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培优课
二项式定理的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 求两个二项式乘积的特定项问题
【例1】 （1）（x2＋1）（2x－ ）6的展开式中常数项为（ A ）
A. －100 B. 100
C. －50 D. 50
解析： （2x－ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ ·（2x）6－k
（－x－1）k＝（－1）k·26－k x6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，
令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23 ＋22 ＝－160
＋60＝－100.
A
（2）（2022·新高考Ⅰ卷13题） （x＋y）8的展开式中x2y6的系
数为 （用数字作答）.
解析： （x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝ x8－ryr，r＝0，
1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝ x2y6，令r＝5，得T5＋1＝
x3y5，所以 （x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 －
＝－28.
－28
通性通法
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解再相乘，求和即得.
【跟踪训练】
已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则该二项
展开式中的常数项为 .
－640
解析：（x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝
2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍
去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2
的系数为－a 22＝－240，解得a＝4.令6－2k＝－1，得k＝ （舍
去）；令6－2k＝0，得k＝3.故（2x－4）（x＋ ）6的展开式中的
常数项为－4 ·23＝－640.
题型二 求三项展开式中的特定项问题
【例2】 （1）（2024·常州月考）（ ＋ ＋ ）5（x＞0）的展开
式中的常数项为 ；
解析： （ ＋ ＋ ）5（x＞0）可化为（ ＋ ）10，
因而Tr＋1＝ ·（ ）10－r·（ ）10－2r，令10－2r＝0，得r＝
5，故展开式中的常数项为 ·（ ）5＝ .
（2）（2024·南京月考）（x2－ ＋y）6的展开式中，x3y3的系数
是 .（用数字作答）
解析： （x2－ ＋y）6表示6个因式x2－ ＋y的乘积，在
这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩
下一个选－ ，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是 ×
（－2）＝20×3×（－2）＝－120.
－120
通性通法
求三项展开式中特定项（系数）的方法
【跟踪训练】
1. （2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为（ ）
A. 400 B. 120
C. 80 D. 0
解析： （2x2－x－1）5＝（x－1）5（2x＋1）5，（x－1）5的
展开式的通项为 x5－r（－1）r，r＝0，1，…，5，（2x＋1）5
的展开式的通项为 （2x）5－k，k＝0，1，…，5，故原式的通
项为（－1）r25－k x10－（k＋r），当10－（k＋r）＝2时，k＋r
＝8，此时k与r的取值有3种情况，分别为k＝3，r＝5；k＝4，r
＝4；k＝5，r＝3.故展开式中x2的系数为（－1）522 ＋（－
1）42 ＋（－1）3 ＝0.
2. 求（x－2y＋1）5的展开式中含x2y项的系数.
解：（x－2y＋1）5＝[1＋（x－2y）]5，
设该二项式的通项公式为Tr＋1＝ ·15－r·（x－2y）r＝ ·（x－
2y）r，
因为x2y的次数为3，
所以令r＝3，二项式（x－2y）3的通项公式为T'r'＋1＝ ·x3－
r'·（－2y）r'，
令r'＝1，所以x2y项的系数为 · ·（－2）＝－60.
题型三 有关整除或求余数问题
【例3】 （1）（2024·无锡月考）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能
被11整除，则实数a的值为 ；
解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋
119×（－1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119
＋…－ ×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以
3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8.
8
（2）（链接教科书第87页例5）用二项式定理证明1110－1能被
100整除.
证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1
＝（1010＋ ×109＋…＋ ×10＋1）－1
＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102
＝100（108＋ ×107＋ ×106＋…＋1）.
故1110－1能被100整除.
通性通法
整除性问题或求余数问题的处理方法
（1）构造一个与题目条件有关的二项式；
（2）用二项式定理解决问题，通常把被除数的底数写成除数（或与
除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理
展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.
【跟踪训练】
已知Sn＝2n＋ 2n－1＋ 2n－2＋…＋ 2＋1（n∈N*），求
证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除.
证明：因为Sn＝2n＋ 2n－1＋ 2n－2＋…＋ ·2＋1＝（2＋1）n
＝3n，
所以Sn－4n－1＝3n－4n－1，
又n为偶数，可设n＝2k（k∈N*），
则Sn－4n－1＝32k－8k－1＝（1＋8）k－8k－1
＝ ＋8 ＋82 ＋…＋8k－1 ＋8k －8k－1
＝82（ ＋8 ＋…＋8k－2 ）.（*）
当k＝1时，Sn－4n－1＝0，显然能被64整除；
当k≥2时，（*）式能被64整除.
所以，当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A. 30 B. 20
C. 15 D. 10
解析： 因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝ xk，所以x
（1＋x）6的展开式中含x3的项为 x3＝15x3，所以含x3项的系数
为15.
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2. （1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A. 12 B. 16
C. 20 D. 24
解析： 法一 （1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为
1× ＋2× ＝12.故选A.
法二 ∵ （1＋2x2）（1＋x）4＝（1＋2x2）（1＋4x＋6x2＋4x3＋
x4），∴ x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.
