第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
1.下列说法中正确的是（ ）
A.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C.离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
2.已知随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3ξ＋5）＝（ ）
A.6 B.9
C.3 D.4
3.（2024·苏州月考）以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为
X1（甲得分） 0 1 2
P（X1＝xi） 0.2 0.5 0.3
X2（乙得分） 0 1 2
P（X2＝xi） 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好（ ）
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
4.在郑州举行的第七届全球跨境电子商务大会期间，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60.如果按人民币计（汇率按1美元等于7元人民币），则平均数和方差分别为（ ）
A.30，60 B.30，420
C.210，420 D.210，2 940
5.（2024·南通月考）设随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），则E（ξ），D（ξ）的值分别是（ ）
A.0和1 B.p和p2
C.p和1－p D.p和p（1－p）
6.（多选）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的均值为2
D.取球次数ξ的方差为
7.设X，Y为随机变量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，则D（Y）＝ .
8.（2024·镇江月考）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝ .
9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N*）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的概率分布如下表所示，则D（X）＝ .
X 0 1 2
P a b
10.已知η的概率分布为
η 0 10 20 50 60
P
（1）求η的方差及标准差；
（2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）.
11.（2024·盐城质检）已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则（ ）
A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
12.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P（X＝0）＝，则随机变量X的方差为 .
13.（2024·宿迁质检）某投资公司在2024年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
14.某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D（X）＝ .
15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的概率分布为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（2）求η的概率分布、期望和方差.
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
1.C E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取值的离散程度.
2.A 由题可得，E（ξ）＝×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）＝[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，D（3ξ＋5）＝32×D（ξ）＝6，故选A.
3.A E（X1）＝E（X2）＝1.1，D（X1）＝（0－1.1）2×0.2＋（1－1.1）2×0.5＋（2－1.1）2×0.3＝0.49，D（X2）＝（0－1.1）2×0.3＋（1－1.1）2×0.3＋（2－1.1）2×0.4＝0.69，∴D（X1）＜D（X2），即甲比乙得分稳定，选甲参加较好.
4.D 由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的7倍，故按人民币计，则平均数和方差分别为7×30＝210，72×60＝2 940.故选D.
5.D 由题可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0－p）2×（1－p）＝p（1－p），故选D.
6.BD 设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝×＝，P（ξ＝3）＝×＝.对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P（ξ＝2）＝，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝＋＝，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的均值为E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D（ξ）＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，D选项正确.
7.8 解析：由题意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝2，故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8.
8. 解析：设P（ξ＝1）＝p，则P（ξ＝2）＝－p，从而由E（ξ）＝0×＋1×p＋2×（－p）＝1，得p＝.故D（ξ）＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＝.
9. 解析：由概率分布的性质可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，进而可得E（X）＝＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝.
10.解：（1）∵E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384.
∴η的标准差σ＝＝8.
（2）∵Y＝2η－E（η），
∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝1 536.
11.A 因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E（ξ2）.又因为D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）·（1－p1－p2）＜0，所以D（ξ1）＜D（ξ2），故选A.
12. 解析：由题意得P（X＝0）＝（1－p）（1－p）＝，解得p＝，所以P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故E（X）＝，所以D（X）＝02×＋12×＋22×＋32×－（）2＝.
13.解：若按“项目一”投资，设获利X1万元，
则X1的概率分布为
X1 300 －150
P
∴E（X1）＝300×＋（－150）×＝200（万元）.
D（X1）＝（300－200）2×＋（－150－200）2×＝35 000，
若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为
X2 500 －300 0
P
∴E（X2）＝500×＋（－300）×＋0×＝200（万元）.
D（X2）＝（500－200）2×＋（－300－200）2×＋（0－200）2×＝140 000，
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），
这说明虽然项目一、项目二获利均值相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
14. 解析：由题意知X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝×＋×＋×＋×＝.
15.解：（1）∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
∴P（）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P（）＝1－0.512＝0.488.
