8.2.1 随机变量及其分布列
1.下列叙述中，随机变量X不是离散型随机变量的是（ ）
A.某座大桥一天经过的车辆数X
B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C.一天之内的温度X
D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
2.（2024·常州月考）下列表格可以作为ξ的概率分布的是（ ）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P － 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
3.设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝2）＝（ ）
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
4.（2024·徐州月考）已知离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“X＞3”表示的试验的结果有（ ）
A.第一颗为5点，第二颗为1点 B.第一颗大于4点，第二颗也大于4点
C.第一颗为6点，第二颗为1点 D.第一颗为6点，第二颗为2点
6.（多选）已知离散型随机变量X的概率分布为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A.m＋n＝0.7
B.若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5
C.若m＝0.9，则n＝－0.2
D.P（X＝1）＝2P（X＝6）
7.在某次考试中，需回答三个问题，每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则某名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是 .
8.已知离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P 1－2q q
则P（∈Z）＝ .
9.离散型随机变量X的概率分布如下，x，y∈N，且x，y≤10.
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.1x 0.05 0.10 0.01y 0.40
则x＝ ，y＝ ，P（＜X＜）＝ .
10.（2024·盐城月考）一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出的3个球中的最大编号数.
（1）求X的概率分布；
（2）求X的取值不小于4的概率.
11.（2024·扬州质检）随机变量X的概率分布的规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝）＝（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次从中摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分.共摸球3次，设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝，则摸球3次，随机变量ξ的取值可能为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
13.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇数量，则P（ξ≥2）＝ .
14.某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干千克A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示：
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
（1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的概率分布；
（2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单位：元），求X的概率分布.
15.（2024·镇江月考）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有1张一等奖，可获价值50元的奖品；有3张二等奖，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布.
8.2.1 随机变量及其分布列
1.C A、B、D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，是连续型随机变量.
2.C 在A中，各概率之和为＞1，故A错误；在B中，P（ξ＝2）＝－＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正确；在D中，＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋＞1，故D错误，故选C.
3.A 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝2）＝P（X＝4）＝0.3.
4.C 因为X服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝，所以a＝.
5.ACD 因为5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以选项A、C、D符合题意；对于B：第一颗大于4点，可以是5点，6点，第二颗也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0＜3，5－6＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合题意.故选A、C、D.
6.ABD 对于A中，由概率分布的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B中，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，所以B正确；对于C中，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；对于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，则P（X＝1）＝2P（X＝6），所以D正确.故选A、B、D.
7.－300，－100，100，300 解析：答对0个问题得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个问题得100分；问题全答对得300分.
8. 解析：由概率分布的性质得1－2q≥0，q≥0，且＋1－2q＋q＝1，解得q＝，∴P（∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋1－2×＝.
9.2 5 0.25 解析：根据概率分布的性质知，0.20＋0.1x＋0.05＋0.10＋0.01y＋0.40＝1，即10x＋y＝25.由x，y∈N且x，y≤10可解得x＝2，y＝5，故P（＜X＜）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.25.
10.解：（1）随机变量X的可能取值为3，4，5，6，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，
所以随机变量X的概率分布为
X 3 4 5 6
P
（2）X的取值不小于4的概率P（X≥4）＝P（X＝4）＋P（X＝5）＋P（X＝6）＝＋＋＝.
11.D 由P（X＝n）＝＝（－），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝1，即（1－＋－＋－＋－）＝1，得a＝.∴P（X＝）＝P（X＝2）＝×（－）＝.
12.BCD 由题意知，摸到红球的概率是P1＝，摸到白球的概率是P2＝，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白球，所以（）3＝，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4，5，6，故选B、C、D.
13. 解析：记“笼中还剩下k只果蝇”为事件Ak（k＝0，1，2，3，…，6），当事件Ak发生时，共飞出（8－k）只蝇子，第8－k只飞出的是苍蝇，且在前7－k只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以P（Ak）＝＝，故P（ξ≥2）＝1－P（ξ＝0）－P（ξ＝1）＝1－P（A0）－P（A1）＝1－－＝.
