培优课 排列与组合的综合应用
1.＝（ ）
A.120 B.160
C.180 D.240
2.从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.60种 B.80种
C.100种 D.120种
3.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（ ）
A.60种 B.48种
C.30种 D.10种
4.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）
A.240种 B.192种
C.96种 D.48种
5.（多选）（2024·苏州月考）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展某种疾病的防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A.若C企业最多派1名医生，则所有不同的分派方案共48种
B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同的分派方案共36种
C.若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同的分派方案共12种
D.所有不同的分派方案共43种
6.（多选）某班某学习小组有6人，在体育课上，体育老师对这6人分组安排训练任务，其中分配种数计算正确的是（ ）
A.分成三组，第一组1人训练跳高，第二组2人训练跳远，第三组3人训练掷实心球，共60种分法
B.分成三组，人数分别是1，1，4，一组训练跳高，一组训练跳远，一组训练掷实心球，共90种分法
C.分成三组，每组2人，分别参加乒乓球、羽毛球、网球的训练赛，共540种分法
D.分成两组，每组3人，两组间进行三人篮球训练赛，共20种分法
7.不等式－n＜5的解集为 .
8.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表.要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 （用数字作答）.
9.（2024·南京月考）如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为 .
10.（2024·泰州月考）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤、2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还要准备不同的素菜 种.
11.平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线.
（1）这9个点，可确定多少条不同的直线？
（2）以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？
12.为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设礼乐射御书数六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中射不排在第一周，数不排在最后一周的所有可能排法种数；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教数的课程安排方案种数.
13.在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
（1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；
（2）已知每检测一件产品需要检测费用100元，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？
培优课 排列与组合的综合应用
1.A ＝＝120.
2.D 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则不同的选派方案共有＝6×5×4＝120（种）.故选D.
3.C 根据题意，分3步进行：①从5名志愿者中选派4人参加活动，有＝5种选法；②将4人分为2组，有＝3种分法；③将2组进行全排列，对应星期六和星期日，有＝2种情况，则共有5×3×2＝30种不同的选派方法，故选C.
4.B 分三步：先排甲，有1种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边，各有4种方法；再排其余4人，有种方法，故共有2×4×＝192（种）不同的站法.故选B.
5.ABC 对于选项A，若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16（种），若C企业派1名医生，则有·23＝32（种），所以共有16＋32＝48（种）；对于选项B，若每家企业至少分派1名医生，则有＝36（种）；对于选项C，若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若A企业分2人，则有＝6（种），若A企业分1人，则有＝6（种），所以共有6＋6＝12（种）；对于选项D，所有不同的分派方案共有34种.
6.ABD A选项，分3步完成，先选1人训练跳高有种，再选2人训练跳远有种，剩余3人训练掷实心球有种，根据分步计数原理可知，共有··＝6×10×1＝60种分法，故A正确；B选项，先分好三组，有＝15种分法，再安排3组去参加不同的训练，有种安排方法，所以由分步计数原理知共有15＝90种分法，故B正确；C选项，先选2人参加乒乓球训练赛有种，再选2人参加羽毛球训练赛有种，再选2人参加网球训练赛有种，由分步计数原理知共有··＝90种分法，故C错误；D选项，先分成2组，每组3人有＝10种，再分成2队有种分法，由分步计数原理知共有10＝20种分法，故D正确.
7.{2，3，4} 解析：由－n＜5，得－n＜5，所以n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}.
8.288 解析：先在前3节课中选一节安排数学，有种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有种安排方法；其余4节课无约束条件，有种安排方法.根据分步计数原理，不同的排法种数为××＝288.
9.42 解析：利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为－－＝42.
10.7 解析：设餐厅至少还要准备不同的素菜x种，则·≥200，即x（x－1）≥40.∵x取正整数，∴x最小取7.∴x≥7.故餐厅至少还要准备不同的素菜7种.
11.解：共线的4点记为A，B，C，D.
（1）第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定条直线；
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线.
根据分类计数原理，共有不同直线1＋＋＝1＋10＋20＝31（条）.
（2）第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得个三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形.
共有＋＋＝80（个）三角形.
12.解：（1）分两种情况讨论：
当射排在最后一周时，则有＝120种排法；
当当射不排在最后一周，则射有4种排法，数也有4种排法，剩下的4门课程全排列，有4×4×＝384种排法，
所以共有120＋384＝504种不同排法.
