章末检测（八） 概率
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知离散型随机变量X的概率分布如下，则p＝（ ）
X 1 2 3 4
P p
A. B.
C. D.
2.已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝（ ）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P（Y＜6）＝（ ）
A.0.3 B.0.5
C.0.1 D.0.2
4.由1，2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字为1”，用B表示事件“百位数字为1”，则P（A｜B）＝（ ）
A. B. C. D.
5.学校要从10名候选人中选2名加入学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（ ）
A. B. C. D.
6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（ ）
A.（）5 B.（）5
C.（）5 D.（）5
7.某人投篮命中的概率为0.6，则投篮14次，最有可能命中的次数为（ ）
A.7 B.8
C.7或8 D.8或9
8.泊松分布的概率分布为P（X＝k）＝e－λ（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），P（X＝i）＝（n∈N）.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为（参考数据：＝0.367 879…）（ ）
A.99% B.97%
C.92% D.74%
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B.测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X
C.测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X
D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
10.随机变量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，随机变量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E（Y），则（ ）
A.t＝4 B.p＝
C.P（2≤Y≤3）＝ D.D（2Y）＝2
11.有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（ ）
A.P（A1A2）＝
B.P（A1｜A2）＝
C.P（A1＋A2）＝
D.P（A10）＝
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.从只有3张有奖的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X＝4）＝ .
13.已知随机事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A｜B）＝，则P（B｜A）＝ .
14.假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p（0＜p＜1），且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，则该班成绩在90分以上的同学有多少人？
16.（本小题满分15分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下表：
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 2a a
（1）求a的值和X的均值；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
17.（本小题满分15分）已知甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两球，试求：
（1）从乙箱中取出的两球是白球的概率；
（2）在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的两球是白球的概率.
18.（本小题满分17分）某周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，每场比赛都没有平局，且三场比赛相互独立.下表是李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况：
父亲 母亲 弟弟
比赛次数 50 60 40
李梦获胜次数 10 30 32
以上表中的频率作为概率，解答下列问题：
（1）若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X分，求X的概率分布、期望和方差；
（2）若李梦赢一场比赛能得到5元的奖励金，求李梦所得奖励金的期望和方差.
19.（本小题满分17分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F（x）＝P（X≤x）.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40，4），且X的累积分布函数为F（x），求F（44）－F（38）；
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G（t）＝
①设t1＞t2＞0，证明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）；
②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的概率.
附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2），则P（｜Y－μ｜＜σ）＝0.683，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954，P（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997.
章末检测（八） 概率
1.C 由＋＋＋p＝1得，p＝.故选C.
2.D 因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态密度曲线关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝＝＝0.4.
3.A 由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
4.C ∵P（B）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（A｜B）＝＝.
5.D 由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝4，n＝2，则E（X）＝＝＝.
6.B 依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝×（）2×（1－）3＝（）5.
7.D 投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，
则
8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D.
8.C 依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝e－1，于是P（X＝0）＝e－1＝，P（X＝1）＝e－1＝，P（X＝2）＝e－1＝，所以次品率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＋≈92%.故选C.
9.AC 电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确.故选A、C.
10.AC 因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以E（Y）＝E（X）＝2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p＝2，所以p＝，故B错误；因为Y～B（4，），所以P（2≤Y≤3）＝（）4＋（）4＝，故C正确；因为D（Y）＝4××（1－）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，故D错误.故选A、C.
11.BC 对A，P（A1A2）＝×＝，所以A错误；对B，P（A2）＝×＋×＝，故P（A1｜A2）＝＝，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝＋－＝，所以C正确；对D，由题意P（An）＝P（An－1）＋[1－P（An－1）]，所以P（An）－＝［P（An－1）－］，P（A1）＝，P（A1）－＝－＝，所以P（An）－＝×（）n－1＝×（）n，所以P（An）＝·（1＋），则P（A10）＝·（1＋），所以D错误.故选B、C.
12. 解析：P（X＝4）＝×××＝.
13. 解析：由条件概率可得P（A｜B）＝＝ P（AB）＝×＝，所以P（B｜A）＝＝＝.
14.（，1） 解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p），所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1＝p2（1－p）2＋p3（1－p）＋p4＝3p4－8p3＋6p2；2引擎飞机正常飞行的概率为P2＝p（1－p）＋p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）＞0.因为0＜p＜1，所以＜p＜1.
15.解：∵成绩服从正态分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在（75，85）内的同学约占全班同学的68.3%，成绩在（80，85）内的同学约占全班同学的34.15%.
设该班有x名同学，
则x·34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在（70，90）内的同学约占全班同学的95.4%，成绩在90分以上的同学约占全班同学的×（1－95.4%）＝2.3%，
50×2.3%≈1（人）.
