8.3 正态分布
1.已知正态分布密度函数f（x）＝，x∈R，则μ，σ分别是（ ）
A.0和4 B.0和2
C.0和8 D.0和
2.已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，则实数a＝（ ）
A.1 B.
C.2 D.4
3.（2024·南通月考）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.84，则P（X≤0）＝（ ）
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
4.如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
6.（多选）若随机变量X～N（μ，σ2），则（ ）
A.X的密度曲线与y轴的交点为（0，）
B.X的密度曲线关于x＝σ对称
C.2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ）
D.若Y＝，则E（Y）＝0，D（Y）＝1
7.设随机变量X服从正态分布N（2，9），若P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），则c＝ .
8.某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P（28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为 .
9.（2024·淮安月考）已知随机变量ξ～N（3，σ2），且＝，则P（3＜ξ＜5）＝ .
10.已知随机变量X～N（μ，σ2），且正态密度函数在（－∞，80）上单调递增，在（80，＋∞）上单调递减，P（72＜X＜88）≈68.3%.
（1）求参数μ，σ的值；
（2）求P（X≤64）.
11.工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的重量X（单位：千克）服从正态分布N（20，），若P（19.95≤X≤20.05）≥0.997，则n的最小值为（ ）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997.
A.120 B.144
C.150 D.160
12.（2024·盐城月考）已知随机变量X～N（2，22），且aX＋b（a＞0）服从标准正态分布N（0，1），则a＝ ，b＝ .
13.已知某正态分布的概率密度函数为f（x）＝·，x∈（－∞，＋∞），则函数f（x）的极值点为 ，X落在区间（2，3]内的概率为 .
14.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态密度曲线如图所示.
（1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；
（2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比.
15.（2024·泰州月考）已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从正态分布N（200，182）.
（1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
（2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？
8.3 正态分布
1.B f（x）＝＝，故μ＝0，σ＝2.
2.A 因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1.
3.A 由X～N（2，σ2），可知其正态密度曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X＜4）＝1－0.84＝0.16.
4.B ∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，－1]内的概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关于直线x＝＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1.
5.BC 由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C.
6.ACD 若X～N（μ，σ2），则其密度函数f（x）＝，因此X的密度曲线与y轴的交点为（0，），故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；P（｜X－μ｜＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C正确；E（Y）＝＝0，D（Y）＝D（X）＝1，故D正确.故选A、C、D.
7.2 解析：∵X～N（2，9），又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），∴＝2，∴c＝2.
8.9 解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ＝28，因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，所以P（t＜24）＝0.5－0.2＝0.3，所以估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为0.3×30＝9.
9.0.3 解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又＝，所以＝.又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3.
10.解：（1）由题意，得正态密度曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P（72＜X＜88）≈68.3%，
结合P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈68.3%，
可知σ＝8.
（2）P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）
＝P（64＜X＜96）≈95.4%，
因为P（X≤64）＝P（X≥96），
所以P（X≤64）≈×（1－95.4%）＝0.023.
11.B 由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997时，[μ－3σ，μ＋3σ] [19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝，所以0.05≥3，解得n≥144，所以n的最小值为144.故选B.
12. －1 解析：∵随机变量X～N（2，22），∴E（X）＝2，D（X）＝22＝4.∴E（aX＋b）＝aE（X）＋b＝2a＋b＝0，D（aX＋b）＝a2D（X）＝4a2＝1，又a＞0，∴a＝，b＝－1.
13.1 0.135 5 解析：由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以正态密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值.根据正态密度曲线的特点可知1为f（x）的极大值点.由X～N（1，1），知P（2＜X≤3）＝[P（－1≤X≤3）－P（0≤X≤2）]＝[P（1－2×1≤X≤1＋2×1）－P（1－1≤X≤1＋1）]≈×（0.954－0.683）＝0.135 5.
14.解：设此地农民工年均收入X～N（μ，σ2），结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
（1）此地农民工年均收入的密度函数解析式为f（x）＝，x∈R.