14.解：（1）n的概率分布为：
n 140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
（2）若A水果日需求量为140千克，则X＝140×（15－10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P（X＝680）＝＝0.1.
若A水果日需求量不小于150千克，则X＝150×（15－10）＝750（元），所以P（X＝750）＝1－0.1＝0.9.
则X的所有可能取值为680，750，
故X的概率分布为：
X 680 750
P 0.1 0.9
15.解：（1）记顾客中奖为事件A，则P（A）＝＝＝，即该顾客中奖的概率为.
（2）X所有可能的取值为0，10，20，50，60，
且P（X＝0）＝＝，
P（X＝10）＝＝，
P（X＝20）＝＝，
P（X＝50）＝＝，
P（X＝60）＝＝，
故X的概率分布为：
X 0 10 20 50 60
P
2 / 38.2.1 随机变量及其分布列
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念 数学抽象
2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列 数学抽象、数学运算
在射击运动中，运动员射击一次，可能出现不中靶，命中1环，…，命中10环的结果，若用变量X表示他一次射击所命中的环数.
【问题】 变量X的取值情况如何，能否一一列举出来？
知识点一 随机变量
1.随机变量
（1）定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有 的实数X（ω）与之对应，则称X为随机变量；
（2）表示：通常用大写英文字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示随机变量，而用小写英文字母x，y，z（加上适当下标）等表示随机变量的取值.
提醒 随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：①取值依赖于样本点；②所有可能取值是明确的.
2.离散型随机变量与连续型随机变量
（1）离散型随机变量：取值为 的数值的随机变量；
（2）连续型随机变量：取值为 的实数区间.
提醒 离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③试验结果能一一列出.
【想一想】
所有离散型随机变量的取值都是有限个吗？
知识点二 离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列
（1）定义：一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n， ①
称①为随机变量X的 ，简称为X的 ；
（2）概率分布表：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
通常将上表称为随机变量X的 .随机变量X的概率分布列和概率分布表都叫作随机变量X的概率分布.
（3）性质：①pi≥ ，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
2.0－1分布（两点分布）
X 0 1
P 1－p p
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为 分布或 ，此处“～”表示“ ”.
提醒 （1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和；（2）如果随机变量X的试验结果只有两种可能，且它们的概率之和为1，则是两点分布，否则不是两点分布.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.（ ）
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量.（ ）
（3）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量.（ ）
（4）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.（ ）
2.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地每次任意取出一个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A.1，2，…，6 B.1，2，…，7
C.1，2，…，11 D.1，2，3，…
3.若离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1
P 3m 2m
则m＝（ ）
A. B.
C. D.
4.若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2，令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝ .
题型一 随机变量的概念及分类
【例1】 （链接教科书第111页例1）下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么哪些是离散型随机变量，哪些是连续型随机变量，并写出可能的取值有哪些？
（1）体积为8 cm3的正方体的棱长；
（2）某机场一年中每天运送乘客的数量；
（3）某单位办公室一天中接到电话的次数；
（4）一瓶果汁的容量为500±2 mL.
通性通法
1.判断一个试验是否是随机试验，可根据这个试验是否满足随机试验的三个条件，即
（1）试验在相同条件下是否可重复进行；
（2）试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；
（3）每次试验的结果恰好是一个，而且在每一次试验前无法预知出现哪个结果.
2.判断是否为离散型随机变量的关键是离散型随机变量X的可能取值为有限个或可以一一列出.
3.用随机变量表示随机试验结果的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
【跟踪训练】
1.（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A.从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数
C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
2.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
（2）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.
题型二 离散型随机变量的概率分布
【例2】 （链接教科书第113页例2）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
（1）求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
（2）用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的概率分布.