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3. （x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
解析： 法一 （x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为
T3＝ （x2＋x）3·y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为 x4·x＝
x5.所以x5y2的系数为 ＝30，故选C.
法二 （x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取
x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为 ＝30，故选C.
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4. 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（ ）
A. 一 B. 二
C. 三 D. 四
解析： 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810
＝（7＋1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1
（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一.
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5. （2024·徐州月考）在（2＋x）6（1＋y）m的展开式中，若x3y的
系数为800，则含xy4项的系数为（ ）
A. 30 B. 960
C. 300 D. 360
解析： 由题意可知 ×23× ＝800，即160m＝800，解得m
＝5，所以含xy4项的系数为 ×25× ＝6×32×5＝960.故选B.
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6. （多选）对于二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*），以下判
断正确的有（ ）
A. 存在n∈N*，使展开式中有常数项
B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D. 存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
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解析： （ ＋ ）n的展开式的通项为Tr＋1＝ ·3r· ，r
＝0，1，2，…，n，（ ＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝ ·x4k
－n，k＝0，1，2，…，n.
则二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为
·3r· · ·x4k－n，未知数x的次数为 ＋4k－n＝－ － ＋
4k，令－ － ＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其
中一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×3× ＝75，故展开
式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；
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令－ － ＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中
一组解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×30×x3× ×x－2＝6x，
故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误.
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7. （x＋2＋ ）3展开式中的常数项为 .
解析：因为（x＋2＋ ）3＝［ ］3＝ ，所以展开
式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即 ＝20.
20
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8. 设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4
＋…＋a2n＝ .
解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n ①.令x＝
－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n ②.①＋②得3n＋1＝2
（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝ .
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9. 若（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ .
解析：（x＋ ）10的展开式的通项为Tr＋1＝ x10－r·（ ）r＝
x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为 ；令10－2r
＝6，解得r＝2，所以x6的系数为 ，所以（x2－a）（x＋ ）10
的展开式中x6的系数为 －a ＝30，解得a＝2.
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10. 设 的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝ .
解析：由5＞ ＞ ＝4，得 的整数部分为4，则
＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即 x4＋4 x3＋16 x2
＋64 x＋256 ＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋
16x3＋96x2＋256x＝2.
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11. （1）试求1 99510除以8的余数；
解： 1 99510＝（8×249＋3）10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因
数，
∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同.
又∵310＝95＝（8＋1）5，其展开式中除末项为1外，其
余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1.
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（2）求1.9975的近似值（精确到0.001）.
解： 1.9975＝（2－0.003）5≈25－ ×0.003×24＋
×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761.
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12. 已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项
系数和为－1.
（1）求n和a的值；
解： 由条件可得
解得
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（2）求（2x－1）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项.
解： （2x－1）（ax2＋ ）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7.
∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ （－2x2）7－k
（x－1）k＝ （－2）7－kx14－3k.
∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168；
当14－3k＝0，即k＝ 时，舍去.
∴所求的常数项为168.
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13. 当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋ ）n＜3.
证明：（1＋ ）n＝ ＋ × ＋ （ ）2＋…＋ （ ）n＝
1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ ×
＝2＋ × ＋…＋ ×
＜2＋ ＋…＋ ＜2＋ ＋ ＋…＋
＝2＋ ＝3－（ ）n－1＜3.
显然（1＋ ）n＝1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ × ＞2.
所以2＜（1＋ ）n＜3.
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1.在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
A.30 B.20
C.15 D.10
2.（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A.12 B.16
C.20 D.24
3.（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A.10 B.20
C.30 D.60
4.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（ ）
A.一 B.二
C.三 D.四
5.（2024·徐州月考）在（2＋x）6（1＋y）m的展开式中，若x3y的系数为800，则含xy4项的系数为（ ）
A.30 B.960
C.300 D.360
6.（多选）对于二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有（ ）
A.存在n∈N*，使展开式中有常数项
B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项
7.（x＋2＋）3展开式中的常数项为 .
8.设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝ .
9.若（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ .
10.设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝ .
11.（1）试求1 99510除以8的余数；
（2）求1.9975的近似值（精确到0.001）.
12.已知（ax2＋）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1.
（1）求n和a的值；
（2）求（2x－1）（ax2＋）n的展开式中的常数项.
13.当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋）n＜3.
培优课 二项式定理的综合应用
1.C 因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝xk，所以x（1＋x）6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15.
2.A 法一 （1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为1×＋2×＝12.故选A.
法二 ∵ （1＋2x2）（1＋x）4＝（1＋2x2）（1＋4x＋6x2＋4x3＋x4），∴ x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.
3.C 法一 （x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝（x2＋x）3·y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为x4·x＝x5.所以x5y2的系数为＝30，故选C.
法二 （x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为＝30，故选C.
4.A 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝（7＋1）10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一.
5.B 由题意可知×23×＝800，即160m＝800，解得m＝5，所以含xy4项的系数为×25×＝6×32×5＝960.故选B.
6.AD （＋）n的展开式的通项为Tr＋1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n，（＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝·x4k－n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为·3r···x4k－n，未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误.