（2）∵P（7 500≤X≤8 500）＝P（8 000－500≤X≤8 000＋500）≈0.683，
∴P（8 000≤X≤8 500）＝P（7 500≤X≤8 500）≈0.341 5＝34.15%.
故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.15%.
15.解：（1）X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.683.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正态密度曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈×（1－0.683）＝0.158 5.∴P（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 5＝0.841 5.
故所求的概率为0.841 5.
（2）由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954.
又由正态密度曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1，
∴P（X＜164）≈×（1－0.954）＝0.023，∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977＞0.95.
故这批材料符合这个要求.
1 / 28.3 正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量 数学抽象
2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征 直观想象
3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题 数学建模、数学运算
（1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.
【问题】 生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模型来刻画呢？
知识点一 正态密度曲线及特征
1.概率密度曲线
对于某一随机变量的频率直方图，如果数据无限 且组距无限 ，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.
2.正态密度曲线
定义 函数P（x）＝ （x∈R）的图象称为正态密度曲线，这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R
特征 （1）当x＜μ时，曲线 ；当x＞μ时，曲线 ；当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线. （2）曲线关于直线 对称. （3）σ越 ，曲线越扁平；σ越 ，曲线越尖陡. （4）在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为
知识点二 正态分布
设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P（a＜X≤b）是正态密度曲线下方和x轴上（a，b]上方所围成的图形的 ，则称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～ .
提醒 （1）μ＝0，σ＝1的正态分布叫作标准正态分布；（2）参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数（均值）；σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数（方差）.
知识点三 3σ原则
随机变量X取值
（1）落在区间（μ－σ，μ＋σ）内的概率约为 ；
（2）落在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内的概率约为 ；
（3）落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率约为 .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态密度曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准差.（ ）
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（ ）
（3）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝.（ ）
2.如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别是图中的 、 、 .
3.若随机变量ξ～N（0，1），查标准正态分布表，则（1）P（0＜ξ＜1.90）＝ ；
（2）P（－1.83＜ξ＜0）＝ .
题型一 正态密度曲线及其特点
【例1】 （1）（多选）已知三个正态密度函数φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.σ1＝σ2 B.μ1＞μ3
C.μ1＝μ2 D.σ2＜σ3
（2）已知正态密度曲线的函数解析式为f（x）＝（x∈R），则μ＝ ，σ＝ .
通性通法
由正态密度曲线确定均值与方差的方法
正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态密度曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态密度曲线的形状与位置.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝（其中μ＜0）的图象可能为（ ）
2.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N（μ1，），Y～N（μ2，），其正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
题型二 利用正态分布求概率
【例2】 （链接教科书第136页例1）设X～N（1，22），试求：
（1）P（－1＜X＜3）；
（2）P（X＞5）.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，求P（3＜X＜5）.
通性通法
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态密度曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：
①P（X＜a）＝1－P（X≥a）；
②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）.
（2）“3σ”法：利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%求解.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝（ ）
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
题型三 正态分布的实际应用
【例3】 （链接教科书第137页例2）在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90，100）.
（1）试求考试成绩ξ位于区间[70，110]上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在区间[80，100]上的考生大约有多少人？
通性通法
正态密度曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ）， （μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.
【跟踪训练】
某厂生产的圆柱形零件的外直径X（单位：cm）服从正态分布N（4，0.52）.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
1.（多选）下面给出的关于正态密度曲线的叙述中，正确的有（ ）
A.曲线可以关于y轴对称
B.当x＞μ时，随着x的增大，曲线逐渐下降；当x＜μ时，随着x的增大，曲线逐渐上升
C.μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中
D.当x＝μ时，曲线位于最高点
2.某种零件的尺寸X（单位：cm）服从正态分布N（3，1），则不属于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的 .
3.（2024·常州月考）若随机变量ξ～N（10，σ2），P（9≤ξ≤11）＝0.4，则P（ξ≥11）＝ .