通性通法
求离散型随机变量的概率分布的关键
（1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）计算出每一个取值所对应的概率；
（3）用所有概率之和是否为1来检验.
【跟踪训练】
某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品.合格零件以1 500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收.零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的概率分布.
题型三 0－1分布（两点分布）
【例3】 （链接教科书第113页例3）袋内有10个白球，5个红球，从中随机摸出2个球，记X＝求X的概率分布.
通性通法
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1.
（2）验概率：检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
【跟踪训练】
已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布.
题型四 离散型随机变量概率分布的性质
【例4】 （链接教科书第114页例4）设随机变量X的概率分布为P（X＝i）＝（i＝1，2，3，4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
（2）P（＜X＜）.
通性通法
概率分布的性质及其应用
（1）利用概率分布表中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布表，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
【跟踪训练】
1.设随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P 1－3q q2
则q＝ .
2.（2024·连云港月考）设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的概率分布；
（2）｜X－1｜的概率分布.
1.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是（ ）
A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标 D.第4次击中目标
2.（多选）下列是随机变量的是（ ）
A.股票交易所下一个交易日的收盘指数 B.在标准大气压下，冰水混合物的温度
C.抛两枚骰子，出现的点数和 D.某个人的属相随年龄的变化
3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P（X＝1）＝（ ）
A.0 B.
C. D.
4.（2024·无锡月考）一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P（≤X≤）＝ .
8.2.1 随机变量及其分布列
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）唯一 2.（1）离散 （2）连续
想一想
提示：不一定.
知识点二
1.（1）概率分布列 分布列 （2）概率分布表 （3）①0 ②1
2.X～0－1 x～两点分布 服从
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）× （4）×
2.B 可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.
3.A 由离散型随机变量概率分布的性质可知，2m＋3m＝1，所以m＝.
4.0.8 解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝P（X＝0）＝0.8.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）正方体的棱长为定值，不是随机变量.
（2）某机场一年中每天运送乘客的数量是随机变化的，因此是随机变量，且是离散型随机变量，可能的取值为0，1，2，3，….
（3）某单位办公室一天中接到电话的次数是随机变化的，因此是随机变量，且是离散型随机变量，可能的取值为0，1，2，3，….
（4）由于果汁的容量具有一定的随机性，因此是随机变量，且是连续型随机变量，可能的取值为[498，502]内的某个数.
跟踪训练
1.AB A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，从10个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
2.解：（1）设所需的取球次数为X，
则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前（i－1）次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11.
（2）设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5，6，7.
{X＝3}表示“取出标有1，2的两张卡片”；
{X＝4}表示“取出标有1，3的两张卡片”；
{X＝5}表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
{X＝6}表示“取出标有2，4的两张卡片”；
{X＝7}表示“取出标有3，4的两张卡片”.
【例2】 解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有＝10（种）情况.
（1）设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P（A）＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
（2）用X表示摸出的2个球中的白球个数，则X的所有可能取值为0，1，2.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
故X的概率分布如表所示.
X 0 1 2
P
跟踪训练
解：若一件零件生产成型即合格，则X＝1 500－800＝700，
若一件零件经过技术处理后合格，则X＝1 500－800－100＝600，
若一件零件成为废品，则X＝－800－100＋100＝－800.
所以X可取700，600，－800，
则P（X＝700）＝0.6，
P（X＝600）＝（1－0.6）×0.5＝0.2，
P（X＝－800）＝（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2.
所以随机变量X的概率分布如表所示.
X 700 600 －800
P 0.6 0.2 0.2
【例3】 解：由题设可知X服从两点分布，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝.
∴X的概率分布为
X 0 1
P
跟踪训练
解：由题意知，X服从两点分布，
P（X＝0）＝＝，
所以P（X＝1）＝1－＝.
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1
P
【例4】 解：（1）∵＋＋＋＝1，
∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝.
