7.4.2 二项式系数的性质及应用
1.在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是（ ）
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
2.的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是（ ）
A.－15 B.－20
C.15 D.20
3.（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和为（ ）
A.2n＋1 B.2n－1
C.2n＋1－1 D.2n＋1－2
4.（2024·南通月考）若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，则a8的值为（ ）
A.10 B.45
C.－9 D.－45
5.（多选）关于（a－b）11的说法，正确的是（ ）
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最大
6.（多选）已知（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则（ ）
A.n＝7
B.所有项的系数和为0
C.偶数项的系数和为－64
D.展开式的中间项为－35x3和35x4
7.在（1＋2x）8的展开式中，第 项的二项式系数最大，该项的系数是 .
8.（2024·宿迁月考）已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为 .
9.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝ .
10.已知（＋）n的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的项，求第5项.
11.（多选）已知（ax2＋）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是（ ）
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
12.（2024·盐城月考）设n为正整数，（a＋b）2n的展开式中二项式系数的最大值为x，（a＋b）2n＋1的展开式中二项式系数的最大值为y，若13x＝7y，则n＝ .
13.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
14.设（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
（1）a1＋a2＋a3＋a4；
（2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2；
（3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜.
15.（2024·淮安质检）已知（ax－）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1.
（1）求n和a的值；
（2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由；
（3）求展开式中二项式系数最大的项.
7.4.2 二项式系数的性质及应用
1.B 第6项的二项式系数为，又因为＝，所以第16项符合条件.
2.C 因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以的展开式的通项为Tk＋1＝（x2）6－k·＝（－1）kx12－3k.令12－3k＝0得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4＝15.故选C.
3.D 令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故选D.
4.B x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，∴a8＝＝＝45.
5.AC （a－b）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.
6.ABC 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展开式中共有8项，且奇数项系数为正，偶数项系数为负，各项的系数的绝对值与其二项式系数相等.取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝x4·（－1）3＝－35x4，T5＝x3·（－1）4＝35x3，故A、B、C正确，D错误.
7.5 1 120 解析：因为n＝8，展开式有9项，中间项即第5项的二项式系数最大；又T5＝（2x）4＝1 120x4，故第5项系数是1 120.
8.10 解析：∵展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴展开式的通项Tr＋1＝25－rx15－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为＝10.
9.－256 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
10.解：依题意，（＋）n的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝（）n－k（）k，
当n为偶数时，只有第10项的二项式系数最大，即＋1＝10，则n＝18，
此时T5＝（）18－4（）4＝3 060x4.
当n为奇数时，第10，11项的二项式系数最大或第9，10项的二项式系数最大，即＝10或＝9，解得n＝19或n＝17.
当n＝19时，T5＝（）19－4（）4＝3 876；
当n＝17时，T5＝（）17－4（）4＝2 380.
综上，当n＝18时，第5项为3 060x4；当n＝19时，第5项为3 876；当n＝17时，第5项为2 380.
11.BCD 因为（ax2＋）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以＝，解得n＝10.因为展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a＞0，所以a＝1.则原式为（x2＋）10，其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝×（x2）10－k×（）k＝.展开式中奇数项的二项式系数之和为×1 024＝512，故A错误；因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样，且展开式有11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；令20－k＝0，解得k＝8，又0＜8＜10，所以展开式中存在常数项，故C正确；令20－k＝15，解得k＝2，又＝45，故D正确.
12.6 解析：由题意知x＝，y＝，因为13x＝7y，所以13＝7，即13×＝7×，即13＝7×，故13×（n＋1）＝7×（2n＋1），解得n＝6.
13.34 解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以∶＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
14.解：（1）由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得（0－3）4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝1－81＝－80.
（2）在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ①
令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2
＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4）
＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625.
（3）由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626，
由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624，
所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜
＝－a1＋a2－a3＋a4
＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0
＝313＋312－81＝544.
15.解：（1）由题意得，＋＋＝16，
即1＋n＋＝16.
解得n＝5或n＝－6（舍去），
所以n＝5.
因为所有项的系数之和为1，令x＝1，
所以（a－1）5＝1，解得a＝2.