8.3 正态分布
【基础知识·重落实】
知识点一
1.增多 缩小 2. （1）上升 下降 x轴 （2）x＝μ （3）大 小 （4）1
知识点二
面积 N（μ，σ2）
知识点三
（1）68.3% （2）95.4% （3）99.7%
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√
2.① ② ③ 解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”.
3.（1）0.471 3 （2）0.466 4
解析：（1）P（0＜ξ＜1.90）＝P（ξ＜1.9）－P（ξ≤0）＝0.971 3－0.500 0＝0.471 3.
（2）P（－1.83＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1.83）＝P（ξ＜1.83）－P（ξ≤0）＝0.966 4－0.500 0＝0.466 4.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）AD （2）2 3
解析：（1）根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越“瘦高”，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确.
（2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.
跟踪训练
1.A 函数f（x）图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B、D；又正态密度曲线位于x轴上方，因此排除C.
2.A 由图知甲、乙两条生产线的产品尺寸平均值相等，甲的正态密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.
【例2】 解：因为X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2，
（1）P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.683.
（2）P（X＞5）＝P（X＜－3）＝[1－P（－3≤X≤5）]＝[1－P（1－4≤X≤1＋4）]＝[1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]≈（1－0.954）＝0.023.
母题探究
解：∵P（3＜X＜5）＝P（－3＜X＜－1），
∴P（3＜X＜5）＝[P（－3＜X＜5）－P（－1＜X＜3）]
＝[P（1－4＜X＜1＋4）－P（1－2＜X＜1＋2）]
＝[P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）－P（μ－σ＜X＜μ＋σ）]
≈×（0.954－0.683）＝0.135 5.
跟踪训练
C 因为P（ξ＜4）＝0.8，所以P（ξ＞4）＝0.2.由题意知图象（如图）的对称轴为直线x＝2，
P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝0.2，所以P（0＜ξ＜4）＝1－P（ξ＜0）－P（ξ＞4）＝0.6.所以P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜4）＝0.3.
【例3】 解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10.
（1）由于随机变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间[70，110]内的概率为0.954.
（2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ）内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间[80，100]内的概率为0.683，一共有2 000名考生，所以考试成绩在区间[80，100]上的考生大约有2 000×0.683＝1 366（人）.
跟踪训练
解：由于外直径X～N（4，0.52），
则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.003，
而5.7 [2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
随堂检测
1.ABD 当μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散.只有C错误，故选A、B、D.
2.4.6% 解析：属于区间（μ－2σ，μ＋2σ），即区间（1，5）的取值概率为95.4%，故不属于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.4%＝4.6%.
3.0.3 解析：由P（9≤ξ≤11）＝0.4且正态密度曲线以x＝μ＝10为对称轴知，P（9≤ξ≤11）＝2P（10≤ξ≤11）＝0.4，即P（10≤ξ≤11）＝0.2，又P（ξ≥10）＝0.5，所以P（ξ≥11）＝0.5－0.2＝0.3.
4 / 4(共56张PPT)
8.3 正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变
量 数学抽象
2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直
观，了解正态分布的特征 直观想象
3.了解正态分布的均值、方差及其含义，并会
用正态分布去解决实际问题 数学建模、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的
同学也不多，大都集中在某个高度左右；（2）某种电子产品的
使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对
较少.
【问题】 生活中像上述这样的现象很多，那么如何用数学模
型来刻画呢？
知识点一 正态密度曲线及特征
1. 概率密度曲线
对于某一随机变量的频率直方图，如果数据无限 且组距无
限 ，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我
们将此曲线称为概率密度曲线.
增多
缩小
2. 正态密度曲线
定义 函数P（x）＝ （x∈R）的图象称为正
态密度曲线，这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R
特征 （1）当x＜μ时，曲线 ；当x＞μ时，曲线
；当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线.
（2）曲线关于直线 对称.