（2）由a＝10，
得P（＜X＜）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝.
跟踪训练
1. 解析：由＋1－3q＋q2＝1，解得q＝或q＝.由得0≤q≤，所以q＝.
2.解：由概率分布的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
从而由上表得：
（1）2X＋1的概率分布为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）｜X－1｜的概率分布为
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
随堂检测
1.C 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数X＝5，说明前4次均未击中目标.
2.AC 在标准大气压下，冰水混合物的温度是0 ℃，是一个确定的值，不是随机变量；一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，也不是随机变量；而选项A、C中的“收盘指数”与“点数和”都是随机变量，故选A、C.
3.D 设失败率为p，则成功率为2p，概率分布如下，
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝，所以P（X＝1）＝2p＝.
4. 解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个，∴X的概率分布如下，
X 1 2 3
P
∴P（≤X≤）＝P（X＝1）＝.
4 / 5(共72张PPT)
8.2.1
随机变量及其分布列
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解随机变量、离散
型随机变量的概念 数学抽象
2.理解离散型随机变量的分布列，会求
某些简单的离散型随机变量的分布列 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在射击运动中，运动员射击一次，可能出现不中靶，命中1
环，…，命中10环的结果，若用变量X表示他一次射击所命中的环
数.
【问题】变量X的取值情况如何，能否一一列举出来？
知识点一 随机变量
1. 随机变量
（1）定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，
都有 的实数X（ω）与之对应，则称X为随机变量；
唯一
（2）表示：通常用大写英文字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，
η，ζ）等表示随机变量，而用小写英文字母x，y，z（加上
适当下标）等表示随机变量的取值.
提醒 随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对
应，随机变量有如下特征：①取值依赖于样本点；②所有可
能取值是明确的.
2. 离散型随机变量与连续型随机变量
（1）离散型随机变量：取值为 的数值的随机变量；
（2）连续型随机变量：取值为 的实数区间.
提醒 离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验
之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③
试验结果能一一列出.
离散
连续
【想一想】
所有离散型随机变量的取值都是有限个吗？
提示：不一定.
知识点二 离散型随机变量的分布列
1. 离散型随机变量的分布列
（1）定义：一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是
x1，x2，…，xn，且P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n，
①
称①为随机变量X的 ，简称为X的
；
概率分布列
分布
列
（2）概率分布表：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
通常将上表称为随机变量X的 .随机变量X的
概率分布列和概率分布表都叫作随机变量X的概率分布.
（3）性质：①pi≥ ，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
概率分布表
0
1
2.0－1分布（两点分布）
X 0 1
P 1－p p
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或
两点分布，并记为 分布或 ，此处
“～”表示“ ”.
X～0－1
x～两点分布
服从
提醒 （1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这
个范围内各个值的概率的和；（2）如果随机变量X的试验结果只
有两种可能，且它们的概率之和为1，则是两点分布，否则不是两
点分布.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.
（ √ ）
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为
随机变量. （ √ ）
（3）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量. （ × ）
（4）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可
以为任意的实数. （ × ）
√
√
×
×
2. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地每次任意取
出一个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变
量X，则X的可能取值为（ ）
A. 1，2，…，6 B. 1，2，…，7
C. 1，2，…，11 D. 1，2，3，…
解析： 可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，
才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.
3. 若离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1
P 3m 2m
则m＝（ ）
解析： 由离散型随机变量概率分布的性质可知，2m＋3m＝
1，所以m＝ .
4. 若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝
0.2，令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝ .
解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝
P（X＝0）＝0.8.
0.8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 随机变量的概念及分类
【例1】 （链接教科书第111页例1）下列变量中哪些是随机变量？
如果是随机变量，那么哪些是离散型随机变量，哪些是连续型随机变
量，并写出可能的取值有哪些？
（1）体积为8 cm3的正方体的棱长；
解： 正方体的棱长为定值，不是随机变量.