（2）根据顾客采用的付款期数ξ的概率分布对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2，
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6，
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2，
故η的概率分布为
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
2 / 2第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 数学抽象
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 数学建模、数学运算
3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差 数学运算
学校举行踢毽子大赛，某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X，Y的概率分布分别为
X 90 100 110
P 0.1 0.8 0.1
Y 95 100 105
P 0.3 0.4 0.3
【问题】 （1）如何评价这两名同学的技术水平？
（2）你认为应选择哪名同学去参加比赛？
知识点 离散型随机变量的方差与标准差
1.方差：一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，则（xi－μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值μ的偏离程度，故（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）2pn（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D（X）或σ2，有时也记为Var（X）.即D（X）＝σ2＝ .
方差也可用公式D（X）＝pi－μ2计算.
2.标准差：随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D（X）的 称为X的标准差，即σ＝.
提醒 （1）方差与标准差都刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度.一般来说D（X）越小，X的取值越稳定；（2）方差的性质：①D（X＋b）＝D（X）；②D（aX）＝a2D（X）；③D（aX＋b）＝a2D（X）；④D（X）＝E（X2）－（E（X））2.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.（ ）
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.（ ）
（3）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D（X）＝0.25.（ ）
2.已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D（X）＝（ ）
A.0.7 B.0.61 C.－0.3 D.0
3.已知随机变量X，D（X）＝，则X的标准差σ＝ .
题型一 离散型随机变量的方差、标准差
【例1】 （链接教科书第121页例3）袋中有除颜色外其他都相同的6个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的方差、标准差.
通性通法
求离散型随机变量X的方差、标准差的步骤
（1）理解X的意义，写出X的可能取值；
（2）写出X的概率分布；
（3）由均值的定义求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）；
（5）代入公式σ＝求出随机变量的标准差.
【跟踪训练】
甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的概率分布、期望和方差.
题型二 离散型随机变量方差的性质
【例2】 已知随机变量X的概率分布为：
X 0 1 x
P p
且E（X）＝.
（1）求D（X）的值；
（2）若Y＝3X－2，求的值.
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的概率分布，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解.
【跟踪训练】
（2024·徐州月考）已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P
（1）求X的方差；
（2）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
题型三 方差的简单应用
【例3】 （链接教科书第122页例4）有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）.
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论.
【跟踪训练】
（2024·南京月考）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的概率分布为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计（ ）
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，则随机变量X的方差D（X）＝（ ）
X 0 1
P m 2m
A. B. C. D.
3.（2024·常州月考）已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为 .
4.编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E（ξ）和D（ξ）.
第2课时 离散型随机变量的方差与标准差
【基础知识·重落实】
知识点
1.（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）2pn 2.算术平方根
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.B E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61.
3. 解析：X的标准差σ＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3，
则P（X＝5）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
故X的概率分布为
X 5 4 3
P
∴E（X）＝5×＋4×＋3×＝4.
∴D（X）＝（5－4）2×＋（4－4）2×＋（3－4）2×＝.∴σ＝＝＝.
跟踪训练
解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2.
则P（ξ＝0）＝×＝，
P（ξ＝1）＝×＋×＝，
P（ξ＝2）＝×＝.
故ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P
故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝，
D（ξ）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝.
【例2】 解：由概率分布的性质，得＋＋p＝1，解得p＝.
∵E（X）＝0×＋1×＋x＝，
∴x＝2.
（1）D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝＝.
（2）∵Y＝3X－2，
∴D（Y）＝D（3X－2）＝9D（X）＝5，
∴＝.
跟踪训练
解：（1）E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－.
故D（X）＝（－1＋）2×＋（0＋）2×＋（1＋）2×＝.
（2）由（1）知E（X）＝－，D（X）＝，
所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－）＋3＝2，
D（Y）＝16D（X）＝11.
【例3】 解：E（ξA）＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E（ξB）＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D（ξA）＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50.
D（ξB）＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165.
由此可见E（ξA）＝E（ξB），D（ξA）＜D（ξB），
故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好.
跟踪训练
解：（1）由离散型随机变量概率分布的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
（2）E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）2×0.6＝0.81，
D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3＝0.6.
由于E（ξ）＞E（η），说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D（ξ）＞D（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.
随堂检测
1.B ∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
2.B 由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E（X）＝0×＋1×＝，所以D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＝.
3. 解析：由题意可知D（10X）＝，即100D（X）＝，∴D（X）＝，∴＝，即X的标准差为.
4.解：ξ的所有可能取值为0，1，3，
则P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝.
