7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
1.（x＋）9的展开式中的第4项是（ ）
A.56x3 B.84x3
C.56x4 D.84x4
2.（2024·淮安月考）（x－y）10的展开式中x6y4的系数是（ ）
A.－840 B.840
C.210 D.－210
3.（2024·镇江月考）若实数a＝2－，则a10－2a9＋22a8－…＋210＝（ ）
A.32 B.－32
C.1 024 D.512
4.（1＋3x）n（n∈N*）的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（ ）
A.4 B.27
C.36 D.108
5.（多选）对于二项式（x－）9的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.展开式共有10项
B.第6项的二项式系数是126
C.第6项的系数是126
D.x3的系数是84
6.（多选）若二项式（x＋）6展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
7.的展开式中，第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 .
8.（2024·常州月考）在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 .
9.（x－）2n的展开式的中间项为 .
10.已知二项式（2x－1）4：
（1）求展开式；
（2）求展开式中第2项的二项式系数；
（3）求展开式中第2项的系数.
11.（多选）对于二项式（n∈N*），以下判断正确的有（ ）
A.存在n∈N*，展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D.存在n∈N*，展开式中有含x的项
12.若（2x3＋）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n的值为 ，此时常数项为 .
13.（x＋）100的展开式中，系数为有理数的共有 项.
14.已知在（－）n的二项展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）求含x2的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项.
15.已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列.
（1）求：a1－a2＋a3，a1－a2＋a3－a4；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
7.4.1 二项式定理
1.B 由展开式的通项知T4＝x6（）3＝84x3.
2.B 在通项公式Tk＋1＝（－y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系数为（－）4＝840.
3.A a10－2a9＋22a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2－时，（a－2）10＝32.
4.D Tk＋1＝（3x）k，由＝6，得n＝4，从而T4＝·（3x）3，故第四项的系数为·33＝108.
5.AB 二项展开式共有9＋1＝10（项），A正确；由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝x9－k·（－）k＝（－1）k··x9－2k，∴T6＝（－1）5··x9－2×5＝－126x－1，∴第6项的二项式系数为＝126，第6项的系数为－126，故B正确，C错误；令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为（－1）3·＝－84，D错误.
6.AB 二项式（x＋）6展开式的通项为Tk＋1＝x6－k·（）k＝mk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为m4＝15，则m4＝1，解得m＝±1.故选A、B.
7.84 － 解析：Tk＋1＝·（x2）9－k·＝··x18－3k，当k＝3时，T4＝··x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为＝84，第4项的系数为－.
8.10 解析：（1－x）5中x3的系数为－＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10.
9.（－1）n 解析：Tr＋1＝x2n－r（－）r＝（－1）rx2n－2r，展开式共有2n＋1项，中间项为第n＋1项，即Tn＋1＝（－1）n.
10.解：（1）（2x－1）4＝[2x＋（－1）]4＝（2x）4（－1）0＋（2x）3（－1）1＋（2x）2（－1）2＋（2x）1（－1）3＋（2x）0（－1）4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
（2）由（1）可知展开式中第2项的二项式系数为＝4.
（3）由（1）可知展开式中第2项的系数为·23·（－1）＝－32.
11.AD 设二项式（n∈N*）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝（x3）k＝x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确.
12.7 14 解析：二项式的通项为Tk＋1＝（2x3）n－k（）k＝2n－k，令3n－k＝0，即k＝n，而k∈N*.∴n为7的整数倍，即最小的正整数n的值为7，此时常数项为T7＝×2＝14.
13.17 解析：（x＋）100的展开式的通项为Tk＋1＝x100－k··.若Tk＋1的系数为有理数，则，均为整数，即k为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，12，…，96，共17个，即系数为有理数的共有17项.
14.解：通项公式为Tr＋1＝（－3）r
＝（－3）r.
（1）∵第6项为常数项，
∴当r＝5时，有＝0，即n＝10.
（2）令＝2，
得r＝（10－6）＝2，
∴所求的系数为（－3）2＝405.
（3）由题意得，
令＝t（t∈Z），
则10－2r＝3t，即r＝5－t.
