第2课时 组合数的性质及应用
假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人.
【问题】 可以形成多少种队员上场方案？又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？
知识点 组合数的性质
1.＝ .
2.＝＋ （n，m∈N*，并且m≤n）.
提醒 （1）性质1，体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想.两边下标相同，上标之和等于下标；
（2）性质2，下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数.
1.若方程＝，则x＝（ ）
A.2 B.3 C.4 D.2或3
2.计算：－＝ .
3.计算＋＋＝ .
题型一 组合数的性质及应用
【例1】 （链接教科书第81页习题10题）（1）＋＋＋…＋＝ ；
（2）已知－＝，则n＝ .
通性通法
应用组合数性质解题的一般思路
（1）当中的m＞时，常利用组合数的性质1来进行转化，减少计算量；
（2）性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形＝－，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用.
【跟踪训练】
计算：（1）（＋）÷；
（2）＋＋…＋.
题型二 有限制条件的组合问题
【例2】 （链接教科书第76页例4）某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员.
通性通法
有限制条件的组合问题分类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
1.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法共有（ ）
A.210种 B.420种
C.56种 D.22种
2.（2024·徐州月考）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有（ ）
A.27种 B.18种
C.36种 D.48种
1.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有（ ）
A.27种 B.24种
C.21种 D.18种
2.＋＝ .
3.某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：
（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
（2）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
第2课时 组合数的性质及应用
【基础知识·重落实】
知识点
自我诊断
1.D 由方程＝和组合数性质可得，在两个组合数下标相同的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合数相等，即x＋2＝5，x＝3；当两个组合数上标相同时，两个组合数相等，即x＝2.故x＝2或3.
2.120 解析：－＝－＝－＝120.
3.126 解析：原式＝＋＝＝＝＝126.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）7 315 （2）14 解析：（1）因为＝，所以＋＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝（＋）＋＋…＋＝…＝＝＝7 315.
（2）由－＝得＝＋，由组合数的性质，可得＝，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.
跟踪训练
解：（1）原式＝（＋）÷＝÷＝÷＝1÷＝.
（2）法一 原式＝＋－＋－＋…＋－＝＝330.
法二 原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝330.
【例2】 解：（1）第1步：选3名男运动员，有种选法；第2步：选2名女运动员，有种选法，故共有×＝120（种）选法.
（2）法一（直接法） “至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类计数原理知共有×＋×＋×＋×＝246（种）选法.
法二（间接法） 不考虑条件，从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种，故“至少有1名女运动员”的选法有－＝246（种）.
跟踪训练
1.A 由分类计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有＋＝210（种）.
2.A 当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有＝9（种）；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有＝18（种），则甲、乙总的选法共有9＋18＝27（种）.
随堂检测
1.C 分两类：一类是2个白球有＝15（种）取法，另一类是2个黑球有＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法.
2.5 006 解析：＋＝＋×1＝＋＝56＋4 950＝5 006.
3.解：（1）首先从4名外科专家中任选2名，有种选法，再从除外科专家外的6名专家中选取4名，有种选法，所以共有＝90（种）抽调方法.
（2）至多有2名外科专家的抽调方法有＋＋＝115（种）.
1 / 2(共43张PPT)
第2课时
组合数的性质及应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，
班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场
队员是5人.
【问题】 可以形成多少种队员上场方案？又可以形成多少种队员不
上场方案？这两种方案有什么关系？
知识点 组合数的性质
1. ＝ .
2. ＝ ＋ （n，m∈N*，并且m≤n）.
提醒 （1）性质1，体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思
想.两边下标相同，上标之和等于下标；
（2）性质2，下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比
原下标多1而上标与大的相同的一个组合数.
1. 若方程 ＝ ，则x＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 2或3
解析： 由方程 ＝ 和组合数性质可得，在两个组合数下标
相同的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合数相
等，即x＋2＝5，x＝3；当两个组合数上标相同时，两个组合数相
等，即x＝2.故x＝2或3.
2. 计算： － ＝ .
解析： － ＝ － ＝ － ＝120.
3. 计算 ＋ ＋ ＝ .
解析：原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝126.
120
126
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 组合数的性质及应用
【例1】 （链接教科书第81页习题10题）（1） ＋ ＋ ＋…＋
＝ ；
解析：
7 315
（2）已知 － ＝ ，则n＝ .
解析： 由 － ＝ 得 ＝ ＋ ，由组合数的
性质，可得 ＝ ，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.
14
通性通法
应用组合数性质解题的一般思路
（1）当 中的m＞ 时，常利用组合数的性质1来进行转化，减少
计算量；
（2）性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.
应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组
合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形 ＝
－ ，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注
意灵活应用.
【跟踪训练】
计算：（1）（ ＋ ）÷ ；
解： 原式＝（ ＋ ）÷ ＝ ÷ ＝
÷ ＝1÷ ＝ .
（2） ＋ ＋…＋ .
解： 法一 原式＝ ＋ － ＋ － ＋…＋ －
＝ ＝330.
法二 原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝…＝ ＋ ＝ ＝330.