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 3
P
E（ξ）＝0×＋1×＋3×＝1，
D（ξ）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（3－1）2＝1.
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第2课时
离散型随机变量的方差与标准差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差
及标准差的概念 数学抽象
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解
决一些实际问题 数学建模、数学运算
3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公
式求方差 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
学校举行踢毽子大赛，某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学
参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X，Y的概率分
布分别为
X 90 100 110
P 0.1 0.8 0.1
Y 95 100 105
P 0.3 0.4 0.3
【问题】 （1）如何评价这两名同学的技术水平？
（2）你认为应选择哪名同学去参加比赛？
知识点 离散型随机变量的方差与标准差
1. 方差：一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，则（xi－
μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值
μ的偏离程度，故（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－
μ）2pn（其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻
画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型
随机变量X的方差，记为D（X）或σ2，有时也记为Var（X）.即
D（X）＝σ2＝
.
方差也可用公式D（X）＝ pi－μ2计算.
（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）
2pn
2. 标准差：随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差
D（X）的 称为X的标准差，即σ＝ .
提醒 （1）方差与标准差都刻画了随机变量X与其均值μ的平均
偏离程度.一般来说D（X）越小，X的取值越稳定；（2）方差的
性质：①D（X＋b）＝D（X）；②D（aX）＝a2D（X）；③
D（aX＋b）＝a2D（X）；④D（X）＝E（X2）－（E
（X））2.
算术平方根
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （ × ）
（2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程
度. （ √ ）
（3）若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则D
（X）＝0.25. （ √ ）
×
√
√
2. 已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D（X）＝（ ）
A. 0.7 B. 0.61
解析： E（X）＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D
（X）＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）
2×0.2＝0.61.
C. －0.3 D. 0
3. 已知随机变量X，D（X）＝ ，则X的标准差σ＝ .
解析：X的标准差σ＝ ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 离散型随机变量的方差、标准差
【例1】 （链接教科书第121页例3）袋中有除颜色外其他都相同的6
个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1
分.从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变
量X的方差、标准差.
解：由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3，
则P（X＝5）＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ .
故X的概率分布为
X 5 4 3
P
∴E（X）＝5× ＋4× ＋3× ＝4.
∴D（X）＝（5－4）2× ＋（4－4）2× ＋（3－4）2× ＝ .∴σ
＝ ＝ ＝ .
通性通法
求离散型随机变量X的方差、标准差的步骤
（1）理解X的意义，写出X的可能取值；
（2）写出X的概率分布；
（3）由均值的定义求出E（X）；
（4）利用公式D（X）＝ （xi－E（X））2pi求出D（X）；
（5）代入公式σ＝ 求出随机变量的标准差.
【跟踪训练】
甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则
由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别
为 ， .在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的概率分布、期望和
方差.
解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2.
则P（ξ＝0）＝ × ＝ ，
P（ξ＝1）＝ × ＋ × ＝ ，
P（ξ＝2）＝ × ＝ .
故ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P
故E（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D（ξ）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＝ .
题型二 离散型随机变量方差的性质
【例2】 已知随机变量X的概率分布为：
X 0 1 x
P p
且E（X）＝ .
（1）求D（X）的值；
（1）D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2×
＝ ＝ .
解：由概率分布的性质，得 ＋ ＋p＝1，解得p＝ .
∵E（X）＝0× ＋1× ＋ x＝ ，
∴x＝2.
（2）若Y＝3X－2，求 的值.
解： ∵Y＝3X－2，
∴D（Y）＝D（3X－2）＝9D（X）＝5，
∴ ＝ .
通性通法
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的概率分布，
再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝
a2D（X）求解.
【跟踪训练】
（2024·徐州月考）已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P
（1）求X的方差；
解： E（X）＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ .
故D（X）＝（－1＋ ）2× ＋（0＋ ）2× ＋（1＋ ）2×
＝ .
（2）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
解： 由（1）知E（X）＝－ ，D（X）＝ ，
所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（－ ）＋3＝2，
D（Y）＝16D（X）＝11.
题型三 方差的简单应用
【例3】 （链接教科书第122页例4）有甲、乙两种建筑材料，从中
各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗
拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个
的稳定性较好）.
解：E（ξA）＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋
135×0.2＝125.
E（ξB）＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝
125.