∵r∈N，∴t应为偶数.
令t＝2，0，－2，即r＝2，5，8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2.
15.解：（1）a1－a2＋a3＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2，
a1－a2＋a3－a4＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1（1－q）3.
（2）归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1－a2＋a3－a4＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1（1－q）n，n为正整数.
证明：a1－a2＋a3－a4＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1－a1q＋a1q2－a1q3＋…＋（－1）na1qn
＝a1[－q＋q2－q3＋…＋（－1）nqn]＝a1（1－q）n.
2 / 27.4.1 二项式定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解二项式定理的相关概念 数学抽象
2.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 逻辑推理
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
观察以下各式：
（a＋b）1＝a＋b，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
…
【问题】 （1）它们的系数之间有何规律？
（2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？
（3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？
知识点 二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝ （n∈N*）
二项式系数 （r＝0，1，2，…，n）
二项展开 式的通项 ＝
提醒 二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a＋b）n展开式中共有n项.（ ）
（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.（ ）
（3）an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项.（ ）
（4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同.（ ）
2.（x＋2）n的展开式共有11项，则n＝（ ）
A.9 B.10
C.11 D.8
3.（2024·南通月考）（x3－）4的展开式中常数项为 .
4.在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）.
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】 （链接教科书第83页例1）（1）求（x＋2y）4的展开式；
（2）化简：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n.
通性通法
运用二项式定理解题的策略
（1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开；
（2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
提醒 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－b）n的形式.
【跟踪训练】
1.（2024·徐州月考）已知3n＋3n－1＋3n－2＋…＋3＋＝1 024，则n＝ .
2.求的展开式.
题型二 二项展开式通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
【例2】 （链接教科书第84页例2）在二项式（3－）10的二项展开式中，求：
（1）第4项的二项式系数；
（2）第4项的系数.
通性通法
1.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.
2.求二项式系数可直接代入求解.求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
角度2 二项展开式中的特定项
【例3】 （链接教科书第84页例3）在二项式（x－）12的展开式中，求：
（1）第4项；（2）常数项；（3）有理项.
通性通法
求二项展开式特定项的步骤
【跟踪训练】
1.二项式（2x2－）6的展开式的中间项是 .
2.若（x－）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .
1.在（－2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A.－5 B.5
C.－10 D.10
2.S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3，则S＝（ ）
A.x4 B.x4＋1
C.（x－2）4 D.x4＋4
3.（2024·连云港月考）若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为（ ）
A.6 B.10
C.12 D.15
4.在（x－）8的展开式中：
（1）求第3项；
（2）求含项的系数.
7.4.1 二项式定理
【基础知识·重落实】
知识点
an＋bbr＋…＋bn br
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.B 因为（a＋b）n的展开式共有（n＋1）项，而（x＋2）n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
3.－4 解析：（x3－）4的展开式的通项为Tk＋1＝（x3）4－k（－）k＝（－1）kx12－4k，令12－4k＝0，即k＝3，得常数项为T4＝（－1）3＝－4.
4.60 解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝（－2）kxk，当k＝2时，T3＝（－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）（x＋2y）4＝x4＋x3（2y）＋x2（2y）2＋x（2y）3＋（2y）4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
（2）原式＝（x＋1）n＋（x＋1）n－1（－1）＋（x＋1）n－2（－1）2＋…＋（x＋1）n－k（－1）k＋…＋（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn.
跟踪训练
1.5 解析：3n＋3n－1＋…＋3＋＝3n·10＋3n－1·11＋…＋31·1n－1＋30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n＝5.
2.解：法一 ＝（3）4＋（3）3·＋（3）2＋（3）· ＋＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二 ＝＝（1＋3x）4＝·[1＋·3x＋（3x）2＋（3x）3＋（3x）4]＝（1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4）＝＋＋54＋108x＋81x2.
【例2】 解：（3－）10的展开式的通项是
Tr＋1＝（3）10－r（－）r
＝310－r（－）r·（r＝0，1，2，…，10）.
（1）展开式的第4项（r＝3）的二项式系数为＝120.
（2）展开式的第4项的系数为37（－）3＝－77 760.
