一、两个基本计数原理
分类计数原理和分步计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步与步之间的连贯性.
【例1】 （1）从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复）组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ）
A.7 B.9
C.10 D.13
（2）如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为 （用数字作答）.
A B
C D
反思感悟
应用两个基本计数原理计数的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么；
（2）思考如何完成这件事；
（3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类；
（4）选择计数原理进行计算.
【跟踪训练】
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则
（1）4位“回文数”有 个；
（2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个.
二、排列与组合
排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合常用的方法有：（1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序.
【例2】 （1）（2023·全国乙卷理7题）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A.30种 B.60种
C.120种 D.240种
（2）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有 个.（用数字作答）
反思感悟
解决排列、组合问题的注意点
（1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与“不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别；
（2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复杂时，用间接法处理，即正难则反.
【跟踪训练】
一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种.
三、二项式定理
对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题.
【例3】 已知（x＋）n展开式的二项式系数之和为256.
（1）求n；
（2）若展开式中常数项为，求m的值；
（3）若（x＋m）n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值.
反思感悟
二项式特定项的求解策略
（1）确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素；
（2）确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项；
（3）求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数；
（4）确定二项展开式中的系数最大项或最小项：利用二项式系数的性质.
【跟踪训练】
1.在（－1＋）（1＋）6的展开式中，的系数为（ ）
A.－60 B.60
C.－80 D.80
2.已知二项式（a－2x）7＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a7（x－1）7，其中a＞0，且此二项式的x3项的系数是－22 680.则实数a＝ ；（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ （结果可保留幂的形式）.
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）48 解析：（1）从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复）组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：①当三个数为1，1，4时，共有＝3种排法；②当三个数为1，2，3时，共有＝6种排法；③当三个数为2，2，2时，只有1种排法，由分类计数原理可得，共有3＋6＋1＝10种不同排法，即这样的三位数共有10个.
（2）由已知按区域分四步：第一步A区域有4种选择，第二步B区域有3种选择，第三步C区域有2种选择，第四步D区域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有4×3×2×2＝48（种）不同的涂色方法.
跟踪训练
（1）90 （2）9×10n 解析：（1）4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位“回文数”有9×10＝90（个）.
（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有10×10×10×…×10＝10n（种）选法，故2n＋1（n∈N*）位“回文数”有9×10n个.
【例2】 （1）C （2）60 解析：（1）法一 先从6种读物中选1种作为两人选择的相同读物，再从另外5种读物中选2种分别作为甲、乙两人选择的不同读物，则不同的选法种数为＝120.故选C.
法二 甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有＝6（种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有＝20（种）情况，由分步计数原理可得共有6×20＝120（种）选法，故选C.
（2）1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有个；②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有个.所以满足条件的三位数共有＋2＋＝60（个）.
跟踪训练
35 解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ 表示灯亮；○表示灯灭）
○ ○ ○ ○
再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有＝5种方法；若分成两组，有＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有＝10种方法，所以共有35种方法.
【例3】 解：（1）二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
（2）设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝x8－r（）r＝mrx8－2r，
故8－2r＝0，即r＝4，则m4＝，解得m＝±.
（3）易知m＞0，设第r＋1项系数最大.
则化简可得≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
跟踪训练
1.C ∵（1＋）6的展开式的通项为Tr＋1＝（）r＝2r··，∴原式的展开式中含的项为（－1）×24·＋×23·＝－，∴的系数为－80.故选C.
2.3 解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为a4（－2x）3＝－280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝3.∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7（x－1）7.令x＝2，则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x＝0，则a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可得：a0＋a2＋a4＋a6＝；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝.∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝×＝.
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章末复习与总结
一、两个基本计数原理
分类计数原理和分步计数原理是本章内容的学习基础，在进行计
数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中
既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步
与步之间的连贯性.
【例1】 （1）从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复）
组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ C ）
A. 7 B. 9
C. 10 D. 13
C
解析： 从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重
复）组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：①当
三个数为1，1，4时，共有 ＝3种排法；②当三个数为1，2，
3时，共有 ＝6种排法；③当三个数为2，2，2时，只有1种排
法，由分类计数原理可得，共有3＋6＋1＝10种不同排法，即这
样的三位数共有10个.
（2）如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，
相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不
同的涂色方法的种数为 （用数字作答）.