（3）σ越 ，曲线越扁平；σ越 ，曲线越尖陡.
（4）在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为
上升
下
降
x轴
x＝μ
大
小
1
知识点二 正态分布
设X是一个随机变量，若对任给区间（a，b]，P（a＜X≤b）是正
态密度曲线下方和x轴上（a，b]上方所围成的图形的 ，则
称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～
.
面积
N（μ，
σ2）
提醒 （1）μ＝0，σ＝1的正态分布叫作标准正态分布；（2）参数
μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数（均值）；σ2是衡量随机
变量总体波动大小的特征数（方差）.
知识点三 3σ原则
随机变量X取值
（1）落在区间（μ－σ，μ＋σ）内的概率约为 ；
（2）落在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内的概率约为 ；
（3）落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率约为 .
68.3%
95.4%
99.7%
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态密度曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标
准差. （ √ ）
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变
化而变化的. （ × ）
（3）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝ . （ √ ）
√
×
√
2. 如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N
（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应的曲线分别
是图中的 、 、 .
解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越
“瘦高”.
①
②
③
3. 若随机变量ξ～N（0，1），查标准正态分布表，则（1）P（0＜ξ
＜1.90）＝ ；
解析： P（0＜ξ＜1.90）＝P（ξ＜1.9）－P（ξ≤0）
＝0.971 3－0.500 0＝0.471 3.
（2）P（－1.83＜ξ＜0）＝ .
解析： P（－1.83＜ξ＜0）＝P（0＜ξ＜1.83）＝P（ξ
＜1.83）－P（ξ≤0）＝0.966 4－0.500 0＝0.466 4.
0.471 3
0.466 4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正态密度曲线及其特点
【例1】 （1）（多选）已知三个正态密度函数φi（x）＝
（x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结
论正确的是（ AD ）
A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3
C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3
AD
解析： 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越“瘦高”，所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确.
（2）已知正态密度曲线的函数解析式为f（x）＝
（x∈R），则μ＝ ，σ＝ .
解析： 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.
2
3
通性通法
由正态密度曲线确定均值与方差的方法
正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平
均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态
密度曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小
关系，也可以确定正态密度曲线的形状与位置.
【跟踪训练】
1. 函数f（x）＝ （其中μ＜0）的图象可能为（ ）
解析： 函数f（x）图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，
所以排除B、D；又正态密度曲线位于x轴上方，因此排除C.
2. 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N（μ1， ），Y～N（μ2， ），其正态密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B. 甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C. 甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D. 甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
解析： 由图知甲、乙两条生产线的产品尺寸平均值相等，甲的
正态密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产
品的稳定性.
题型二 利用正态分布求概率
【例2】 （链接教科书第136页例1）设X～N（1，22），试求：
（1）P（－1＜X＜3）；
（1）P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝P（μ－σ＜
X＜μ＋σ）≈0.683.
解：因为X～N（1，22），所以μ＝1，σ＝2，
（2）P（X＞5）.
解： P（X＞5）＝P（X＜－3）＝ [1－P（－3≤X≤5）]
＝ [1－P（1－4≤X≤1＋4）]＝ [1－P（μ－2σ≤X≤μ＋
2σ）]≈ （1－0.954）＝0.023.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，求P（3＜X＜5）.
解：∵P（3＜X＜5）＝P（－3＜X＜－1），
∴P（3＜X＜5）＝ [P（－3＜X＜5）－P（－1＜X＜3）]
＝ [P（1－4＜X＜1＋4）－P（1－2＜X＜1＋2）]
＝ [P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）－P（μ－σ＜X＜μ＋σ）]
≈ ×（0.954－0.683）＝0.135 5.
通性通法
利用正态分布求概率的两个方法
（1）对称法：由于正态密度曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的
和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：
①P（X＜a）＝1－P（X≥a）；
②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）.