跟踪训练
B （1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝1n－k·（－2x）k＝（－2）kxk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3＝－160，则＝20，解得n＝6.
【例3】 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝x12－r·（－）r＝（－1）r.
（1）令r＝3，则T4＝（－1）3＝－220x8.
（2）令12－r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9＝－220.
（3）若求展开式中的有理项，则12－r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4.
跟踪训练
1.－x3 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝（2x2）6－k·（－）k＝（－）k26－kx12－3k，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－）326－3x12－3×3＝－x3.
2.4 解析：（x－）6的展开式的通项是Tr＋1＝x6－r·（－）rx－2r＝x6－3r（－）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是a，根据已知得a＝60，解得a＝4.
随堂检测
1.C 由二项式定理得（－2）5的展开式的通项Tk＋1＝（）5－k（－2）k＝（－2）k，令＝2，得k＝1，所以T2＝·（－2）·x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C.
2.A S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4（x－1）＋1＝（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋＝[（x－1）＋1]4＝x4.故选A.
3.C 由二项式展开式的第5项T5＝·（）n－4（－）4＝16是常数项，可得－6＝0，解得n＝12.故选C.
4.解：（1）（x－）8＝（x－2x－2）8，
所以第3项为T3＝x8－2（－2x－2）2＝（－2）2x6x－4＝4x2＝112x2.
（2）Tr＋1＝x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2rx8－3r，
令8－3r＝－1，解得r＝3，
所以T4＝（－1）323x－1＝－.
所以含项的系数为－448.
3 / 3(共52张PPT)
7.4.1 二项式定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解二项式定理的相关概念 数学抽象
2.能用多项式运算法则和计数原理证
明二项式定理 逻辑推理
3.会用二项式定理解决与二项展开式
有关的简单问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察以下各式：
（a＋b）1＝a＋b，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
…
【问题】 （1）它们的系数之间有何规律？
（2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？
（3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？
知识点 二项式定理
二项式定理 （a＋b）n＝
（n∈N*）
二项式系数 （r＝0，1，2，…，n）
二项展开 式的通项
an＋ b br
＋…＋ bn
br
提醒 二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b的
次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减
到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a＋b）n展开式中共有n项. （ × ）
（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响. （ × ）
（3） an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项. （ × ）
（4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相
同. （ √ ）
×
×
×
√
2. （x＋2）n的展开式共有11项，则n＝（ ）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 8
解析： 因为（a＋b）n的展开式共有（n＋1）项，而（x＋
2）n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
3. （2024·南通月考）（x3－ ）4的展开式中常数项为 .
解析：（x3－ ）4的展开式的通项为Tk＋1＝ （x3）4－k（－ ）k
＝（－1）k x12－4k，令12－4k＝0，即k＝3，得常数项为T4＝
（－1）3 ＝－4.
4. 在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）.
解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝ （－2）kxk，当k＝2
时，T3＝ （－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60.
－4
60
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二项式定理的正用、逆用
【例1】 （链接教科书第83页例1）（1）求（x＋2y）4的展开式；
解： （x＋2y）4＝ x4＋ x3（2y）＋ x2（2y）2＋
x（2y）3＋ （2y）4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
（2）化简： （x＋1）n－ （x＋1）n－1＋ （x＋1）n－2－…
＋（－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n .
解： 原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋
（x＋1）n－2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋
（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn.
通性通法
运用二项式定理解题的策略
（1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，
展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个
字母是升幂.形如（a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情
况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开；
（2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求
解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的
系数.
提醒 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a
－b）n的形式.
【跟踪训练】
1. （2024·徐州月考）已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋
＝1 024，则n＝ .
解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11
＋…＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即
22n＝210，解得n＝5.
5
2. 求 的展开式.
解：法一 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋
（3 ）2 ＋ （3 ）· ＋ ＝81x2＋108x＋
54＋ ＋ .
法二 ＝ ＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋
（3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋
81x4）＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2.
题型二 二项展开式通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
【例2】 （链接教科书第84页例2）在二项式（3 － ）10的二项
展开式中，求：
（1）第4项的二项式系数；
（1）展开式的第4项（r＝3）的二项式系数为 ＝120.