D（ξA）＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125
－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50.
D（ξB）＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125
－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165.
由此可见E（ξA）＝E（ξB），D（ξA）＜D（ξB），
故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料
甲，即甲的稳定性较好.
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值
的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁
的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取
值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发
挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论.
【跟踪训练】
（2024·南京月考）为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季
奥林匹克运动会），中国射击队女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两
名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量ξ与
η，且ξ，η的概率分布为：
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
解： 由离散型随机变量概率分布的性质可知a＋0.1＋0.6
＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.
解： E（ξ）＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E（η）＝
1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D（ξ）＝（1－2.3）2×0.3＋（2－2.3）2×0.1＋（3－2.3）
2×0.6＝0.81，
D（η）＝（1－2）2×0.3＋（2－2）2×0.4＋（3－2）2×0.3
＝0.6.
由于E（ξ）＞E（η），说明在一次射击中，甲的平均得分比乙
高，但D（ξ）＞D（η），说明甲得分的稳定性不如乙，因此
甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.
1. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本
均值相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以
估计（ ）
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析： ∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖
整齐.
2. 已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，则随机变量X的方
差D（X）＝（ ）
X 0 1
P m 2m
解析：由题意可知m＋2m＝1，所以m＝ ，所以E（X）＝0× ＋1× ＝ ，所以D（X）＝ × ＋ × ＝ .
3. （2024·常州月考）已知随机变量X，且D（10X）＝ ，则X的
标准差为 .
解析：由题意可知D（10X）＝ ，即100D（X）＝ ，∴D
（X）＝ ，∴ ＝ ，即X的标准差为 .
解：ξ的所有可能取值为0，1，3，则P（ξ＝0）＝ ＝ ，
P（ξ＝1）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ .
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 3
P
4. 编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每
名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E
（ξ）和D（ξ）.
E（ξ）＝0× ＋1× ＋3× ＝1，
D（ξ）＝ ×（0－1）2＋ ×（1－1）2＋ ×（3－1）2＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的概率的平均值
B. 离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的平均水平
C. 离散型随机变量X的均值E（X）反映了X取值的平均水平
D. 离散型随机变量X的方差D（X）反映了X取值的概率的平均值
解析： E（X）反映了X取值的平均水平，D（X）反映了X取
值的离散程度.
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2. 已知随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝ ，k＝1，2，3，则D
（3ξ＋5）＝（ ）
A. 6 B. 9
C. 3 D. 4
解析： 由题可得，E（ξ）＝ ×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）
＝ [（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝ ，D（3ξ＋5）＝
32×D（ξ）＝6，故选A.
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3. （2024·苏州月考）以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛
中的得分情况为
X1（甲得分） 0 1 2
P（X1＝xi） 0.2 0.5 0.3
X2（乙得分） 0 1 2
P（X2＝xi） 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 甲、乙均可 D. 无法确定
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解析： E（X1）＝E（X2）＝1.1，D（X1）＝（0－1.1）
2×0.2＋（1－1.1）2×0.5＋（2－1.1）2×0.3＝0.49，D
（X2）＝（0－1.1）2×0.3＋（1－1.1）2×0.3＋（2－1.1）
2×0.4＝0.69，∴D（X1）＜D（X2），即甲比乙得分稳定，选
甲参加较好.
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4. 在郑州举行的第七届全球跨境电子商务大会期间，小郑同学购买了
几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为
60.如果按人民币计（汇率按1美元等于7元人民币），则平均数和
方差分别为（ ）
A. 30，60 B. 30，420
C. 210，420 D. 210，2 940
解析： 由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按
美元计算的价格的7倍，故按人民币计，则平均数和方差分别为
7×30＝210，72×60＝2 940.故选D.
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5. （2024·南通月考）设随机变量ξ的概率分布为P（ξ＝k）＝pk（1
－p）1－k（k＝0，1），则E（ξ），D（ξ）的值分别是（ ）
A. 0和1 B. p和p2
C. p和1－p D. p和p（1－p）
解析： 由题可得，P（ξ＝0）＝1－p，P（ξ＝1）＝p，E
（ξ）＝0×（1－p）＋1×p＝p，D（ξ）＝（1－p）2×p＋（0
－p）2×（1－p）＝p（1－p），故选D.
