）.
解析：先给甲组选4人，有 种选法，余下的6人为乙组，故共有
不同的分组种数为 ＝210.
210
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何
三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需
建公路的条数为（ ）
A. 4 B. 8
C. 28 D. 64
解析：C 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建
＝28（条）公路.
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2. 已知 ＝15，那么 ＝（ ）
A. 20 B. 30
C. 42 D. 72
解析： 法一 由 ＝ ＝15，得n2－n－30＝0，即
（n－6）（n＋5）＝0，解得n＝6或n＝－5（舍去），故 ＝
＝30.
法二 由 ＝ 知， ＝ · ，故 ＝ · ＝15×2＝30.
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3. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每
3点为顶点的所有三角形的个数为（ ）
A. 3 B. 4
C. 12 D. 24
解析： 由于与顺序无关，所以是组合问题，故共有 ＝4个三
角形.故选B.
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4. （2024·盐城月考）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名
同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3
名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
解析： 先安排1名学生去甲场馆，有 种方法；再从剩余的5名
学生中安排2名学生去乙场馆，有 种方法；最后剩下的3名学生
去丙场馆，有 种方法，故不同的安排方法共有 ＝60
（种）.
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5. （多选）给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ）
A. 求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B. 求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C. 3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数
D. 求由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
解析： 对于A、B，选出元素就完成了这件事，是组合问题；
对于C、D，选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选
A、B.
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6. （多选）（2024·镇江月考）下列选项正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝m
C. ÷ ＝ D. ＝
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解析： A显然成立；对于B选项， ＝n（n－1）（n－
2）…（n－m＋1）， ＝（n－1）（n－2）…（n－m＋
1），所以 ＝n ，故B不成立；对于C选项， ÷ ＝
＝ ＝ ，故C成立；对于D选项， ＝
＝ ＝ ，故D成立.
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7. ÷ ＝ .
解析： ÷ ＝ ÷ ＝ .
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8. 计算： ＋ ＝ .
解析：∵∴ ≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝1＋6＝7.
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9. （2024·南通月考）男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女
生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女生有 人.
解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，
从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴ × ＝30，∴x
（x－1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝
3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人.
2或3
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10. 现有5名男司机、4名女司机，需选派5人运货到某市.
（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派
方法？
解： 从5名男司机中选派3名，有 种方法，
从4名女司机中选派2名，有 种方法.
根据分步计数原理得，所选派的方法种数为 ＝60.
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（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
解： 从9人中任选5人运货有 种方法.
其中1名男司机、4名女司机有 ＝5（种）选法.
所以至少有两名男司机的选派方法有 －5＝121（种）.
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11. （2024·连云港月考）已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任
意两条线段在圆内的交点不同，则所有线段在圆内的交点有
（ ）
A. 36个 B. 72个
C. 63个 D. 126个
解析： 此题可划归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四
边形的对角线交点个数即为所求，所以交点有 ＝126（个）.
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12. （多选）有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成
医疗小组前往某地区参与救援，若医疗小组至少有2名男医生，同
时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能
成为N的算式的是（ ）
A. －
B. ＋ ＋ ＋
C. － －
D.
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解析： 13名医生，其中女医生6人，男医生7人.（1）直接
法：2男3女 ；3男2女 ；4男1女 ；5男 ，所以N
＝ ＋ ＋ ＋ .（2）间接法：13名医生，任取5
人，减去4，5名女医生的情况，即N＝ － － .故选
B、C.
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13. （2024·无锡质检）某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成
如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角的A
地到东北角的B地的最短路线共有 条（用数字作答）.
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解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下
走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每
走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4
个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有 × ＝126
（种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.
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14. （1）求 ＋ 的值；
解： 由组合数的定义知所以
7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9，
当r＝7时，原式＝ ＋ ＝46；
当r＝8时，原式＝ ＋ ＝20；
当r＝9时，原式＝ ＋ ＝46.
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（2）已知 － ＝ ，求 的值.
解： 根据组合数公式可将原方程化为
－ ＝ ，
即60－10（6－m）＝（7－m）（6－m），
整理得m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2.
故 ＝ ＝ ＝28.