解：（3 － ）10的展开式的通项是
Tr＋1＝ （3 ）10－r（－ ）r
＝ 310－r（－ ）r· （r＝0，1，2，…，10）.
（2）第4项的系数.
解：展开式的第4项的系数为 37（－ ）3＝－77 760.
通性通法
1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数
及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数
均有关.
2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分
为两步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确
定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整
数，r为非负整数，n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的
项或项的系数.
【跟踪训练】
（2024·常州月考）若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正
整数n的值为（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： （1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）k
＝（－2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝－
160，则 ＝20，解得n＝6.
角度2 二项展开式中的特定项
【例3】 （链接教科书第84页例3）在二项式（x－ ）12的展开式
中，求：（1）第4项；（2）常数项；
解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1）
r .
（1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8.
（2）令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220.
解：若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6，
9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4
＝924x4，T10＝－ ＝－220，T13＝x－4.
（3）有理项.
通性通法
求二项展开式特定项的步骤
【跟踪训练】
1. 二项式（2x2－ ）6的展开式的中间项是 － x3 .
解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝ （2x2）6－k·（－ ）k＝
（－ ）k26－k x12－3k，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间
项，即k＝3，T4＝（－ ）326－3 x12－3×3＝－ x3.
－ x3
2. 若（x－ ）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 .
解析：（x－ ）6的展开式的通项是Tr＋1＝ x6－r·（－ ）rx－
2r＝ x6－3r（－ ）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr
＋1为常数项，即常数项是 a，根据已知得 a＝60，解得a＝4.
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1. 在（ －2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A. －5 B. 5
C. －10 D. 10
解析： 由二项式定理得（ －2）5的展开式的通项Tk＋1＝
（ ）5－k（－2）k＝ （－2）k ，令 ＝2，得k＝1，所
以T2＝ ·（－2）·x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C.
2. S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3，则S＝
（ ）
A. x4 B. x4＋1
C. （x－2）4 D. x4＋4
解析： S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4（x－1）
＋1＝ （x－1）4＋ （x－1）3＋ （x－1）2＋ （x－1）
＋ ＝[（x－1）＋1]4＝x4.故选A.
3. （2024·连云港月考）若二项式 展开式中的第5项是常数
项，则自然数n的值为（ ）
A. 6 B. 10
C. 12 D. 15
解析： 由二项式 展开式的第5项T5＝ ·（ ）n－
4（－ ）4＝16 是常数项，可得 －6＝0，解得n＝12.故
选C.
4. 在（x－ ）8的展开式中：
（1）求第3项；
解： （x－ ）8＝（x－2x－2）8，
所以第3项为T3＝ x8－2（－2x－2）2＝（－2）2 x6x－4＝
4 x2＝112x2.
（2）求含 项的系数.
解： Tr＋1＝ x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2r x8－3r，
令8－3r＝－1，解得r＝3，
所以T4＝（－1）323 x－1＝－ .
所以含 项的系数为－448.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （x＋ ）9的展开式中的第4项是（ ）
A. 56x3 B. 84x3
C. 56x4 D. 84x4
解析： 由展开式的通项知T4＝ x6（ ）3＝84x3.
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2. （2024·淮安月考）（x－ y）10的展开式中x6y4的系数是
（ ）
A. －840 B. 840
C. 210 D. －210
解析： 在通项公式Tk＋1＝ （－ y）kx10－k中，令k＝4，
得x6y4的系数为 （－ ）4＝840.
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3. （2024·镇江月考）若实数a＝2－ ，则a10－2 a9＋22 a8
－…＋210＝（ ）
A. 32 B. －32
C. 1 024 D. 512
解析： a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2
－ 时，（a－2）10＝32.
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4. （1＋3x）n（n∈N*）的展开式中，若第三项的二项式系数为6，
则第四项的系数为（ ）
A. 4 B. 27
C. 36 D. 108
解析： Tk＋1＝ （3x）k，由 ＝6，得n＝4，从而T4＝
·（3x）3，故第四项的系数为 ·33＝108.
