9.1.1 变量的相关性
1.下列说法正确的是（ ）
A.圆的面积与半径之间的关系是相关关系 B.体育锻炼与身体健康指标之间的关系是函数关系
C.一定范围内，学生的成绩与学习时间正相关 D.人的体重与视力负相关
2.下列图形中具有相关关系的两个变量是（ ）
3.（2024·南通月考）已知四组不同数据的两变量的样本相关系数如下：数据组①：r1＝0；数据组②：r2＝－0.95；数据组③：｜r3｜＝0.89；数据组④：r4＝0.75.下列说法正确的是（ ）
A.数据组①对应的数据点都在同一直线上 B.数据组②中的两变量线性相关性最强
C.数据组③中的两变量线性相关性最强 D.数据组④中的两变量线性相关性最弱
4.某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均销售额 6 5 8 3 4 7
利润率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是（ ）
A.利润率与人均销售额成正比例函数关系
B.利润率与人均销售额成反比例函数关系
C.利润率与人均销售额成正相关关系
D.利润率与人均销售额成负相关关系
5.（2024·苏州月考）第一组样本点为（－5，－8.9），（－4，－7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9），第一组变量的样本相关系数为r1，第二组变量的样本相关系数为r2，则（ ）
A.r1＞0＞r2 B.r2＞0＞r1
C.r1＜r2＜0 D.r2＞r1＞0
6.（多选）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.沸点与海拔高度呈正相关
B.沸点与气压呈正相关
C.沸点与海拔高度呈负相关
D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
7.以下是收集到的某物品的销售价格y（万元）和物品的大小x（m2）的数据：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
则根据数据可以判断x，y 相关关系.（填“有”或“无”）
8.已知（yi－）2是（xi－）2的4倍，（xi－）·（yi－）是（xi－）2的1.5倍，则样本相关系数r＝ .
9.5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生 成绩 学科 A B C D E
数学 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
画出散点图，并判断它们是否具有相关关系.
10.（2024·扬州月考）已知两组数据a1，a2，…，a10和b1，b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z时，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z时，bi＝ai，b10＝a，我们研究这两组数据的相关性，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a＝（ ）
A.8 B.11 C.12 D.13
11.（多选）已知变量x，y的样本相关系数为r1，变量m，n的样本相关系数为r2，下列说法中正确的有（ ）
A.若｜r1｜＝0.96，则说明变量x，y之间的线性相关性强
B.若r1＞r2，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强
C.若0＜r1＜1，则说明变量x，y之间的相关性为正相关
D.若r1＝0，则说明变量x，y之间不相关
12.已知某个样本点中的变量x，y线性相关，样本相关系数r＜0，则在以（，）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第 象限.
13.某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组试验，试验数据经整理得到如图所示的折线图，由图可以看出，这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明.
附：（xi－）（yi－）＝85，＝5.5，≈2.65.
14.（2024·南京月考）交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行；机动车行经没有交通信号灯的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的行为称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的行为称为“不礼让斑马线”.下表是某市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：
月份x 1 2 3 4 5
“不礼让斑马线”的驾驶员人数y 120 105 100 85 90
（1）根据表中所给的5个月的数据，请计算样本相关系数r并加以说明；
（2）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交通法规的调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率.
参考公式：样本相关系数
r＝.
9.1.1 变量的相关性
1.C 圆的面积与半径之间的关系是确定的函数关系，所以A中说法错误；体育锻炼与身体健康指标之间的关系不是函数关系，是相关关系，所以B中说法错误；人的体重与视力没有关系，所以D中说法错误；易知C中说法正确.故选C.
2.D A和B符合函数关系；从C、D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系.
3.B 数据组①中r1＝0，表明两变量不具有线性相关性，故A错误；因为｜r2｜＞｜r3｜＞｜r4｜＞｜r1｜，所以数据组②中的两变量线性相关性最强，故B正确，C错误；数据组①中r1＝0，则两变量线性相关性最弱，故D错误.
4.C 根据题意，画出利润与人均销售额的散点图，如图所示：
由散点图知，利润率与人均销售额成正相关关系.故选C.
5.A 观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故r1＞0；观察第二组样本点，y随x的增大而减小，故r2＜0.综上：r1＞0＞r2.故选A.
6.BCD 由题左图知气压随海拔高度的增加而减小，由题右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B、C、D正确，A错误.
7.有 解析：由数据表可以看出，两个变量的变化趋势为物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系.
8. 解析：由r＝
，得r＝.
9.解：把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点，作出散点图如图.
从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们是正相关.
10.B 设点的坐标为（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由题意得前9个点位于直线y＝x上，a10＝10，则要使相关性更强，b10应更接近10，四个选项中11更接近10，故选B.
