8.2.4 超几何分布
1.下列关于超几何分布的说法错误的是（ ）
A.超几何分布的模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N，M，n
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
2.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是（ ）
A.N B.（n－1）
C.n D.（n＋1）
4.（2024·南京月考）已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P（ξ＝1）＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A.10% B.20%
C.30% D.40%
5.（多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是（ ）
A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为
B.答对1道题的概率为
C.答对2道题的概率为
D.合格的概率为
6.（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论中正确的是（ ）
A.P（X＝1）＝
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.E（X）＝
7.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为 .
8.（2024·无锡月考）学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则P（X≤1）＝ .
9.某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为 .
10.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所选3人中男生人数X的概率分布.
11.（2024·徐州月考）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）2024年夏季奥运会在法国巴黎举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了奥运会项目科普活动.为了调查学生对奥运会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解奥运会项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取3所学校进行奥运会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解奥运会项目的人数在30以上的学校数，则下列说法中正确的是（ ）
A.X的可能取值为0，1，2，3
B.P（X＝0）＝
C.E（X）＝
D.D（X）＝
13.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为 .
14.（2024·苏州月考）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的概率分布，并计算其均值；
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
15.（2024·镇江质检）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球.
（1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；
（3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的概率分布，并求ξ的数学期望E（ξ）.
8.2.4 超几何分布
1.B 由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为r时的概率为P（X＝r）＝，故B错误，C、D正确.
2.D 若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.任取10个球中恰有6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝（注意袋中球的个数为80＋20＝100）.
3.C 设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的数学期望值E（X）＝，故选C.
4.B 设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%.故选B.
5.CD 对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确.
6.ACD 由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确.X的取值分别为0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝.
法一 E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
法二 X服从超几何分布，且参数分别为N＝6＋4＝10，M＝4，n＝4，则E（X）＝＝.故A、D正确.故选A、C、D.
7. 解析：设甲班恰有X人被选到，则X～H（4，4，12），则P（X＝2）＝＝.
8. 解析：由题意知，X服从参数为N＝7，n＝3，M＝2的超几何分布，因此P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝.
9. 解析：成员有11＋4＋5＝20（人），从中任选2人的不同选法有种，其中不属于同一国家的有＋＋种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝＝.
10.解：（1）所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
11.A 由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A.
12.ACD 由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝＝，故B错误；E（X）＝＝，故C正确；D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，故D正确.
13. 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率为P＝＝.
14.解：（1）设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得X服从超几何分布，
且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值为1，2，3，
∵P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的概率分布为
X 1 2 3
P
∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2.
由题意可得Y～B（3，），
∴P（Y＝0）＝×（）0×（）3＝，
P（Y＝1）＝×（）1×（）2＝＝，
P（Y＝2）＝×（）2×（）1＝＝，
P（Y＝3）＝×（）3×（）0＝，
∴Y的概率分布为
Y 0 1 2 3
P
∴E（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
（2）D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝，
D（Y）＝np（1－p）＝3××＝，
∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y），
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大.
15.解：（1）设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P（A）＝，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝×（）2×＝.
（2）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则
P（B）＝
＝＝，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4，
所以红球的个数为10－3－4＝3.
（3）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，
P（ξ＝6）＝＝，
所以ξ的概率分布为
ξ 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
2 / 38.2.4 超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值 数学抽象
2.能用超几何分布解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个.
【问题】 如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？
知识点 超几何分布
1.超几何分布
（1）概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X＝r）＝，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}，则称X服从超几何分布；
（2）记法：X服从超几何分布，记为 ，并将P（X＝r）＝ 记为H（r；n，M，N）；
（3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含义：
提醒 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.
2.超几何分布的均值
当X～H（n，M，N）时，E（X）＝kPk＝ （其中l＝min{n，M}）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）超几何分布是不放回抽样.（ ）
（2）超几何分布的总体只有两类个体.（ ）
（3）超几何分布与二项分布的均值相同.（ ）
（4）超几何分布与二项分布没有任何联系.（ ）
2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A.N＝15，M＝7，n＝10 B.N＝15，M＝10，n＝7
C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10
3.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是（ ）
A. B.
C. D.
题型一 超几何分布的辨析
【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由：
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个数记为X，求X的分布列.
通性通法
判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
（1）总体是否分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
【跟踪训练】
（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X
D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
题型二 超几何分布的概率
【例2】 （链接教科书第131页例1）某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率.
通性通法
超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆.
【跟踪训练】
在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.