（2）“3σ”法：利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ
＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是68.3%，95.4%，
99.7%求解.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P
（0＜ξ＜2）＝（ ）
A. 0.6 B. 0.4
C. 0.3 D. 0.2
解析： 因为P（ξ＜4）＝0.8，所以P（ξ＞4）＝0.2.由题意知图象（如图）的对称轴为直线x＝2，
P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝0.2，所以P（0＜ξ＜4）＝1－P（ξ＜0）
－P（ξ＞4）＝0.6.所以P（0＜ξ＜2）＝ P（0＜ξ＜4）＝0.3.
题型三 正态分布的实际应用
【例3】 （链接教科书第137页例2）在某次数学考试中，考生的成
绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90，100）.
（1）试求考试成绩ξ位于区间[70，110]上的概率是多少？
（1）由于随机变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率是
0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝
90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间[70，110]内的概率
为0.954.
解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10.
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在区间[80，100]
上的考生大约有多少人？
解：由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于随机
变量在区间（μ－σ，μ＋σ）内取值的概率是0.683，所以考试
成绩ξ位于区间[80，100]内的概率为0.683，一共有2 000名考
生，所以考试成绩在区间[80，100]上的考生大约有2
000×0.683＝1 366（人）.
通性通法
正态密度曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ），
（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）这三个区间进行转化，然
后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归
思想及数形结合思想.
【跟踪训练】
某厂生产的圆柱形零件的外直径X（单位：cm）服从正态分布N
（4，0.52）.质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测
得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于外直径X～N（4，0.52），
则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997，在[2.5，
5.5]之外取值的概率为0.003，
而5.7 [2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的
小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
1. （多选）下面给出的关于正态密度曲线的叙述中，正确的有
（ ）
A. 曲线可以关于y轴对称
B. 当x＞μ时，随着x的增大，曲线逐渐下降；当x＜μ时，随着x的增大，曲线逐渐上升
C. μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中
D. 当x＝μ时，曲线位于最高点
解析： 当μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分
布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散.只有C
错误，故选A、B、D.
2. 某种零件的尺寸X（单位：cm）服从正态分布N（3，1），则不属
于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数的 .
解析：属于区间（μ－2σ，μ＋2σ），即区间（1，5）的取值概率
为95.4%，故不属于区间（1，5）这个尺寸范围的零件数约占总数
的1－95.4%＝4.6%.
4.6%
3. （2024·常州月考）若随机变量ξ～N（10，σ2），P（9≤ξ≤11）
＝0.4，则P（ξ≥11）＝ .
解析：由P（9≤ξ≤11）＝0.4且正态密度曲线以x＝μ＝10为对称
轴知，P（9≤ξ≤11）＝2P（10≤ξ≤11）＝0.4，即P
（10≤ξ≤11）＝0.2，又P（ξ≥10）＝0.5，所以P（ξ≥11）＝
0.5－0.2＝0.3.
0.3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知正态分布密度函数f（x）＝ ，x∈R，则μ，σ分别是
（ ）
A. 0和4 B. 0和2
C. 0和8
解析： f（x）＝ ＝ ，故μ＝0，σ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，
则实数a＝（ ）
A. 1
C. 2 D. 4
解析： 因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X
＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2024·南通月考）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P
（X＜4）＝0.84，则P（X≤0）＝（ ）
A. 0.16 B. 0.32
C. 0.68 D. 0.84
解析： 由X～N（2，σ2），可知其正态密度曲
线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P（X≤0）＝
P（X≥4）＝1－P（X＜4）＝1－0.84＝0.16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概
率相等，那么这个正态总体的数学期望是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，
－1]内的概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关
于直线x＝ ＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1， ），N（μ2， ），其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A. 乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C. 甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水
果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，
故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）若随机变量X～N（μ，σ2），则（ ）
B. X的密度曲线关于x＝σ对称
C. 2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 若X～N（μ，σ2），则其密度函数f（x）＝
，因此X的密度曲线与y轴的交点为（0，
），故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B
错误；P（｜X－μ｜＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋
3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C正确；E（Y）＝ ＝0，D
（Y）＝ D（X）＝1，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 设随机变量X服从正态分布N（2，9），若P（X＞c＋1）＝P
（X＜c－1），则c＝ .