故成绩在90分以上的仅有1人.
16.解：（1）由概率分布的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.4 0.2
∴E（X）＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”.
则由事件的独立性得P（A1）＝·P（X＝2）·P（X＝0）＝2×0.4×0.1＝0.08，
P（A2）＝[P（X＝1）]2＝0.32＝0.09.
∴P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
17.解：（1）因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取得两白球，取得一黑球和一白球，取得两黑球，分别用A1，A2，A3表示.设B表示从乙箱中取出的两球是白球，则有
P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，
P（B｜A1）＝＝，P（B｜A2）＝＝，P（B｜A3）＝0，
由全概率公式得到P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝×＋×＋×0＝.
（2）P（A1｜B）＝＝＝.
18.解：（1）由题表得，李梦与父亲比赛获胜的频率为，与母亲比赛获胜的频率为，与弟弟比赛获胜的频率为.
X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（1－）×（1－）×（1－）＝，
P（X＝1）＝（1－）×（1－）×＋（1－）××（1－）＋×（1－）×（1－）＝，
P（X＝2）＝（1－）××＋×（1－）×＋××（1－）＝，
P（X＝3）＝××＝.
故X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝.
（2）易知李梦所得奖励金为5X元，则E（5X）＝5E（X）＝，D（5X）＝52D（X）＝.
19.解：（1）由题设得P（38＜X＜42）＝0.683，P（36＜X＜44）＝0.954，
所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40）
＝×（0.683＋0.954）＝0.818 5.
（2）①证明：由题设得：
P（T＞t1｜T＞t2）＝＝＝＝＝＝＝，
P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝，
所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）.
②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P（T≤1）＝1－G（1）＝，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为.
为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为1－（1－）2＝.
3 / 3(共40张PPT)
章末检测（八） 概率
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知离散型随机变量X的概率分布如下，则p＝（ ）
X 1 2 3 4
P p
解析： 由 ＋ ＋ ＋p＝1得，p＝ .故选C.
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2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1，
则P（3≤X≤5）＝（ ）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析： 因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态密
度曲线关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞
5）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝ ＝ ＝0.4.
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3. 设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y＝2X
－1，则P（Y＜6）＝（ ）
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.1 D. 0.2
解析： 由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X
＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
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4. 由1，2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字
为1”，用B表示事件“百位数字为1”，则P（A｜B）＝
（ ）
解析： ∵P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，∴P
（A｜B）＝ ＝ .
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5. 学校要从10名候选人中选2名加入学生会，其中高二（1）班有4名
候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高
二（1）班的候选人的人数，则E（X）＝（ ）
解析： 由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝
4，n＝2，则E（X）＝ ＝ ＝ .
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6. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
.质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（ ）
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解析： 依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3
次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝ ×（ ）
2×（1－ ）3＝ （ ）5.
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7. 某人投篮命中的概率为0.6，则投篮14次，最有可能命中的次数为
（ ）
A. 7 B. 8
C. 7或8 D. 8或9
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解析： 投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝
·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，则
8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.
故选D.
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8. 泊松分布的概率分布为P（X＝k）＝ e－λ（k＝0，1，
2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机
变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松
分布，其中λ＝np，即X～B（n，p），P（X＝i）＝
（n∈N）.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100
个该种元件，则次品率小于3%的概率约为（参考数据： ＝0.367
879…）（ ）
A. 99% B. 97%
C. 92% D. 74%
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解析： 依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布
的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝ e－1，于是P
（X＝0）＝ e－1＝ ，P（X＝1）＝ e－1＝ ，P（X＝2）＝
e－1＝ ，所以次品率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X
＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＋ ≈92%.故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B. 测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X
C. 测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X
D. 一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
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解析： 电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机
变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以
列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机
变量，选项D不正确.故选A、C.
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10. 随机变量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝
0.5，随机变量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E
（Y），则（ ）
A. t＝4
D. D（2Y）＝2
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解析： 因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P
（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以
E（Y）＝E（X）＝2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p
＝2，所以p＝ ，故B错误；因为Y～B（4， ），所以P
（2≤Y≤3）＝ （ ）4＋ （ ）4＝ ，故C正确；因为D
（Y）＝4× ×（1－ ）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，
故D错误.故选A、C.
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11. 有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1
号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑
球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放
入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为
事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（ ）
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解析： 对A，P（A1A2）＝ × ＝ ，所以A错误；对B，
P（A2）＝ × ＋ × ＝ ，故P（A1｜A2）＝ ＝
，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P
（A1A2）＝ ＋ － ＝ ，所以C正确；对D，由题意P（An）＝ P（An－1）＋ [1－P（An－1）]，所以P（An）－ ＝ ［P（An－1）－ ］，P（A1）＝ ，P（A1）－ ＝ － ＝ ，所以P（An）－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，所以P（An）＝ ·（1＋ ），则P（A10）＝ ·（1＋ ），所以D错误.故选B、C.