题型二 有限制条件的组合问题
【例2】 （链接教科书第76页例4）某运动队有男运动员6名，女运
动员4名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解： 第1步：选3名男运动员，有 种选法；第2步：选2
名女运动员，有 种选法，故共有 × ＝120（种）选法.
（2）至少有1名女运动员.
解： 法一（直接法） “至少有1名女运动员”包括以下
几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类计数原理知共有 × ＋ × ＋ × ＋ ×
＝246（种）选法.
法二（间接法） 不考虑条件，从10人中任选5人，有 种选
法，其中全是男运动员的选法有 种，故“至少有1名女运动
员”的选法有 － ＝246（种）.
通性通法
有限制条件的组合问题分类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的
先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接
分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对
立面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
1. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以
按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；
②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法
共有（ ）
A. 210种 B. 420种
C. 56种 D. 22种
解析： 由分类计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所
求，所以每天午餐的不同搭配方法共有 ＋ ＝210（种）.
2. （2024·徐州月考）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中
各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法
有（ ）
A. 27种 B. 18种
C. 36种 D. 48种
解析： 当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有 ＝9
（种）；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有 ＝18
（种），则甲、乙总的选法共有9＋18＝27（种）.
1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则
这2个球同色的不同取法有（ ）
A. 27种 B. 24种
C. 21种 D. 18种
解析： 分两类：一类是2个白球有 ＝15（种）取法，另一类
是2个黑球有 ＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法.
2. ＋ ＝ .
解析： ＋ ＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝56＋4 950
＝5 006.
5 006
3. 某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中
这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：
（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
解： 首先从4名外科专家中任选2名，有 种选法，再
从除外科专家外的6名专家中选取4名，有 种选法，所以共
有 ＝90（种）抽调方法.
（2）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
解： 至多有2名外科专家的抽调方法有 ＋ ＋
＝115（种）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至少有1位女生入选，则
不同的选法共有（ ）
A. 12种 B. 16种
C. 20种 D. 24种
解析： 选3人分两种情况：若选1女2男，则有 ＝12（种）
选法；若选2女1男，则有 ＝4（种）选法，根据分类计数原理
可得，共有12＋4＝16（种）选法.故选B.
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2.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则
不同的放法有（ ）
C. 58种 D. 85种
解析： 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所
以只要选出5个不同的盒子即可.故共有 种不同的放法.
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3. （2024·扬州月考）方程 ＝ 的解为（ ）
A. 4或9 B. 4
C. 9 D. 其他
解析： 当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得
x＝9.
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4. （2024·泰州月考） ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝（ ）
解析： 原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋
＝…＝ ＋ ＝ ＝ .
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5. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每
个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放
法共有（ ）
A. 12种 B. 18种
C. 36种 D. 54种
解析： 先将1，2捆绑后放入信封中，有 种放法，再将剩余的
4张卡片放入另外两个信封中，有 （种）放法，所以共有
＝18（种）放法.
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6. （多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生
物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴
趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化
学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高
考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、
地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是
（ ）
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解析： 对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余
的四科中任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为 种，
所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有 种选法，
若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有 种选法，由
分步计数原理，可得选法共有 种，所以B正确；对于C中，先
从物理和历史中选1门，有 种选法，若从政治和地理中只选1
门，再从化学和生物中选1门，有 种选法，若政治和地理都不
选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数原理，可
得共有 ＋ ，所以C正确；
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对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在
政治、地理中选1门，有 种选法，若化学、生物都选，则只有1
种选法，由分类计数原理，可得选法总数为 ＋1，所以D错误.故
选A、B、C.
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7. ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 的值为 .
解析：法一 原式＝1＋5＋ ＋ ＋5＋1＝32.
32
法二 原式＝2（ ＋ ＋ ）＝2（ ＋ ）＝2× ＝
32.
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8. （2024·常州月考）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若
甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案
（用数字作答）.
解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙两位同学只有一人入
选，只需从剩余的6人中再选出3人，有 ＝40（种）选派方
案；②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，
有 ＝15（种）选派方案.则共有40＋15＝55（种）选派方案.
55
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9. 某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五
项运动可以选择，则共有 种运动组合方式.
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，
并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合
题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分
钟，因此组合方式共有 ＋ ＋ ＋ －3＝23（种）.
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10. 计算：（1） ＋ × ；
解： 原式＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝35＋1 225
＝1 260.
（2） － .
解： 原式＝ － ＝1＋ － ＝1.
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11. 从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至
少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A. 28 B. 49
C. 56 D. 85
解析： 依题意得，满足条件的不同选法的种数为 ＋
＝49.
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12. （2024·苏州月考）某书店有11种杂志，其中2元1本的有8种，1元
1本的有3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好
用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）.
解析：10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的
和2种1元1本的.分两类完成：
第1类，买5种2元1本的，有 种不同买法；第2类，买4种2元1本
的和2种1元1本的，有 × 种不同买法.根据分类计数原理，
可得不同买法的种数是 ＋ × ＝266.
266
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13. 已知 ＝ ，则 ＋ ＋ ＋ ＋
＝ .
解析：∵ ＝ ，∴m＝11，∴ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝120.