（2）某机场一年中每天运送乘客的数量；
解： 某机场一年中每天运送乘客的数量是随机变化的，因
此是随机变量，且是离散型随机变量，可能的取值为0，1，2，
3，….
（3）某单位办公室一天中接到电话的次数；
解： 某单位办公室一天中接到电话的次数是随机变化的，
因此是随机变量，且是离散型随机变量，可能的取值为0，1，
2，3，….
（4）一瓶果汁的容量为500±2 mL.
解： 由于果汁的容量具有一定的随机性，因此是随机
变量，且是连续型随机变量，可能的取值为[498，502]内的
某个数.
通性通法
1. 判断一个试验是否是随机试验，可根据这个试验是否满足随机试验
的三个条件，即
（1）试验在相同条件下是否可重复进行；
（2）试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止
一个；
（3）每次试验的结果恰好是一个，而且在每一次试验前无法预知
出现哪个结果.
2. 判断是否为离散型随机变量的关键是离散型随机变量X的可能取值
为有限个或可以一一列出.
3. 用随机变量表示随机试验结果的关键是明确随机变量的所有可能取
值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个
或多个随机试验的结果.
【跟踪训练】
1. （多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A. 从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数
B. 一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的个数
C. 某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D. 某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析： A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的
卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，从10
个产品中取3个产品，所得的结果有以下几种：3个正品，2个正品
和1个次品，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定
义；C项，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内
的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量
值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
2. 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的
结果.
（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个
球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球
次数；
解： 设所需的取球次数为X，
则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前（i－1）次取
到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，
11.
（2）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片
上的数字之和.
解： 设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5，6，7.
{X＝3}表示“取出标有1，2的两张卡片”；
{X＝4}表示“取出标有1，3的两张卡片”；
{X＝5}表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
{X＝6}表示“取出标有2，4的两张卡片”；
{X＝7}表示“取出标有3，4的两张卡片”.
题型二 离散型随机变量的概率分布
【例2】 （链接教科书第113页例2）一个箱子里装有5个大小相同的
球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.
（1）求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
（1）设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，
P（A）＝ ＝ ，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为 .
解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，
从中摸出2个球，有 ＝10（种）情况.
（2）用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的概率分布.
解：用X表示摸出的2个球中的白球个数，则X的所有可能取值
为0，1，2.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ .
故X的概率分布如表所示.
X 0 1 2
P
通性通法
求离散型随机变量的概率分布的关键
（1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）计算出每一个取值所对应的概率；
（3）用所有概率之和是否为1来检验.
【跟踪训练】
某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零
件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处
理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不
合格零件成为废品.合格零件以1 500元/件的价格销售，废品以100元/
件的价格被回收.零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格
相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的概率分布.
解：若一件零件生产成型即合格，则X＝1 500－800＝700，
若一件零件经过技术处理后合格，则X＝1 500－800－100＝600，
若一件零件成为废品，则X＝－800－100＋100＝－800.
所以X可取700，600，－800，
则P（X＝700）＝0.6，
P（X＝600）＝（1－0.6）×0.5＝0.2，
P（X＝－800）＝（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2.
所以随机变量X的概率分布如表所示.
X 700 600 －800
P 0.6 0.2 0.2
题型三 0－1分布（两点分布）
【例3】 （链接教科书第113页例3）袋内有10个白球，5个红球，从
中随机摸出2个球，记X＝求X的概率分布.
解：由题设可知X服从两点分布，P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝ .∴X的概率分布为
X 0 1
P
通性通法
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1.
（2）验概率：检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.如果一个
分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
【跟踪训练】
已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取
2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X
的概率分布.
解：由题意知，X服从两点分布，P（X＝0）＝ ＝ ，
所以P（X＝1）＝1－ ＝ .所以随机变量X的概率分布为
X 0 1
P
题型四 离散型随机变量概率分布的性质
【例4】 （链接教科书第114页例4）设随机变量X的概率分布为P
（X＝i）＝ （i＝1，2，3，4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝
.