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解析：P（X＝4）＝ × × × ＝ .
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13. 已知随机事件A，B，P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（A｜B）
＝ ，则P（B｜A）＝ .
解析：由条件概率可得P（A｜B）＝ ＝ P（AB）＝
× ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ .
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（ ，1）
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解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p），
所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1＝ p2（1－p）2＋ p3（1
－p）＋ p4＝3p4－8p3＋6p2；2引擎飞机正常飞行的概率为P2
＝ p（1－p）＋ p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋
6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因为4引擎飞机比2
引擎飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）
＞0.因为0＜p＜1，所以 ＜p＜1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正
态分布N（80，52），现在已知该班同学中成绩在80～85分的有
17人，则该班成绩在90分以上的同学有多少人？
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解：∵成绩服从正态分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在（75，85）内的同学约占全班同学的68.3%，成绩在
（80，85）内的同学约占全班同学的34.15%.
设该班有x名同学，
则x·34.15%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在（70，90）内的同学约占全班同学的95.4%，成绩在90
分以上的同学约占全班同学的 ×（1－95.4%）＝2.3%，
50×2.3%≈1（人）.
故成绩在90分以上的仅有1人.
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16. （本小题满分15分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下表：
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 2a a
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（1）求a的值和X的均值；
解： 由概率分布的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.4 0.2
∴E（X）＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
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（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企
业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
解： 设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1
表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0
次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”.
则由事件的独立性得P（A1）＝ ·P（X＝2）·P（X＝
0）＝2×0.4×0.1＝0.08，
P（A2）＝[P（X＝1）]2＝0.32＝0.09.
∴P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
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17. （本小题满分15分）已知甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1
个白球和2个黑球，从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱
中任意取出两球，试求：
（1）从乙箱中取出的两球是白球的概率；
解： 因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取得两白球，取得一黑球和一白球，取得两黑球，分别用A1，A2，A3表示.设B表示从乙箱中取出的两球是白球，则有
P（A1）＝ ＝ ，P（A2）＝ ＝ ，P（A3）＝ ＝ ，
P（B｜A1）＝ ＝ ，P（B｜A2）＝ ＝ ，P（B｜A3）＝0，
由全概率公式得到P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝ × ＋
× ＋ ×0＝ .
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（2）在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的两球
是白球的概率.
解： P（A1｜B）＝ ＝ ＝ .
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18. （本小题满分17分）某周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽
毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，
每场比赛都没有平局，且三场比赛相互独立.下表是李梦最近分别
与父亲、母亲、弟弟比赛的情况：
父亲 母亲 弟弟
比赛次数 50 60 40
李梦获胜次数 10 30 32
以上表中的频率作为概率，解答下列问题：
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（1）若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X分，
求X的概率分布、期望和方差；
解： 由题表得，李梦与父亲比赛获胜的频率为 ，与
母亲比赛获胜的频率为 ，与弟弟比赛获胜的频率为 .
X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ，
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P（X＝1）＝（1－ ）×（1－ ）× ＋（1－ ）× ×
（1－ ）＋ ×（1－ ）×（1－ ）＝ ，
P（X＝2）＝（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ ×
×（1－ ）＝ ，
P（X＝3）＝ × × ＝ .
故X的概率分布为
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X 0 1 2 3
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ，
所以D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－
）2× ＋（3－ ）2× ＝ .
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（2）若李梦赢一场比赛能得到5元的奖励金，求李梦所得奖励金
的期望和方差.
解： 易知李梦所得奖励金为5X元，则E（5X）＝5E
（X）＝ ，D（5X）＝52D（X）＝ .
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19. （本小题满分17分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随
机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累
积分布函数为F（x）＝P（X≤x）.已知某系统由一个电源和并
联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少
一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工
作相互独立.
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（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40，4），
且X的累积分布函数为F（x），求F（44）－F（38）；
解： 由题设得P（38＜X＜42）＝0.683，P（36＜X
＜44）＝0.954，
所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P
（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40）
＝ ×（0.683＋0.954）＝0.818 5.
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（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或
等待时间.已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元
件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G
（t）＝
①设t1＞t2＞0，证明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）；
②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的
概率.
附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2），则P（｜Y
－μ｜＜σ）＝0.683，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954，P
（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997.
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解： ①证明：由题设得：
P（T＞t1｜T＞t2）＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ＝ ，
P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝
，
所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）.
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②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P
（T≤1）＝1－G（1）＝ ，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为 .
为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个
正常工作，
因此所求概率为1－（1－ ）2＝ .
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谢 谢 观 看！