120
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14. 课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生
各指定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有
多少种不同的选法？
（1）只有1名女生；
解： 1名女生，4名男生，故共有 ＝350种不同的
选法.
（2）2名队长当选；
解： 将2名队长作为一类，其他11人作为一类，故共
有 ＝165种不同的选法.
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（3）至少有1名队长当选；
解： 法一（直接法） 至少有1名队长含有两类：
有1名队长和2名队长，故共有 ＋ ＝825种不
同的选法.
法二（间接法） － ＝825.
（4）至多有2名女生当选.
解： 至多有2名女生含有3类：有2名女生，只有1名
女生，没有女生，故共有 ＋ ＋ ＝966种不同
的选法.
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15. 规定 ＝ ，其中x∈R，m∈N*且
＝1.这是组合数 （n，m∈N*且m≤n）的一种推广.
（1）求 的值；
解： ＝
＝－ ＝－11 628.
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（2）组合数的两个性质为：① ＝ ；② ＋ ＝ .问：是否都能推广到 （x∈R，m∈N*）？若能
推广，则写出推广的形式，并给出证明，若不能，请说
明理由.
解：性质①不能推广，例如：当x＝时有定义，但C无意义.
性质②能推广，其推广形式为＋＝，x∈R，m∈N*.
证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝成立.
当m≥2时，＋＝＋
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＝ （ ＋1）
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＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！第2课时 组合数的性质及应用
1.从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有（ ）
A.12种 B.16种
C.20种 D.24种
2.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（ ）
A.种 B.种
C.58种 D.85种
3.（2024·扬州月考）方程＝的解为（ ）
A.4或9 B.4
C.9 D.其他
4.（2024·泰州月考）＋＋＋＋…＋＝（ ）
A. B.
C. D.
5.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）
A.12种 B.18种
C.36种 D.54种
6.（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A.若任意选科，选法总数为
B.若化学必选，选法总数为
C.若政治和地理至多选一门，选法总数为＋
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为＋
7.＋＋＋＋＋的值为 .
8.（2024·常州月考）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案（用数字作答）.
9.某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有 种运动组合方式.
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
10.计算：（1）＋×；
（2）－.
11.从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A.28 B.49
C.56 D.85
12.（2024·苏州月考）某书店有11种杂志，其中2元1本的有8种，1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）.
13.已知＝，则＋＋＋＋＝ .
14.课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有多少种不同的选法？
（1）只有1名女生；
（2）2名队长当选；
（3）至少有1名队长当选；
（4）至多有2名女生当选.
15.规定＝，其中x∈R，m∈N*且＝1.这是组合数（n，m∈N*且m≤n）的一种推广.
（1）求的值；
（2）组合数的两个性质为：①＝；②＋＝.问：是否都能推广到（x∈R，m∈N*）？若能推广，则写出推广的形式，并给出证明，若不能，请说明理由.
第2课时 组合数的性质及应用
1.B 选3人分两种情况：若选1女2男，则有＝12（种）选法；若选2女1男，则有＝4（种）选法，根据分类计数原理可得，共有12＋4＝16（种）选法.故选B.
2.B 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有种不同的放法.
3.A 当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.
4.D 原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝.
5.B 先将1，2捆绑后放入信封中，有种放法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有（种）放法，所以共有＝18（种）放法.
6.ABC 对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有种选法，由分步计数原理，可得选法共有种，所以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数原理，可得共有＋，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为＋1，所以D错误.故选A、B、C.
7.32 解析：法一 原式＝1＋5＋＋＋5＋1＝32.
法二 原式＝2（＋＋）＝2（＋）＝2×＝32.
8.55 解析：根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有＝40（种）选派方案；②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有＝15（种）选派方案.则共有40＋15＝55（种）选派方案.
9.23 解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有＋＋＋－3＝23（种）.
10.解：（1）原式＝＋×1＝＋＝35＋1 225＝1 260.
（2）原式＝－＝1＋－＝1.
11.B 依题意得，满足条件的不同选法的种数为＋＝49.
12.266 解析：10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的和2种1元1本的.分两类完成：
第1类，买5种2元1本的，有种不同买法；第2类，买4种2元1本的和2种1元1本的，有×种不同买法.根据分类计数原理，可得不同买法的种数是＋×＝266.
13.120 解析：∵＝，∴m＝11，∴＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝＝120.
14.解：（1）1名女生，4名男生，故共有＝350种不同的选法.
（2）将2名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种不同的选法.
（3）法一（直接法） 至少有1名队长含有两类：有1名队长和2名队长，故共有＋＝825种不同的选法.
法二（间接法） －＝825.
（4）至多有2名女生含有3类：有2名女生，只有1名女生，没有女生，故共有＋＋＝966种不同的选法.
15.解：（1）＝
＝－＝－11 628.
（2）性质①不能推广，例如：当x＝时有定义，但C无意义.
性质②能推广，其推广形式为＋＝，x∈R，m∈N*.
证明：当m＝1时，有＋＝x＋1＝成立.
当m≥2时，＋
＝＋
＝（＋1）
＝·
＝＝.
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