题型三 超几何分布的概率分布
【例3】 （链接教科书第132页练习1题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布.
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布.
2.（变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
通性通法
1.求超几何分布的概率分布的步骤
2.二项分布与超几何分布的区别与联系
区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是“有放回”抽取（独立重复），超几何分布是“不放回”抽取
联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布
【跟踪训练】
（2024·南通月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个.
（1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
（2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的概率分布.
题型四 超几何分布的均值与方差
【例4】 （链接教科书第131页例2）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布及均值.
通性通法
求超几何分布的均值与方差的步骤
（1）先判断随机变量是否服从超几何分布，若服从，则找出参数N，M，n的值；
（2）利用公式P（X＝r）＝，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}求出分布列；
（3）利用均值与方差的定义求出均值E（X）和方差D（X），也可应用E（X）＝＝np求均值.
【跟踪训练】
（2024·盐城月考）在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
（1）不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
（2）放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
1.（多选）一个袋中有3个同样大小的黑球，编号为1，2，3，还有2个同样大小的白球，编号为4，5，现从中任取2个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的两个号码的差的绝对值
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的2个球的总得分
D.X表示取出的黑球个数
2.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.（2024·扬州月考）某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的概率为.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的均值.
8.2.4 超几何分布
【基础知识·重落实】
知识点
1.（2）X～H（n，M，N） 2.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.A 由超几何分布的概念可知A正确.
3.B 取出的红球的个数服从超几何分布，故P＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（3）符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
跟踪训练
ABD 依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
【例2】 解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＋＝.
跟踪训练
解：设摸出红球的个数为X，
由题意得X～H（5，10，30），
则中奖的概率为P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＋
≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23.
【例3】 解：由题意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
母题探究
1.解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的概率分布为
η 0 1
P
2.解：由题意知，X服从二项分布，
则X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－）3－k·（）k求出各式概率，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
跟踪训练
解：（1）依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为＝.
（2）X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
【例4】 解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
（2）依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝r）＝（r＝0，1，2，3），
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或E（X）＝＝）.
跟踪训练
解：（1）法一 由题意知X的可能取值为0，1，2.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
∴随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
法二 由题意知P（X＝r）＝，r＝0，1，2，
∴随机变量X服从超几何分布，
n＝3，M＝2，N＝10，
∴E（X）＝＝＝.
（2）由题意知，抽取1次取到次品的概率为＝，
随机变量Y服从二项分布Y～B（3，），
∴E（Y）＝3×＝，
D（Y）＝3××（1－）＝.
随堂检测
1.CD A，B中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A，B中的变量不服从超几何分布；C、D中的变量符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故选C、D.
2.C 设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布.∴P（X＝2）＝＝，故选C.
3.3 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”.
4.解：由题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝r）＝，r＝0，1，2.
X的概率分布为
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
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8.2.4 超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解超几何分布及
其均值 数学抽象
2.能用超几何分布解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑
选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲
能答对6个.
【问题】 如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的
个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？
知识点 超几何分布
1. 超几何分布
（1）概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X＝r）＝
，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m
＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝
min{n，M}，则称X服从超几何分布；
（2）记法：X服从超几何分布，记为 ，
并将P（X＝r）＝ 记为H（r；n，M，N）；
X～H（n，M，N）
（3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含义：
提醒 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两
类；③实质是古典概型.
2. 超几何分布的均值
当X～H（n，M，N）时，E（X）＝ kPk＝ （其中l
＝min{n，M}）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）超几何分布是不放回抽样. （ √ ）
（2）超几何分布的总体只有两类个体. （ √ ）
（3）超几何分布与二项分布的均值相同. （ √ ）
（4）超几何分布与二项分布没有任何联系. （ × ）
√
√
√
×
2. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交
通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A. N＝15，M＝7，n＝10 B. N＝15，M＝10，n＝7
C. N＝22，M＝10，n＝7 D. N＝22，M＝7，n＝10
解析： 由超几何分布的概念可知A正确.
3. 袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个
都是红球的概率是（ ）
解析： 取出的红球的个数服从超几何分布，故P＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 超几何分布的辨析
【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由：
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的
分布列；
解： （1） （2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实
验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红
球的个数记为X，求X的分布列.
解： 符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X
表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
通性通法
判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
（1）总体是否分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
【跟踪训练】
（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X
D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
解析： 依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X
服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变
量X不服从超几何分布.