7.20 解析：因为（x＋2＋）3＝［］3＝，所以展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即＝20.
8. 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n ①.令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n ②.①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝.
9.2 解析：（x＋）10的展开式的通项为Tr＋1＝x10－r·（）r＝x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为，所以（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为－a＝30，解得a＝2.
10.2 解析：由5＞＞＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即x4＋4x3＋16x2＋64x＋256＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2.
11.解：（1）1 99510＝（8×249＋3）10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同.
又∵310＝95＝（8＋1）5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1.
（2）1.9975＝（2－0.003）5≈25－×0.003×24＋×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761.
12.解：（1）由条件可得
解得
（2）（2x－1）（ax2＋）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7.
∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝（－2x2）7－k（x－1）k＝（－2）7－kx14－3k.
∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x·（－2）2x－1＝168；
当14－3k＝0，即k＝时，舍去.
∴所求的常数项为168.
13.证明：（1＋）n＝＋×＋（）2＋…＋（）n＝1＋1＋×＋×＋…＋×
＝2＋×＋…＋×＜2＋＋…＋＜2＋＋＋…＋
＝2＋
＝3－（）n－1＜3.
显然（1＋）n＝1＋1＋×＋×＋…＋×＞2.
所以2＜（1＋）n＜3.
2 / 2 二项式定理的综合应用
题型一 求两个二项式乘积的特定项问题
【例1】 （1）（x2＋1）（2x－）6的展开式中常数项为（ ）
A.－100 B.100
C.－50 D.50
（2）（2022·新高考Ⅰ卷13题）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）.
通性通法
两个二项式乘积的展开式中特定项问题
（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；
（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；
（3）分别求解再相乘，求和即得.
【跟踪训练】
已知（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为 .
题型二 求三项展开式中的特定项问题
【例2】 （1）（2024·常州月考）（＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为 ；
（2）（2024·南京月考）（x2－＋y）6的展开式中，x3y3的系数是 .（用数字作答）
通性通法
求三项展开式中特定项（系数）的方法
【跟踪训练】
1.（2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为（ ）
A.400 B.120
C.80 D.0
2.求（x－2y＋1）5的展开式中含x2y项的系数.
题型三 有关整除或求余数问题
【例3】 （1）（2024·无锡月考）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为 ；
（2）（链接教科书第87页例5）用二项式定理证明1110－1能被100整除.
通性通法
整除性问题或求余数问题的处理方法
（1）构造一个与题目条件有关的二项式；
（2）用二项式定理解决问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.
【跟踪训练】
已知Sn＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋2＋1（n∈N*），求证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除.
培优课 二项式定理的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）－28
解析：（1）（2x－）6展开式的通项为Tk＋1＝·（2x）6－k（－x－1）k＝（－1）k·26－kx6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23＋22＝－160＋60＝－100.
（2）（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28.
跟踪训练
－640 解析：（x＋）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k（）k＝2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4.令6－2k＝－1，得k＝（舍去）；令6－2k＝0，得k＝3.故（2x－4）（x＋）6的展开式中的常数项为－4·23＝－640.
【例2】 （1） （2）－120
解析：（1）（＋＋）5（x＞0）可化为（＋）10，因而Tr＋1＝·（）10－r·（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为·（）5＝.
（2）（x2－＋y）6表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是×（－2）＝20×3×（－2）＝－120.
跟踪训练
1.D （2x2－x－1）5＝（x－1）5（2x＋1）5，（x－1）5的展开式的通项为x5－r（－1）r，r＝0，1，…，5，（2x＋1）5的展开式的通项为（2x）5－k，k＝0，1，…，5，故原式的通项为（－1）r25－kx10－（k＋r），当10－（k＋r）＝2时，k＋r＝8，此时k与r的取值有3种情况，分别为k＝3，r＝5；k＝4，r＝4；k＝5，r＝3.故展开式中x2的系数为（－1）522＋（－1）42＋（－1）3＝0.
2.解：（x－2y＋1）5＝[1＋（x－2y）]5，
设该二项式的通项公式为Tr＋1＝·15－r·（x－2y）r＝·（x－2y）r，
因为x2y的次数为3，所以令r＝3，
二项式（x－2y）3的通项公式为T'r'＋1＝·x3－r'·（－2y）r'，令r'＝1，所以x2y项的系数为··（－2）＝－60.
【例3】 （1）8 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8.
（2）证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1
＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1
＝1010＋×109＋×108＋…＋102
＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）.
故1110－1能被100整除.
跟踪训练
证明：因为Sn＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋·2＋1＝（2＋1）n＝3n，
所以Sn－4n－1＝3n－4n－1，
又n为偶数，可设n＝2k（k∈N*），
则Sn－4n－1＝32k－8k－1＝（1＋8）k－8k－1
＝＋8＋82＋…＋8k－1＋8k－8k－1
＝82（＋8＋…＋8k－2）.（*）
当k＝1时，Sn－4n－1＝0，显然能被64整除；
当k≥2时，（*）式能被64整除.
所以，当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除.
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