（2）分两种情况讨论：
当甲教两科时，则有＝240种安排方法；
当甲教一科时，则有＝1 200种安排方法.
所以共有240＋1 200＝1 440种不同安排方案.
13.解：（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，
第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法；
当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有＝24种抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有＝48种抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有＝48种抽法；
综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.
（2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况：
①4次抽到的均为正品，共有＝24种抽法；
②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有··＝72种抽法.
所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.
2 / 2 排列与组合的综合应用
题型一 分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题
【例1】 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？
（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（3）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本.
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不需要考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
【跟踪训练】
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
角度2 相同元素分配问题
【例2】 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数.
（1）每个盒子都不空；
（2）恰有一个空盒子.
通性通法
相同元素分配问题的处理策略
（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题；
（2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n≥m，每个对象都有元素），有种方法，可描述为（n－1）个空中插入（m－1）块隔板的方法.
【跟踪训练】
（多选）（2024·无锡月考）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
题型二 排列与组合的综合问题
角度1 特殊元素（位置）问题
【例3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
通性通法
解特殊元素（位置）的排列与组合问题要遵循的两个原则
（1）按元素（位置）的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.
【跟踪训练】
由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数，可以组成 个.
角度2 选排问题
【例4】 （2024·徐州月考）有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某女生一定担任语文课代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任语文课代表.
通性通法
解排列、组合中选排问题的一般思路
（1）“先选后排”，即先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列；
（2）按元素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步顺序；
（3）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件及其联系，从某一个限制条件出发，考虑合理分类、分步，一般优先考虑特殊的元素.
【跟踪训练】
有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生到3个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则不同的分派方案共有 种.（用数字作答）
题型三 “至多”与“至少”问题
【例5】 （多选）（2024·淮安月考）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则抽出的3件产品中（ ）
A.至多有1件不合格品的抽法种数为
B.都是合格品的抽法种数为
C.至少有1件不合格品的抽法种数为＋
D.至少有1件不合格品的抽法种数为－
通性通法
“至多”“至少”型问题，常用“直接分类法”与“间接法”解答，通常考虑三种途径
（1）元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其他元素；
（2）位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其他位置；
（3）“正难则反”：涉及“至多”“至少”等组合问题，当从正面分析问题分的类较多、较复杂或计算量较大时，不适合用直接分类法求解，不妨从反面入手，特别是可先算出不带限制条件的组合数，再减去不满足限制条件的组合数.
【跟踪训练】
某市工商局对35种商品进行检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
（1）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
（2）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
（3）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
7.3 组合
培优课 排列与组合的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有种方法，所以一共有××＝90（种）方法.
（2）先在6本书中任取1本，作为一份，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一份，有种取法，最后余下3本书作为一份，有种取法，共有××＝60（种）方法.
（3）分成三份共有××种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有×××＝360（种）.
跟踪训练
解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法.
（2）这是全排列问题，共有＝24（种）放法.
（3）法一 先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球放入四个盒子中的三个盒子，有种方法，故共有×＝144（种）放法.
法二 先取4个球中的两个“捆”在一起，有种方法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种方法，所以共有×＝144（种）放法.
（4）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有×＝12（种）放法.
【例2】 解：（1）先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有＝10（种）放法.
（2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法.由分步计数原理得，共有＝40（种）放法.
跟踪训练
BD 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126种，故C错误，D正确.故选B、D.
【例3】 解：从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时不同的三位数有·22个.
②取1不取0，同上分析，不同的三位数有·22·个.
③0和1都不取，不同的三位数有·23·个.
综上所述，不同的三位数共有···22＋·22·＋·23·＝432（个）.
跟踪训练
480 解析：因为数字1与2不相邻，故可用插空法.先排数字3，4，5，6，有种不同排法，每种排法留出五个空位，再将1，2插入，有种排法，所以由分步计数原理可知共有＝480（种）不同排法.
【例4】 解：（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
所以先选有＋种，后排有种，
所以共有不同选法（＋）·＝5 400（种）.
（2）除去一定担任语文课代表的女生后，先选后排，共有不同选法·＝840（种）.
（3）先选后排，但先安排不担任语文课代表的该男生，所以共有不同选法··＝3 360（种）.
跟踪训练
90 解析：法一 分两类完成.第一类：甲被选中，有＝36种分派方案.第二类：甲不被选中，有＝54种分派方案.根据分类计数原理，分派方案共有36＋54＝90种.