（2）不存在.理由如下：
因为（ax－）n＝（2x－）5，
所以Tk＋1＝（2x）5－k（－）k＝（－1）k25－k（k∈N*）.
令5－＝0，解得k＝ N*，所以展开式中不存在常数项.
（3）由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大，
二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2·25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3·25－3＝－40.
2 / 27.4.2 二项式系数的性质及应用
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系 逻辑推理
2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题 数学运算
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数.
【问题】 观察上图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的数吗？
知识点 二项式系数的性质
一般地，（a＋b）n展开式的二项式系数，，…，有如下性质：
（1）＝；
（2）＋＝ ；
（3）当r＜时， ；当r＞时， ；
（4）＋＋…＋＝ .
提醒 （1）在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都为2n－1.
1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（ ）
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
A.8 B.6
C.4 D.2
2.（2024·盐城月考）（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝（ ）
A.7 B.8 C.10 D.11
3.（2x－1）6展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数和为 .
题型一 二项式系数表
【例1】 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.
通性通法
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
（1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
（2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律；
（3）将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.
【跟踪训练】
如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b＝（ ）
A.20 B.21
C.22 D.23
题型二 二项展开式的系数和
【例2】 （链接教科书第88页习题13题）已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值.
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
（2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
（3）a1＋a3＋a5.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求下列各式的值：
（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
（2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
通性通法
二项展开式的系数和的求法
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【跟踪训练】
在（2x－3y）10的展开式中，求：
（1）奇数项的系数和与偶数项的系数和；
（2）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】 已知（＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）展开式中系数最大的项.
通性通法
1.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论：
（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，即和最大；
（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即.
2.展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
（2024·徐州质检）在的展开式中：
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
1.的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A.第6项 B.第8项 C.第5，6项 D.第6，7项
2.（2024·南京月考）已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（ ）
A.5 B.10 C.20 D.40
3.已知二项式（1－x）8，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最小的项.
提示：完成课后作业 第七章 7.4 7.4.2
3 / 3(共60张PPT)
7.4.2
二项式系数的性质及应用
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项
式系数间的关系 逻辑推理
2.理解二项式系数的性质并解决与二项展
开式有关的问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家
杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三
角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数.
【问题】 观察上图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的
数吗？
知识点 二项式系数的性质
一般地，（a＋b）n展开式的二项式系数 ， ，…， 有如下
性质：
（1） ＝ ；
（2） ＋ ＝ ；
（3）当r＜ 时， ；当r＞ 时，
；
＜
＜
（4） ＋ ＋…＋ ＝ .
提醒 （1）在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶
性；（2）在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和，都为2n－1.
2n
1. 观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（ ）
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
A. 8 B. 6
解析： 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝
10，得a＝6.
C. 4 D. 2
2. （2024·盐城月考）（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有
x5的系数最大，则n＝（ ）
A. 7 B. 8
C. 10 D. 11
解析： （1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，每一项系数即
二项式系数，分别为 ， ，…， .二项展开式中只有一项的
二项式系数最大，则n为偶数，二项式系数 最大.则x5的系数
最大，故 ＝5，n＝10.
3. （2x－1）6展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数和
为 .
解析：令展开式中x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为
26＝64.
1
64
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二项式系数表
【例1】 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.
解：由题意及二项式系数表的特点可得
S16＝（1＋2）＋（3＋3）＋（6＋4）＋（10＋5）＋…＋（36＋9）＝
（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋…＋（ ＋ ）＝
（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＋（2＋3＋…＋9）＝ ＋ ＝
164.
通性通法
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
（1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
（2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的
规律；
（3）将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.
【跟踪训练】
如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两
个数，当a＝7时，b＝（ ）
A. 20 B. 21
C. 22 D. 23
解析： 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分
别是上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，
第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
题型二 二项展开式的系数和
【例2】 （链接教科书第88页习题13题）已知（2x－1）5＝a0x5＋
a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值.
（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
（2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜；
解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由（2x－1）5的通项Tr＋1＝ （－1）r×25－rx5－r知a1，a3，
a5为负值，
所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋
a4－a5＝35＝243.
（3）a1＋a3＋a5.