A B C D
解析： 由已知按区域分四步：第一步A区域有4种选择，
第二步B区域有3种选择，第三步C区域有2种选择，第四步D区
域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有4×3×2×2＝48
（种）不同的涂色方法.
48
反思感悟
应用两个基本计数原理计数的四个步骤
（1）明确完成的这件事是什么；
（2）思考如何完成这件事；
（3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后
分类；
（4）选择计数原理进行计算.
【跟踪训练】
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，
3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3
位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则
（1）4位“回文数”有 个；
解析： 4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位和个
位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种
选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位“回文
数”有9×10＝90（个）.
90
（2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有 个.
解析： 第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二
步，分别选左边第2，3，4，…，n，n＋1位数字，共有
10×10×10×…×10＝10n（种）选法，故2n＋1（n∈N*）位
“回文数”有9×10n个.
9×10n
二、排列与组合
排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着
举足轻重的作用，解决排列与组合常用的方法有：（1）合理分类，
准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；
（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分
除序，定序除序.
【例2】 （1）（2023·全国乙卷理7题）甲、乙两位同学从6种课外
读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法
共有（ C ）
A. 30种 B. 60种
C. 120种 D. 240种
C
解析： 法一 先从6种读物中选1种作为两人选择的相同读
物，再从另外5种读物中选2种分别作为甲、乙两人选择的不同
读物，则不同的选法种数为 ＝120.故选C.
法二 甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有 ＝6（种）情况，再
从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有 ＝20（种）
情况，由分步计数原理可得共有6×20＝120（种）选法，故选C.
（2）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数
字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1
和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数
共有 个.（用数字作答）
60
解析： 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有 个；②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2 个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有 个.所以满足条件的三位数共有 ＋2 ＋ ＝60（个）.
反思感悟
解决排列、组合问题的注意点
（1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特
殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与
“不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部
的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别；
（2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些
元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔
除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素
的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复
杂时，用间接法处理，即正难则反.
【跟踪训练】
一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路
灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两
个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有 种.
35
解析：先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，（ 表示灯亮；○表示
灯灭）
○ ○ ○ ○
再将剩下的三盏灯放进去，若三盏灯在一起，有 ＝5种方法；若
分成两组，有 ＝20种方法；若三盏灯均不在一起，有 ＝10
种方法，所以共有35种方法.
三、二项式定理
对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项求
特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二
项式定理来处理的问题.
【例3】 已知（x＋ ）n展开式的二项式系数之和为256.
（1）求n；
解： 二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
（2）若展开式中常数项为 ，求m的值；
解： 设常数项为第r＋1项，则
Tr＋1＝ x8－r（ ）r＝ mrx8－2r，
故8－2r＝0，即r＝4，则 m4＝ ，解得m＝± .
（3）若（x＋m）n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的
值.
解： 易知m＞0，设第r＋1项系数最大.
则化简可得 ≤r≤ .
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即
所以m只能等于2.
反思感悟
二项式特定项的求解策略
（1）确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，
从而可解得所要求的二项式中的有关元素；
（2）确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数
的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定
常数项；
（3）求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件
确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数；
（4）确定二项展开式中的系数最大项或最小项：利用二项式系数的
性质.
【跟踪训练】
1. 在（－1＋ ）（1＋ ）6的展开式中， 的系数为（ ）
A. －60 B. 60
C. －80 D. 80
解析： ∵（1＋ ）6的展开式的通项为Tr＋1＝ （ ）r＝
2r· · ，∴原式的展开式中含 的项为（－1）×24 · ＋
×23 · ＝－ ，∴ 的系数为－80.故选C.
3
解析：二项式（a－2x）7的展开式中含x3的项为 a4（－2x）3＝
－280a4x3，∴－280a4＝－22 680，则a4＝81，又a＞0，解得a＝
3.∴（a－2x）7＝[1－2（x－1）]7＝a0＋a1（x－1）＋…＋a7
（x－1）7.令x＝2，则a0＋a1＋…＋a7＝（1－2）7＝－1①，令x
＝0，则a0－a1＋a2－…－a7＝（1＋2）7＝37②，∴由①＋②可
得：a0＋a2＋a4＋a6＝ ；由①－②可得：a1＋a3＋a5＋a7＝
.∴（a0＋a2＋a4＋a6）（a1＋a3＋a5＋a7）＝ ×
＝ .
谢 谢 观 看！