解析：∵X～N（2，9），又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），
∴ ＝2，∴c＝2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P
（28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的
天数为 .
解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ
＝28，因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，
所以P（t＜24）＝0.5－0.2＝0.3，所以估计该城市6月份平均气
温低于24 ℃的天数为0.3×30＝9.
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （2024·淮安月考）已知随机变量ξ～N（3，σ2），且 ＝
，则P（3＜ξ＜5）＝ .
解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又
＝ ，所以 ＝ .又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P
（ξ＞5）＝0.2，故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5
－0.2＝0.3.
0.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知随机变量X～N（μ，σ2），且正态密度函数在（－∞，
80）上单调递增，在（80，＋∞）上单调递减，P（72＜X＜
88）≈68.3%.
（1）求参数μ，σ的值；
解： 由题意，得正态密度曲线关于直线x＝80对称，
即参数μ＝80.
又P（72＜X＜88）≈68.3%，
结合P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈68.3%，
可知σ＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求P（X≤64）.
解： P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）
＝P（64＜X＜96）≈95.4%，
因为P（X≤64）＝P（X≥96），
所以P（X≤64）≈ ×（1－95.4%）＝0.023.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋
面粉的重量X（单位：千克）服从正态分布N（20， ），若P
（19.95≤X≤20.05）≥0.997，则n的最小值为（ ）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）
≈0.997.
A. 120 B. 144 C. 150 D. 160
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997时，[μ－
3σ，μ＋3σ] [19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝ ，所以
0.05≥3 ，解得n≥144，所以n的最小值为144.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （2024·盐城月考）已知随机变量X～N（2，22），且aX＋b（a
＞0）服从标准正态分布N（0，1），则a＝ ，b＝
.
解析：∵随机变量X～N（2，22），∴E（X）＝2，D（X）＝
22＝4.∴E（aX＋b）＝aE（X）＋b＝2a＋b＝0，D（aX＋
b）＝a2D（X）＝4a2＝1，又a＞0，∴a＝ ，b＝－1.
－
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以正态密度
曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值.根据正态密度
曲线的特点可知1为f（x）的极大值点.由X～N（1，1），知P
（2＜X≤3）＝ [P（－1≤X≤3）－P（0≤X≤2）]＝ [P（1
－2×1≤X≤1＋2×1）－P（1－1≤X≤1＋1）]≈ ×（0.954－
0.683）＝0.135 5.
13. 已知某正态分布的概率密度函数为f（x）＝ · ，
x∈（－∞，＋∞），则函数f（x）的极值点为 ，X落在区
间（2，3]内的概率为 .
1
0.135 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态密度曲线如图
所示.
（1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；
（1）此地农民工年均收入的密度函
数解析式为f（x）＝
，x∈R.
解：设此地农民工年均收入X～N（μ，σ2），结合题图可
知，μ＝8 000，σ＝500.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的
百分比.
解： ∵P（7 500≤X≤8 500）＝P
（8 000－500≤X≤8 000＋500）
≈0.683，
∴P（8 000≤X≤8 500）＝ P
（7 500≤X≤8 500）≈0.341 5＝34.15%.
故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.15%.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. （2024·泰州月考）已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料
的强度X服从正态分布N（200，182）.
（1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
解： X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.683.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正态密度曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈ ×（1－0.683）＝0.158 5.∴P
（X≥182）＝1－P（X＜182）≈1－0.158 5＝0.841 5.
故所求的概率为0.841 5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954.
又由正态密度曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞
236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞
236）＝1，
∴P（X＜164）≈ ×（1－0.954）＝0.023，
∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977＞0.95.
故这批材料符合这个要求.
（2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这
批材料是否符合这个要求？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！