（2）P（ ＜X＜ ）.
解： 由a＝10，
得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）
＝ ＋ ＋ ＝ .
通性通法
概率分布的性质及其应用
（1）利用概率分布表中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检
验，以保证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布表，将所求
范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的
概率加法公式.
【跟踪训练】
1. 设随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P 1－3q q2
解析：由 ＋1－3q＋q2＝1，解得q＝ 或q＝ .由
得0≤q≤ ，所以q＝ .
2. （2024·连云港月考）设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的概率分布；
解：由概率分布的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
从而由上表得：
（1）2X＋1的概率分布为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）｜X－1｜的概率分布.
解： ｜X－1｜的概率分布为
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
1. 某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，
记射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是（ ）
A. 第5次击中目标 B. 第5次未击中目标
C. 前4次均未击中目标 D. 第4次击中目标
解析： 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数X＝5，说明
前4次均未击中目标.
2. （多选）下列是随机变量的是（ ）
A. 股票交易所下一个交易日的收盘指数
B. 在标准大气压下，冰水混合物的温度
C. 抛两枚骰子，出现的点数和
D. 某个人的属相随年龄的变化
解析： 在标准大气压下，冰水混合物的温度是0 ℃，是一个
确定的值，不是随机变量；一个人的属相在他出生时就确定了，不
随年龄的变化而变化，也不是随机变量；而选项A、C中的“收盘
指数”与“点数和”都是随机变量，故选A、C.
3. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成
功次数，则P（X＝1）＝（ ）
A. 0
解析： 设失败率为p，则成功率为2p，概率分布如下，
X 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，得p＝ ，所以P（X＝1）＝2p＝ .
4. （2024·无锡月考）一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二
级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个
检验，其级别为随机变量X，则P（ ≤X≤ ）＝ .
解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有 个，总数为
个，∴X的概率分布如下，
X 1 2 3
P
∴P（ ≤X≤ ）＝P（X＝1）＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列叙述中，随机变量X不是离散型随机变量的是（ ）
A. 某座大桥一天经过的车辆数X
B. 某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C. 一天之内的温度X
D. 一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0
分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
解析： A、B、D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中
的X可以取某一区间内的一切值，是连续型随机变量.
2. （2024·常州月考）下列表格可以作为ξ的概率分布的是（ ）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
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解析： 在A中，各概率之和为 ＞1，故A错误；在B中，P（ξ
＝2）＝－ ＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和
等于1，故C正确；在D中， ＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋ ＞1，故
D错误，故选C.
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3. 设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝2）＝（ ）
A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝
2）＝P（X＝4）＝0.3.
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4. （2024·徐州月考）已知离散型随机变量X服从两点分布，且P（X
＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，则a＝（ ）
解析： 因为X服从两点分布，所以P（X＝0）＋P（X＝1）＝
1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P（X＝0）＝3－
4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝ ，所以a＝ .
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5. （多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗
骰子掷出的点数的差为X，则“X＞3”表示的试验的结果有
（ ）
A. 第一颗为5点，第二颗为1点
B. 第一颗大于4点，第二颗也大于4点
C. 第一颗为6点，第二颗为1点
D. 第一颗为6点，第二颗为2点
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解析： 因为5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以
选项A、C、D符合题意；对于B：第一颗大于4点，可以是5点，6
点，第二颗也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0＜3，5－6
＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合题意.故选A、
C、D.
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6. （多选）已知离散型随机变量X的概率分布为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A. m＋n＝0.7
B. 若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5
C. 若m＝0.9，则n＝－0.2
D. P（X＝1）＝2P（X＝6）
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解析： 对于A中，由概率分布的性质，可得0.2＋m＋n＋
0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B中，若m＝0.3，
可得n＝0.4，则P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，
所以B正确；对于C中，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正
确；对于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，则P（X
＝1）＝2P（X＝6），所以D正确.故选A、B、D.