法二 分两类完成.第一类：地区A分派女医生，有＝36种分派方案.第二类：地区A分派除医生甲之外的男医生，有＝54种分派方案.根据分类计数原理，分派方案共有36＋54＝90种.
【例5】 CD 对于A，分两种情况：①抽出的3件产品都是合格品，抽法种数为；②抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为，所以抽法种数为＋，故A错误，B错误.对于C，分两种情况：①抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为；②抽出的3件产品中有2件不合格品，抽法种数为.所以抽法种数为＋.故C正确.对于D，用“正难则反”，知抽法种数为－，故D正确.
跟踪训练
解：（1）由题意可知不同的取法共有·＝2 100（种）.
（2）至少有2种假货在内，可能有2种假货，可能有3种假货，故有·＋＝2 555（种）.
（3）至多有2种假货在内，可能没有假货，可能有1种假货，可能有2种假货，故共有＋＋＝6 090（种）.
3 / 3(共49张PPT)
培优课
排列与组合的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题
【例1】 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？
（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
解： 3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2
本的方法有 种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从
余下的4本书中任取2本有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方
法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有 种方
法，所以一共有 × × ＝90（种）方法.
（2）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
解： 先在6本书中任取1本，作为一份，有 种取法，再
从余下的5本书中任取2本，作为一份，有 种取法，最后余下
3本书作为一份，有 种取法，共有 × × ＝60（种）
方法.
（3）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本.
解： 分成三份共有 × × 种，但每一种分组方法又
有 种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3
本的分法有 × × × ＝360（种）.
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除
以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不需要考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分
组后再分配.
【跟踪训练】
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒
子中.
（1）有多少种放法？
解： 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球
一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法.
解：这是全排列问题，共有 ＝24（种）放法.
解：法一 先将4个小球分为三组，有 种方法，再将
三组小球放入四个盒子中的三个盒子，有 种方法，故共有
× ＝144（种）放法.
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
法二 先取4个球中的两个“捆”在一起，有 种方法，把它与其他
两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有 种方法，所以
共有 × ＝144（种）放法.
解：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子
放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，
所以属于组合问题，故共有 × ＝12（种）放法.
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少
种放法？
角度2 相同元素分配问题
【例2】 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下
列放法的种数.
（1）每个盒子都不空；
解： 先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空
隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有 ＝10（种）放法.
（2）恰有一个空盒子.
解： 恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有
种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块
隔板，有 种方法.由分步计数原理得，共有 ＝40
（种）放法.
通性通法
相同元素分配问题的处理策略
（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看
作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板
形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒
子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元
素的分配问题；
（2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n≥m，每个对象都有
元素），有 种方法，可描述为（n－1）个空中插入（m
－1）块隔板的方法.
【跟踪训练】
（多选）（2024·无锡月考）某中学为提升学生劳动意识和社会实
践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有
2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不
占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
C. 若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D. 若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
解析： 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个
班级至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故A错误；若1班有
除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至
少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故B正确；若每个班至少3人
参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩
10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故
只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有 ＝126种，故
C错误，D正确.故选B、D.
题型二 排列与组合的综合问题
角度1 特殊元素（位置）问题
【例3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6
与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少
个不同的三位数？
解：从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 种方法；0可
在后两位，有 种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有 种
方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此
时不同的三位数有 ·22个.
②取1不取0，同上分析，不同的三位数有 ·22· 个.
③0和1都不取，不同的三位数有 ·23· 个.
综上所述，不同的三位数共有 · · ·22＋ ·22· ＋ ·23· ＝
432（个）.
通性通法
解特殊元素（位置）的排列与组合问题要遵循的两个原则
（1）按元素（位置）的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以
元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其
他元素（位置）.
【跟踪训练】
由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数，可
以组成 个.
解析：因为数字1与2不相邻，故可用插空法.先排数字3，4，5，6，
有 种不同排法，每种排法留出五个空位，再将1，2插入，有 种
排法，所以由分步计数原理可知共有 ＝480（种）不同排法.
480
角度2 选排问题
【例4】 （2024·徐州月考）有5个男生和3个女生，从中选出5人分
别担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
（1）有女生但人数必须少于男生；
解： 先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
所以先选有 ＋ 种，后排有 种，
所以共有不同选法（ ＋ ）· ＝5 400（种）.
（2）某女生一定担任语文课代表；
解： 除去一定担任语文课代表的女生后，先选后排，共有
不同选法 · ＝840（种）.
（3）某男生必须包括在内，但不担任语文课代表.