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5. （多选）对于二项式（x－ ）9的展开式，下列结论正确的是
（ ）
A. 展开式共有10项
B. 第6项的二项式系数是126
C. 第6项的系数是126
D. x3的系数是84
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解析： 二项展开式共有9＋1＝10（项），A正确；由已知得
二项展开式的通项为Tk＋1＝ x9－k·（－ ）k＝（－1）k· ·x9－
2k，∴T6＝（－1）5· ·x9－2×5＝－126x－1，∴第6项的二项式系数
为 ＝126，第6项的系数为－126，故B正确，C错误；令9－2k＝
3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为（－1）3· ＝－
84，D错误.
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6. （多选）若二项式（x＋ ）6展开式中的常数项为15，则实数m
的值可能为（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 二项式（x＋ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ x6－
k·（ ）k＝ mk.令6－ k＝0，得k＝4，常数项为 m4＝
15，则m4＝1，解得m＝±1.故选A、B.
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7. 的展开式中，第4项的二项式系数是 ，第4项的系
数是 .
解析：Tk＋1＝ ·（x2）9－k· ＝ · ·x18－3k，当k＝3
时，T4＝ · ·x9＝－ x9，所以第4项的二项式系数为 ＝
84，第4项的系数为－ .
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8. （2024·常州月考）在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项
的系数为 .
解析：（1－x）5中x3的系数为－ ＝－10，－（1－x）6中x3的
系数为－ ·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中
x3的系数为10.
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9. （x－ ）2n的展开式的中间项为 .
解析：Tr＋1＝ x2n－r（－ ）r＝（－1）r x2n－2r，展开式共
有2n＋1项，中间项为第n＋1项，即Tn＋1＝（－1）n .
（－1）n
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10. 已知二项式（2x－1）4：
（1）求展开式；
解： （2x－1）4＝[2x＋（－1）]4＝ （2x）4（－
1）0＋ （2x）3（－1）1＋ （2x）2（－1）2＋
（2x）1（－1）3＋ （2x）0（－1）4＝16x4－32x3＋24x2
－8x＋1.
（2）求展开式中第2项的二项式系数；
解： 由（1）可知展开式中第2项的二项式系数为＝4.
（3）求展开式中第2项的系数.
解： 由（1）可知展开式中第2项的系数为 ·23·（－
1）＝－32.
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11. （多选）对于二项式 （n∈N*），以下判断正确的有
（ ）
A. 存在n∈N*，展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中没有含x的项
D. 存在n∈N*，展开式中有含x的项
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解析： 设二项式 （n∈N*）展开式的通项为Tk＋
1，则Tk＋1＝ （x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，则当k
＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k
＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确.
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12. 若（2x3＋ ）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n的值
为 ，此时常数项为 .
解析：二项式的通项为Tk＋1＝ （2x3）n－k（ ）k＝ 2n－
k ，令3n－ k＝0，即k＝ n，而k∈N*.∴n为7的整数
倍，即最小的正整数n的值为7，此时常数项为T7＝ ×2＝14.
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13. （ x＋ ）100的展开式中，系数为有理数的共有 项.
解析：（ x＋ ）100的展开式的通项为Tk＋1＝ x100－
k· · .若Tk＋1的系数为有理数，则 ， 均为整数，即k
为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，
12，…，96，共17个，即系数为有理数的共有17项.
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14. 已知在（ － ）n的二项展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（1）∵第6项为常数项，
∴当r＝5时，有 ＝0，即n＝10.
解：通项公式为Tr＋1＝ （－3）r
＝ （－3）r .
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（2）求含x2的项的系数；
解：令 ＝2，
得r＝ （10－6）＝2，
∴所求的系数为 （－3）2＝405.
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解：由题意得，
令 ＝t（t∈Z），
则10－2r＝3t，即r＝5－ t.
∵r∈N，∴t应为偶数.
令t＝2，0，－2，即r＝2，5，8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－
61 236，295 245x－2.
（3）求展开式中所有的有理项.
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15. 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列.
（1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ；
解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2，
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1
（1－q）3.
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（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加
以证明.
解： 归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1（1－q）n，n为正整数.
证明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1·
＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn
＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1
（1－q）n.
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