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7. 在某次考试中，需回答三个问题，每题回答正确得100分，回答不
正确得－100分，则某名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能
取值是 .
解析：答对0个问题得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个
问题得100分；问题全答对得300分.
－300，－100，100，300
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8. 已知离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P 1－2q
则P（ ∈Z）＝ .
解析：由概率分布的性质得1－2q≥0， q≥0，且 ＋1－2q＋ q
＝1，解得q＝ ，∴P（ ∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝
＋1－2× ＝ .
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9. 离散型随机变量X的概率分布如下，x，y∈N，且x，y≤10.
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.1x 0.05 0.10 0.01y 0.40
则x＝ ，y＝ ，P（ ＜X＜ ）＝ .
解析：根据概率分布的性质知，0.20＋0.1x＋0.05＋0.10＋0.01y
＋0.40＝1，即10x＋y＝25.由x，y∈N且x，y≤10可解得x＝
2，y＝5，故P（ ＜X＜ ）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝
0.25.
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10. （2024·盐城月考）一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为
1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出的3个
球中的最大编号数.
（1）求X的概率分布；
解： 随机变量X的可能取值为3，4，5，6，
P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，
P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝6）＝ ＝ ，
所以随机变量X的概率分布为
X 3 4 5 6
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（2）求X的取值不小于4的概率.
解： X的取值不小于4的概率P（X≥4）＝P（X＝
4）＋P（X＝5）＋P（X＝6）＝ ＋ ＋ ＝ .
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11. （2024·扬州质检）随机变量X的概率分布的规律为P（X＝n）
＝ （n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X
＝ ）＝（ ）
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解析： 由P（X＝n）＝ ＝ （ －
），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝
4）＝1，即 （1－ ＋ － ＋ － ＋ － ）＝1，得a＝ .∴P
（X＝ ）＝P（X＝2）＝ ×（ － ）＝ .
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12. （多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次
从中摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分.
共摸球3次，设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝ ，则摸
球3次，随机变量ξ的取值可能为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 由题意知，摸到红球的概率是P1＝ ，摸到白球
的概率是P2＝ ，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白
球，所以（ ）3＝ ，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4，
5，6，故选B、C、D.
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解析：记“笼中还剩下k只果蝇”为事件Ak（k＝0，1，2，
3，…，6），当事件Ak发生时，共飞出（8－k）只蝇子，第8－k
只飞出的是苍蝇，且在前7－k只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所
以P（Ak）＝ ＝ ，故P（ξ≥2）＝1－P（ξ＝0）－P（ξ
＝1）＝1－P（A0）－P（A1）＝1－ － ＝ .
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14. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干
千克A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩
余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数
量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千
克），整理如表所示：
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
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（1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的概率分布；
解： n的概率分布为：
n 140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
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（2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得
的利润为X（单位：元），求X的概率分布.
解： 若A水果日需求量为140千克，则X＝140×（15
－10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P
（X＝680）＝ ＝0.1.
若A水果日需求量不小于150千克，则X＝150×（15－10）
＝750（元），所以P（X＝750）＝1－0.1＝0.9.
则X的所有可能取值为680，750，
故X的概率分布为：
X 680 750
P 0.1 0.9
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15. （2024·镇江月考）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有
1张一等奖，可获价值50元的奖品；有3张二等奖，每张可获价值
10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.求：
（1）该顾客中奖的概率；
解： 记顾客中奖为事件A，则P（A）＝ ＝
＝ ，即该顾客中奖的概率为 .
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（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布.
解： X所有可能的取值为0，10，20，50，60，
且P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝10）＝ ＝ ，
P（X＝20）＝ ＝ ，
P（X＝50）＝ ＝ ，
P（X＝60）＝ ＝ ，
故X的概率分布为：
X 0 10 20 50 60
P
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