解： 先选后排，但先安排不担任语文课代表的该男生，所
以共有不同选法 · · ＝3 360（种）.
通性通法
解排列、组合中选排问题的一般思路
（1）“先选后排”，即先把符合题意的元素都选出来，再对元素或
位置进行排列；
（2）按元素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步
顺序；
（3）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件及
其联系，从某一个限制条件出发，考虑合理分类、分步，一般
优先考虑特殊的元素.
【跟踪训练】
有4名男医生，3名女医生，从中选2名男医生，1名女医生到3个不
同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则不同的分派方案
共有 种.（用数字作答）
解析：法一 分两类完成.第一类：甲被选中，有 ＝36种分
派方案.第二类：甲不被选中，有 ＝54种分派方案.根据分类
计数原理，分派方案共有36＋54＝90种.
90
法二 分两类完成.第一类：地区A分派女医生，有 ＝36种分派
方案.第二类：地区A分派除医生甲之外的男医生，有 ＝54
种分派方案.根据分类计数原理，分派方案共有36＋54＝90种.
题型三 “至多”与“至少”问题
【例5】 （多选）（2024·淮安月考）在100件产品中，有98件合格
品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则抽出的3件产品
中（ ）
解析： 对于A，分两种情况：①抽出的3件产品都是合格品，抽
法种数为 ；②抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为
，所以抽法种数为 ＋ ，故A错误，B错误.对于C，分
两种情况：①抽出的3件产品中有1件不合格品，抽法种数为 ；
②抽出的3件产品中有2件不合格品，抽法种数为 .所以抽法种数
为 ＋ .故C正确.对于D，用“正难则反”，知抽法种数为
－ ，故D正确.
通性通法
“至多”“至少”型问题，常用“直接分类法”与“间接法”解
答，通常考虑三种途径
（1）元素分析法：先考虑特殊元素，再考虑其他元素；
（2）位置分析法：先考虑特殊位置，再考虑其他位置；
（3）“正难则反”：涉及“至多”“至少”等组合问题，当从正面
分析问题分的类较多、较复杂或计算量较大时，不适合用直接
分类法求解，不妨从反面入手，特别是可先算出不带限制条件
的组合数，再减去不满足限制条件的组合数.
【跟踪训练】
某市工商局对35种商品进行检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商
品中选取3种.
（1）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解： 由题意可知不同的取法共有 · ＝2 100（种）.
（2）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解： 至少有2种假货在内，可能有2种假货，可能有3种假
货，故有 · ＋ ＝2 555（种）.
（3）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解： 至多有2种假货在内，可能没有假货，可能有1种假
货，可能有2种假货，故共有 ＋ ＋ ＝6 090
（种）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. ＝（ ）
A. 120 B. 160
C. 180 D. 240
解析： ＝ ＝120.
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2. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，
则不同的选派方案共有（ ）
A. 60种 B. 80种
C. 100种 D. 120种
解析： 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三
项不同的工作，则不同的选派方案共有 ＝6×5×4＝120
（种）.故选D.
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3. 从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一
天，每天两人，则不同的选派方法共有（ ）
A. 60种 B. 48种
C. 30种 D. 10种
解析： 根据题意，分3步进行：①从5名志愿者中选派4人参加
活动，有 ＝5种选法；②将4人分为2组，有 ＝3种分法；③
将2组进行全排列，对应星期六和星期日，有 ＝2种情况，则共
有5×3×2＝30种不同的选派方法，故选C.
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4. 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且
乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）
A. 240种 B. 192种
C. 96种 D. 48种
解析： 分三步：先排甲，有1种方法；再排乙、丙，排在甲的
左边或右边，各有4种方法；再排其余4人，有 种方法，故共有
2×4× ＝192（种）不同的站法.故选B.
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5. （多选）（2024·苏州月考）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到
A，B，C三家企业开展某种疾病的防护排查工作，每名医生只能
到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A. 若C企业最多派1名医生，则所有不同的分派方案共48种
B. 若每家企业至少分派1名医生，则所有不同的分派方案共36种
C. 若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不
同的分派方案共12种
D. 所有不同的分派方案共43种
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解析： 对于选项A，若C企业没有派医生去，每名医生有2
种选择，则共用24＝16（种），若C企业派1名医生，则有 ·23＝
32（种），所以共有16＋32＝48（种）；对于选项B，若每家企业
至少分派1名医生，则有 ＝36（种）；对于选项C，若每家企
业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若A企业分2人，则
有 ＝6（种），若A企业分1人，则有 ＝6（种），所以共
有6＋6＝12（种）；对于选项D，所有不同的分派方案共有34种.