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15. 一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取
法有多少种？
解： 从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个
数少的取法，可分三类：
第一类，红球取4个时，有 种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有 种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有 种方法.
由分类计数原理可知，共有 ＋ ＋ ＝115（种）
取法.
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（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5
个球，使总分不少于7的取法有多少种？
解： 设取红球x个、白球y个，依题意知，
且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得
或或这样使总分不少于7的取法可以分
为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为 ；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为 ；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为 .
由分类计数原理可知，共有符合条件的取法 ＋
＋ ＝186（种）.
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谢 谢 观 看！7.3 组合
第1课时 组合与组合数公式
1.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（ ）
A.4 B.8
C.28 D.64
2.已知＝15，那么＝（ ）
A.20 B.30
C.42 D.72
3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为（ ）
A.3 B.4
C.12 D.24
4.（2024·盐城月考）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
5.（多选）给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ）
A.求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B.求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C.3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数
D.求由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
6.（多选）（2024·镇江月考）下列选项正确的是（ ）
A.＝ B.＝m
C.÷＝ D.＝
7.÷＝ .
8.计算：＋＝ .
9.（2024·南通月考）男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，其中女生有 人.
10.现有5名男司机、4名女司机，需选派5人运货到某市.
（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
11.（2024·连云港月考）已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线段在圆内的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（ ）
A.36个 B.72个
C.63个 D.126个
12.（多选）有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是（ ）
A.－
B.＋＋＋
C.－－
D.
13.（2024·无锡质检）某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有 条（用数字作答）.
14.（1）求＋的值；
（2）已知－＝，求的值.
15.一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有多少种？
（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？
第1课时 组合与组合数公式
1.C 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建＝28（条）公路.
2.B 法一 由＝＝15，得n2－n－30＝0，即（n－6）（n＋5）＝0，解得n＝6或n＝－5（舍去），故＝＝30.
法二 由＝知，＝·，故＝·＝15×2＝30.
3.B 由于与顺序无关，所以是组合问题，故共有＝4个三角形.故选B.
4.C 先安排1名学生去甲场馆，有种方法；再从剩余的5名学生中安排2名学生去乙场馆，有种方法；最后剩下的3名学生去丙场馆，有种方法，故不同的安排方法共有＝60（种）.
5.AB 对于A、B，选出元素就完成了这件事，是组合问题；对于C、D，选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选A、B.
6.ACD A显然成立；对于B选项，＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），＝（n－1）（n－2）…（n－m＋1），所以＝n，故B不成立；对于C选项，÷＝＝＝，故C成立；对于D选项，＝＝＝，故D成立.
7. 解析：÷＝÷＝.
8.7 解析：∵∴≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，∴＋＝＋＝1＋6＝7.
9.2或3 解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴×＝30，∴x（x－1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人.
10.解：（1）从5名男司机中选派3名，有种方法，
从4名女司机中选派2名，有种方法.
根据分步计数原理得，所选派的方法种数为＝60.
（2）从9人中任选5人运货有种方法.
其中1名男司机、4名女司机有＝5（种）选法.
所以至少有两名男司机的选派方法有－5＝121（种）.
11.D 此题可划归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点有＝126（个）.
12.BC 13名医生，其中女医生6人，男医生7人.（1）直接法：2男3女；3男2女；4男1女；5男，所以N＝＋＋＋.（2）间接法：13名医生，任取5人，减去4，5名女医生的情况，即N＝－－.故选B、C.
13.126 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有×＝126（种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.
14.解：（1）由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9，
当r＝7时，原式＝＋＝46；
当r＝8时，原式＝＋＝20；
当r＝9时，原式＝＋＝46.
（2）根据组合数公式可将原方程化为
－
＝，
即60－10（6－m）＝（7－m）（6－m），
整理得m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2.
故＝＝＝28.
15.解：（1）从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少的取法，可分三类：
第一类，红球取4个时，有种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有种方法.
由分类计数原理可知，共有＋＋＝115（种）取法.
（2）设取红球x个、白球y个，依题意知，且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得或或这样使总分不少于7的取法可以分为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为.
由分类计数原理可知，共有符合条件的取法＋＋＝186（种）.
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