解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5，
两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求下列各式的值：
（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解： 因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数，
所以a0＝ 25·（－1）0＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
（2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解： 因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋
a5，所以两边求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2
＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
通性通法
二项展开式的系数和的求法
（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，
n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需
令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求
其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开
式中各项系数之和为f（1），
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
【跟踪训练】
在（2x－3y）10的展开式中，求：
（1）奇数项的系数和与偶数项的系数和；
解： 设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10.
令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1. ①
令x＝1，y＝－1（或x＝－1，y＝1），得a0－a1＋a2－a3＋…
＋a10＝510. ②
①＋②，得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510.
所以奇数项的系数和为 .
①－②，得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510.
所以偶数项的系数和为 .
（2）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
解： x的奇次项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝ .
x的偶次项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝ .
题型三 二项式系数性质的应用
【例3】 已知（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于
37，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项的系数；
解： 由（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等
于37，即 ＋ ＋ ＝37，解得n＝8，即二项式为（ ＋2x）8，
所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝ （ ）4×24x4＝ x4，
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
（2）展开式中系数最大的项.
解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大，
则
解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，
即T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8.
通性通法
1. 二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中
的n进行讨论：
（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，即 和
最大；
（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即 .
2. 展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要
根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，
b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式
中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用
解出k，即得出系数最大的项.
【跟踪训练】
（2024·徐州质检）在 的展开式中：
（1）求二项式系数最大的项；
解： 二项式系数最大的项为中间项，即为第5项.
故T5＝ （－2）4x－6＝1 120x－6.
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
解： 因为Tk＋1＝ ·（ ）8－k ＝（－1）
k· ·2k· .
设第k＋1项系数的绝对值最大，则
即整理得于是k＝5或k＝6.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
1. 的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A. 第6项 B. 第8项
C. 第5，6项 D. 第6，7项
解析： 由n＝11为奇数，则展开式中第 项和第 ＋1项，
即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.
2. （2024·南京月考）已知 的二项展开式的各项系数和为
32，则二项展开式中x4的系数为（ ）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
解析： 因为 的二项展开式的各项系数和为32，所以
令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以 的二项展开式的第k＋
1项为Tk＋1＝ （x2）5－k ＝ x10－3k，令10－3k＝4，得k＝
2，故二项展开式中x4的系数为 ＝10.
3. 已知二项式（1－x）8，求：
（1）展开式中二项式系数最大的项；
解： 因为（1－x）8的展开式中共有9项，所以中间一项
（第5项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大
的项为 （－x）4＝70x4.
（2）展开式中系数最小的项.
解： 二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由
题意知第4项和第6项系数相等且最小，T4＝ （－x）3＝－
56x3，T6＝ （－x）5＝－56x5，所以展开式中系数最小的
项是－56x3和－56x5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数
相同的项是（ ）
A. 第15项 B. 第16项
C. 第17项 D. 第18项
解析： 第6项的二项式系数为 ，又因为 ＝ ，所以第
16项符合条件.
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2. 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式
的常数项是（ ）
A. －15 B. －20
C. 15 D. 20
解析： 因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以
的展开式的通项为Tk＋1＝ （x2）6－k· ＝（－1）
k x12－3k.令12－3k＝0得k＝4，所以展开式中的常数项是（－
1）4 ＝15.故选C.
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3. （1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和
为（ ）
A. 2n＋1 B. 2n－1
C. 2n＋1－1 D. 2n＋1－2
解析： 令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故选D.
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4. （2024·南通月考）若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋
a10（x－1）10，则a8的值为（ ）
A. 10 B. 45
C. －9 D. －45
解析： x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2
＋…＋a10（x－1）10，∴a8＝ ＝ ＝45.
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5. （多选）关于（a－b）11的说法，正确的是（ ）
A. 展开式中的二项式系数之和为2 048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
解析： （a－b）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2
048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两
项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正
确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.
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6. （多选）已知（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数之和是
64，则（ ）
A. n＝7
B. 所有项的系数和为0
C. 偶数项的系数和为－64
D. 展开式的中间项为－35x3和35x4
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解析： 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展
开式中共有8项，且奇数项系数为正，偶数项系数为负，各项的系
数的绝对值与其二项式系数相等.取x＝1代入二项式得所有项的系
数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5
项，T4＝ x4·（－1）3＝－35x4，T5＝ x3·（－1）4＝35x3，故
A、B、C正确，D错误.