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6. （多选）某班某学习小组有6人，在体育课上，体育老师对这6人分
组安排训练任务，其中分配种数计算正确的是（ ）
A. 分成三组，第一组1人训练跳高，第二组2人训练跳远，第三组3人
训练掷实心球，共60种分法
B. 分成三组，人数分别是1，1，4，一组训练跳高，一组训练跳远，
一组训练掷实心球，共90种分法
C. 分成三组，每组2人，分别参加乒乓球、羽毛球、网球的训练赛，
共540种分法
D. 分成两组，每组3人，两组间进行三人篮球训练赛，共20种分法
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解析： A选项，分3步完成，先选1人训练跳高有 种，再
选2人训练跳远有 种，剩余3人训练掷实心球有 种，根据分步
计数原理可知，共有 · · ＝6×10×1＝60种分法，故A正
确；B选项，先分好三组，有 ＝15种分法，再安排3组去参
加不同的训练，有 种安排方法，所以由分步计数原理知共有
15 ＝90种分法，故B正确；
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C选项，先选2人参加乒乓球训练赛有 种，再选2人参加羽毛球训练
赛有 种，再选2人参加网球训练赛有 种，由分步计数原理知共
有 · · ＝90种分法，故C错误；D选项，先分成2组，每组3人有
＝10种，再分成2队有 种分法，由分步计数原理知共有10
＝20种分法，故D正确.
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7. 不等式 －n＜5的解集为 .
解析：由 －n＜5，得 －n＜5，所以n2－3n－10＜0.
解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，
4，故原不等式的解集为{2，3，4}.
{2，3，4}
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8. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各
一节的课程表.要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不
同的排法种数为 （用数字作答）.
解析：先在前3节课中选一节安排数学，有 种安排方法；在除了
数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有 种安排方
法；其余4节课无约束条件，有 种安排方法.根据分步计数原
理，不同的排法种数为 × × ＝288.
288
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9. （2024·南京月考）如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，
A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，
A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为 .
解析：利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情
况，所以符合条件的三角形的个数为 － － ＝42.
42
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10. （2024·泰州月考）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的
菜肴中任选2荤、2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同
的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少
还要准备不同的素菜 种.
解析：设餐厅至少还要准备不同的素菜x种，则 · ≥200，即
x（x－1）≥40.∵x取正整数，∴x最小取7.∴x≥7.故餐厅至少
还要准备不同的素菜7种.
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11. 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线.
（1）这9个点，可确定多少条不同的直线？
（1）第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定 条直线；
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点
可确定 条直线.
根据分类计数原理，共有不同直线1＋ ＋ ＝1＋10＋
20＝31（条）.
解：共线的4点记为A，B，C，D.
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（2）以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？
解：第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得 个
三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得 个三角
形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得 个三角形.
共有 ＋ ＋ ＝80（个）三角形.
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12. 为弘扬我国古代的六艺文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开
设礼乐射御书数六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中射不排在第一
周，数不排在最后一周的所有可能排法种数；
解： 分两种情况讨论：
当射排在最后一周时，则有 ＝120种排法；
当当射不排在最后一周，则射有4种排法，数也有4种排法，
剩下的4门课程全排列，有4×4× ＝384种排法，
所以共有120＋384＝504种不同排法.
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（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少
任教一门课程，求其中甲不任教数的课程安排方案种数.
解： 分两种情况讨论：
当甲教两科时，则有 ＝240种安排方法；
当甲教一科时，则有 ＝1 200种安排方法.
所以共有240＋1 200＝1 440种不同安排方案.
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13. 在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要
通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放
回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
（1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少
种不同的抽法；
解： 由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或
5次检测结束，
第1次抽到的是正品有 种抽法；第2次抽到的是次品有
种抽法；第3次抽到的是正品有 种抽法；
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当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有 ＝
24种抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是
正品，则共有 ＝48种抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有
＝48种抽法；
综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120
种抽法.
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（2）已知每检测一件产品需要检测费用100元，求检测结束时检
测费用为400元的抽法有多少种？
解： 由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4
次检测结束，共有以下两种情况：
①4次抽到的均为正品，共有 ＝24种抽法；
②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共
有 · · ＝72种抽法.
所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.
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谢 谢 观 看！