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6. （多选）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地
每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）
C. 取球次数ξ的均值为2
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解析： 设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ＝
1）＝ ，P（ξ＝2）＝ × ＝ ，P（ξ＝3）＝ × ＝ .对于A
选项，抽取2次后停止取球的概率为P（ξ＝2）＝ ，A选项错
误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率
为P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝ ＋ ＝ ，B选项正确；对于C选
项，取球次数ξ的均值为E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，C选
项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D（ξ）＝（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ，D选项正确.
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7. 设X，Y为随机变量，且E（X）＝2，E（X2）＝6，Y＝2X－1，
则D（Y）＝ .
解析：由题意，D（X）＝E（X2）－（E（X））2＝6－4＝2，
故D（Y）＝D（2X－1）＝22D（X）＝8.
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8. （2024·镇江月考）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ＝0）＝
，E（ξ）＝1，则D（ξ）＝ .
解析：设P（ξ＝1）＝p，则P（ξ＝2）＝ －p，从而由E（ξ）＝
0× ＋1×p＋2×（ －p）＝1，得p＝ .故D（ξ）＝（0－1）
2× ＋（1－1）2× ＋（2－1）2× ＝ .
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X 0 1 2
P a b
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解析：由概率分布的性质可得a＋b＝ ，P（X＝1）＝ ＝
，所以n＝2，又P（X＝0）＝ ＝ ＝a，所以b＝ ，进而可
得E（X）＝ ＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×
＋（2－1）2b＝a＋b＝ .
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10. 已知η的概率分布为
η 0 10 20 50 60
P
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（1）求η的方差及标准差；
解： ∵E（η）＝0× ＋10× ＋20× ＋50× ＋
60× ＝16，
∴D（η）＝（0－16）2× ＋（10－16）2× ＋（20－16）
2× ＋（50－16）2× ＋（60－16）2× ＝384.
∴η的标准差σ＝ ＝8 .
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（2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）.
解： ∵Y＝2η－E（η），
∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝
1 536.
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11. （2024·盐城质检）已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P
（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
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解析： 因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E
（ξ2）.又因为D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－
p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）·（1－p1－p2）＜0，所以
D（ξ1）＜D（ξ2），故选A.
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12. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个
人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙
公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.
记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P（X＝0）＝ ，则随
机变量X的方差为 .
解析：由题意得P（X＝0）＝ （1－p）（1－p）＝ ，解得p
＝ ，所以P（X＝1）＝ ，P（X＝2）＝ ，P（X＝3）＝
，故E（X）＝ ，所以D（X）＝02× ＋12× ＋22× ＋
32× －（ ）2＝ .
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13. （2024·宿迁质检）某投资公司在2024年年初准备将1 000万元投
资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能
获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 和
；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获
利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的
概率分别为 ， 和 .
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，
并说明理由.
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解：若按“项目一”投资，设获利X1万元，则X1的概率分布为
X1 300 －150
P
∴E（X1）＝300× ＋（－150）× ＝200（万元）.
D（X1）＝（300－200）2× ＋（－150－200）2× ＝35 000，
若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为
X2 500 －300 0
P
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∴E（X2）＝500× ＋（－300）× ＋0× ＝200（万元）.
D（X2）＝（500－200）2× ＋（－300－200）2× ＋（0－
200）2× ＝140 000，
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），
这说明虽然项目一、项目二获利均值相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
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14. 某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每
个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方
差D（X）＝ .
解析：由题意知X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）＝
＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P
（X＝3）＝ ＝ .故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝ ，D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）
2× ＋（3－ ）2× ＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝
.
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15. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的
概率分布为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期
或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，
η表示经销一件该商品的利润.
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（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付
款”的概率P（A）；
解： ∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1
位采用1期付款”，可知 表示事件“购买该商品的3位顾客
中无人采用1期付款”，
∴P（ ）＝（1－0.2）3＝0.512，∴P（A）＝1－P
（ ）＝1－0.512＝0.488.
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（2）求η的概率分布、期望和方差.
解： 根据顾客采用的付款期数ξ的概率分布对应于η
的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件
的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2，
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝
0.6，
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝
0.2，
故η的概率分布为
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η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴期望E（η）＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D（η）＝（200－300）2×0.2＋（300－300）
2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
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谢 谢 观 看！