题型二 超几何分布的概率
【例2】 （链接教科书第131页例1）某校高三年级某班的数学课外
活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，
用X表示其中男生的人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率.
解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n
＝4，
P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，
P（X＝4）＝ ＝ ，
∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ ＋
＝ .
通性通法
超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直
接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前
提下进行记忆.
【跟踪训练】
在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个
红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至
少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.
解：设摸出红球的个数为X，
由题意得X～H（5，10，30），
则中奖的概率为P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝
5）＝ ＋ ＋
≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23.
题型三 超几何分布的概率分布
【例3】 （链接教科书第132页练习1题）一个袋中装有6个形状、大
小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，
编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记
取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布.
解：由题意知X＝0，1，2，3.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求
随机变量η的概率分布.
解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝ ＝ ，
所以η的概率分布为
η 0 1
P
2. （变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地
抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
解：由题意知，X服从二项分布，
则X～B（3， ），由P（X＝k）＝ （1－ ）3－k·（ ）k求出
各式概率，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
通性通法
1. 求超几何分布的概率分布的步骤
2. 二项分布与超几何分布的区别与联系
区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要；
（2）二项分布是“有放回”抽取（独立重复），超几何
分布是“不放回”抽取
联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数
n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布
【跟踪训练】
（2024·南通月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个
粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从
中随机取出3个.
（1）求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
解： 依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为
＝ .
（2）设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的概率分布.
解： X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝
2）＝ ＝ ，
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
题型四 超几何分布的均值与方差
【例4】 （链接教科书第131页例2）某大学志愿者协会有6名男同
学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同
学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随
机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能
性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
解： 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件
A，则P（A）＝ ＝ .
所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 .
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分
布及均值.
解： 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝
10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝r）＝ （r＝0，1，2，3），
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3×
＝ （或E（X）＝ ＝ ）.
通性通法
求超几何分布的均值与方差的步骤
（1）先判断随机变量是否服从超几何分布，若服从，则找出参数
N，M，n的值；
（2）利用公式P（X＝r）＝ ，n，N，M∈N*，M≤N，
n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋
M}，l＝min{n，M}求出分布列；
（3）利用均值与方差的定义求出均值E（X）和方差D（X），也可
应用E（X）＝ ＝np求均值.
【跟踪训练】
（2024·盐城月考）在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1
件，求：
（1）不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
解： 法一 由题意知X的可能取值为0，1，2.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ .∴随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
法二 由题意知P（X＝r）＝ ，r＝0，1，2，
∴随机变量X服从超几何分布，
n＝3，M＝2，N＝10，
∴E（X）＝ ＝ ＝ .
（2）放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
解：由题意知，抽取1次取到次品的概率为 ＝ ，
随机变量Y服从二项分布Y～B（3， ），
∴E（Y）＝3× ＝ ，
D（Y）＝3× ×（1－ ）＝ .
1. （多选）一个袋中有3个同样大小的黑球，编号为1，2，3，还有2
个同样大小的白球，编号为4，5，现从中任取2个球，下列变量服
从超几何分布的是（ ）
A. X表示取出的最大号码
B. X表示取出的两个号码的差的绝对值
C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的2个球的
总得分
D. X表示取出的黑球个数
解析： A，B中的变量不符合超几何分布的定义，无法用
超几何分布的数学模型计算概率，即A，B中的变量不服从超几
何分布；C、D中的变量符合超几何分布的定义，将黑球视作次
品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概
率，故选C、D.
2. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的
概率是（ ）
解析： 设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布.∴P
（X＝2）＝ ＝ ，故选C.
3. （2024·扬州月考）某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现
从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，
则当X取 时，对应的概率为 .
解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的 可以看
出“从5名三好学生中选取了3名”.
3
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示
所选3人中女生的人数，求X的均值.
解：由题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝r）＝ ，r＝0，1，2.
X的概率分布为
X 0 1 2
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列关于超几何分布的说法错误的是（ ）
A. 超几何分布的模型是不放回抽样
B. 超几何分布的总体里可以只有一类物品
C. 超几何分布中的参数是N，M，n
D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
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解析： 由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽
样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，
其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，
这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为
r时的概率为P（X＝r）＝ ，故B错误，C、D正确.
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2. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有
6个红球的概率为（ ）
解析： 若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从
参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.任取10个球中恰有
6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝ （注意袋中球的个数为80
＋20＝100）.
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3. 有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的
次品数的数学期望值是（ ）
A. N
解析： 设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次
品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，
∴抽到的次品数的数学期望值E（X）＝ ，故选C.