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7. 在（1＋2x）8的展开式中，第 项的二项式系数最大，该项的
系数是 .
解析：因为n＝8，展开式有9项，中间项即第5项的二项式系数最
大；又T5＝ （2x）4＝1 120x4，故第5项系数是1 120.
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8. （2024·宿迁月考）已知 展开式的各项系数和为243，则
展开式中含x7的项的二项式系数为 .
解析：∵ 展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得
3n＝243，解得n＝5.∴ 展开式的通项Tr＋1＝ 25－rx15
－4r，r∈{0，1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7
的项的二项式系数为 ＝10.
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9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2
＋a4）（a1＋a3＋a5）＝ .
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0
－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝
32，两式相减可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，
a1＋a3＋a5＝－16，所以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256.
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解：依题意，（ ＋ ）n的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝
（ ）n－k（ ）k，
当n为偶数时，只有第10项的二项式系数最大，即 ＋1＝10，则
n＝18，
此时T5＝ （ ）18－4（ ）4＝3 060x4.
10. 已知（ ＋ ）n的展开式中没有比第10项的二项式系数更大
的项，求第5项.
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当n为奇数时，第10，11项的二项式系数最大或第9，10项的二项
式系数最大，即 ＝10或 ＝9，解得n＝19或n＝17.
当n＝19时，T5＝ （ ）19－4（ ）4＝3 876 ；
当n＝17时，T5＝ （ ）17－4（ ）4＝2 380 .
综上，当n＝18时，第5项为3 060x4；当n＝19时，第5项为3
876 ；当n＝17时，第5项为2 380 .
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11. （多选）已知（ax2＋ ）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的
二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法
正确的是（ ）
A. 展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B. 展开式中第6项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含x15项的系数为45
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解析： 因为（ax2＋ ）n（a＞0）的展开式中第5项与第7
项的二项式系数相等，所以 ＝ ，解得n＝10.因为展开式的
各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a
＞0，所以a＝1.则原式为（x2＋ ）10，其展开式的第k＋1项为
Tk＋1＝ ×（x2）10－k×（ ）k＝ .展开式中奇数项
的二项式系数之和为 ×1 024＝512，故A错误；
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因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样，且展开式有11项，所
以展开式中第6项的系数最大，故B正确；令20－ k＝0，解得k＝8，
又0＜8＜10，所以展开式中存在常数项，故C正确；令20－ k＝15，
解得k＝2，又 ＝45，故D正确.
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12. （2024·盐城月考）设n为正整数，（a＋b）2n的展开式中二项式
系数的最大值为x，（a＋b）2n＋1的展开式中二项式系数的最大
值为y，若13x＝7y，则n＝ .
解析：由题意知x＝ ，y＝ ，因为13x＝7y，所以13
＝7 ，即13× ＝7× ，即13＝7× ，故
13×（n＋1）＝7×（2n＋1），解得n＝6.
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13. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左
至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
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解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等
于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以
∶ ＝2∶3，即 ＝ ，解得n＝34，所以在第34行中，
从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
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14. 设（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
（1）a1＋a2＋a3＋a4；
解： 由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得（0－3）4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝1－81＝－80.
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（2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2；
解： 在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4. ①
令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②
所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2
＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4）
＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625.
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（3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜.
解： 由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626，
由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624，
所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜
＝－a1＋a2－a3＋a4
＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0
＝313＋312－81＝544.
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15. （2024·淮安质检）已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展开式
中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1.
（1）求n和a的值；
解： 由题意得， ＋ ＋ ＝16，
即1＋n＋ ＝16.
解得n＝5或n＝－6（舍去），
所以n＝5.
因为所有项的系数之和为1，令x＝1，
所以（a－1）5＝1，解得a＝2.
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（2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存
在，请说明理由；
解： 不存在.理由如下：
因为（ax－ ）n＝（2x－ ）5，
所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－
k （k∈N*）.
令5－ ＝0，解得k＝ N*，所以展开式中不存在常数项.
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（3）求展开式中二项式系数最大的项.
解： 由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二
项式系数最大，
二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝
80x2，T4＝（－1）3· 25－3 ＝－40 .
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谢 谢 观 看！