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4. （2024·南京月考）已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中
抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P（ξ＝1）＝ ，且该产品的
次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A. 10% B. 20%
C. 30% D. 40%
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解析： 设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝ ＝
，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不
超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为
×100%＝20%.故选B.
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5. （多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的
5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2
道题才算合格，则下列说法正确的是（ ）
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解析： 对于A，答对0道题的概率为P0＝ ＝ ，答对3道
题的概率为P3＝ ＝ ，故A错误；对于B，答对1道题的概率
为P1＝ ＝ ，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝
＝ ，故C正确；对于D，合格的概率为P＝ ＋ ＝
，故D正确.
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6. （多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从
中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论
中正确的是（ ）
B. 随机变量X服从二项分布
C. 随机变量X服从超几何分布
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解析： 由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C
正确.X的取值分别为0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝
＝ ，P（X＝4）＝ ＝ .
法一 E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
法二 X服从超几何分布，且参数分别为N＝6＋4＝10，M＝4，n＝
4，则E（X）＝ ＝ .故A、D正确.故选A、C、D.
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7. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来
自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同
学被选到的概率为 .
解析：设甲班恰有X人被选到，则X～H（4，4，12），则P（X
＝2）＝ ＝ .
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解析：由题意知，X服从参数为N＝7，n＝3，M＝2的超几何分
布，因此P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝
.
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解析：成员有11＋4＋5＝20（人），从中任选2人的不同选法有
种，其中不属于同一国家的有 ＋ ＋ 种，根据等可
能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝
＝ .
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10. 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
解： 所选3人中恰有一名男生的概率P＝ ＝ .
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（2）求所选3人中男生人数X的概率分布.
解： X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ .
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
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11. （2024·徐州月考）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，
河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背
中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，
则这3个数中至多有1个阴数的概率为（ ）
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解析： 由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，
6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ＝
；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为 ＝ ，故这3个
数中至多有1个阴数的概率为P＝ ＋ ＝ .故选A.
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12. （多选）2024年夏季奥运会在法国巴黎举办，为了弘扬奥林匹克
精神，某市多所中小学开展了奥运会项目科普活动.为了调查学生
对奥运会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校
中的部分同学，10所学校中了解奥运会项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取3所学校进行奥运会项目的宣讲活动，
记X为被选中的学校中了解奥运会项目的人数在30以上的学校
数，则下列说法中正确的是（ ）
A. X的可能取值为0，1，2，3
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解析： 由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正
确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝
（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝ ＝ ，故B错
误；E（X）＝ ＝ ，故C正确；D（X）＝（0－ ）2× ＋
（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ，
故D正确.
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解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，
D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，
B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角
形，一共能组成三角形的个数为 ＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝ ＝
，P（X＝3）＝ ＝ ，因此，所求概率为P＝ ＝ .
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14. （2024·苏州月考）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案
为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目
的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确
完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且
每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的概率分布，并计算其
均值；
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解： 设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完
成面试题的数量，
由题意可得X服从超几何分布，
且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值为1，2，3，
∵P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ，∴X的概率分布为
X 1 2 3
P
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∴E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2.
由题意可得Y～B（3， ），
∴P（Y＝0）＝ ×（ ）0×（ ）3＝ ，
P（Y＝1）＝ ×（ ）1×（ ）2＝ ＝ ，
P（Y＝2）＝ ×（ ）2×（ ）1＝ ＝ ，
P（Y＝3）＝ ×（ ）3×（ ）0＝ ，
∴Y的概率分布为
Y 0 1 2 3
P
∴E（Y）＝0× ＋1× ＋
2× ＋3× ＝2.
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（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
解： D（X）＝（1－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－
2）2× ＝ ，
D（Y）＝np（1－p）＝3× × ＝ ，
∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y），
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大.
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15. （2024·镇江质检）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中
黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球
为红球.
（1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三
次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
解： 设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P
（A）＝ ，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝
×（ ）2× ＝ .
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（2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是 ，
求红球的个数；
解： 设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事
件B，则P（B）＝
＝ ＝ ，
整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4，
所以红球的个数为10－3－4＝3.
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（3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1
分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出
的2个球所得分数的和，写出ξ的概率分布，并求ξ的数学期
望E（ξ）.
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解： ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ ，
P（ξ＝4）＝ ＝ ，P（ξ＝5）＝ ＝ ，
P（ξ＝6）＝ ＝ ，
所以ξ的概率分布为
ξ 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ .
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