11.ACD ｜r｜越接近于1，相关程度越大，故若｜r1｜＝0.96，则说明变量x，y之间线性相关性强，故A正确；只有｜r1｜＞｜r2｜，才能说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强，故B错误；当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关，故若0＜r1＜1，则说明变量x，y之间的相关性为正相关，故C正确；｜r｜越接近于0，相关程度越小，故若r1＝0，则说明变量x，y之间不相关，故D正确.故选A、C、D.
12.二、四 解析：由r＝＜0，则（xi－）（yi－）＜0，所以大多数点xi－与yi－异号，又（，）为坐标原点，故大多数的点都落在第二、四象限.
13.解：由题意得＝×（8＋11＋14＋20＋23＋26）＝17，（xi－）2＝（8－17）2＋（11－17）2＋（14－17）2＋（20－17）2＋（23－17）2＋（26－17）2＝252，∴r＝＝＝≈0.97，
由此可得这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系.
14.解：（1）＝3，＝100，（xi－）（yi－）＝－80，（xi－）2＝10，（yi－）2＝750，
则r＝＝≈－0.924，故y与x的线性相关程度很高.
（2）从4月份选取的4人分别记为a1，a2，a3，a4，从5月份选取的2人分别记为B1，B2.从这6人中任意抽取2人进行交通法规调查包含的样本点有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，B1），（a1，B2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，B1），（a2，B2），（a3，a4），（a3，B1），（a3，B2），（a4，B1），（a4，B2），（B1，B1），共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的样本点为（a1，B1），（a1，B2），（a2，B1），（a2，B2），（a3，B1），（a3，B2），（a4，B1），（a4，B2），共8个，故所求概率为.
2 / 39.1.1 变量的相关性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，体会两个变量间的相关关系 数学抽象
2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断 直观想象
3.了解两个变量间的样本相关系数r，能利用样本相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小 数据分析
有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系.我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量.
【问题】 这两个变量之间的关系是函数关系吗？
知识点一 相关关系
两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性 关系，这种关系称为相关关系.
提醒 相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系；不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系；②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响.
知识点二 散点图与相关性
1.散点图
为直观地描述样本数据中两个变量间的关系，用横坐标表示其中的一个变量，纵坐标表示另一个变量，则样本数据都可以用平面直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图称为散点图.
2.线性相关关系
在散点图中，散点散布在 附近，说明这两个变量具有相关关系.我们将具有这种特性的相关关系称为线性相关关系.
3.相关关系的分类
具有相关关系的两个变量的散点图：
（1）如果散点呈从 向 方向发展的趋势，称这两个变量之间正相关.
（2）如果散点呈从 向 方向发展的趋势，则称这两个变量之间负相关.
知识点三 样本相关系数
1.样本相关系数
我们将 称为n对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的样本相关系数，记为 ，
即r＝
＝
＝ .
2.样本相关系数的性质
（1）－1≤r≤1；
（2）r＞0时y与x呈 相关关系，r＜0时y与x呈 相关关系；
（3）｜r｜越接近 ，y与x相关的程度就越强，｜r｜越接近 ，y与x相关的程度就越弱.
提醒 通常情况下当｜r｜＞0.5时，认为线性相关关系显著；当｜r｜＜0.3时，认为几乎没有线性相关关系；当｜r｜＝1时，说明成对样本数据落在一条直线上.
【想一想】
能否说“r越大，两个变量的相关性越强；r越小，两个变量的相关性越弱”？
1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）
A.正方体的棱长与体积
B.土地单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量
C.日照时间与水稻的亩产量
D.电压一定时，电流与电阻
2.（多选）如图是根据x，y的观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（ ）
3.已知甲、乙、丙3组数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中 （填“甲、乙、丙”中的一个）组数据的线性相关性最强.
题型一 变量间的相关关系的判断
【例1】 （链接教科书第151页例1）（多选）下列两个变量存在相关关系的为（ ）
A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系
C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系
通性通法
两个变量之间相关关系的判断方法
（1）根据生活、学习经验进行判断；
（2）根据两个变量相应值的对应关系进行判断.
【跟踪训练】
（多选）下列说法正确的是（ ）
A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系
C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系
题型二 散点图与相关性
【例2】 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
通性通法
由散点图判断线性相关关系的方法
通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量之间就是线性相关关系，注意不要受个别点的影响.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）对变量x，y有成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（如图①）；对变量u，v有成对样本数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（如图②）.由这两个散点图可以判断（ ）
A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关
题型三 样本相关系数及应用
角度1 样本相关系数的性质
【例3】 （1）两个变量x，y的样本相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确的是（ ）
A.x与y正相关
B.x与y具有较强的线性相关关系
C.x与y不具有线性相关关系
D.x与y的线性相关关系还需进一步确定
（2）如图①②分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为r1，B组成对数据的样本相关系数为r2，则r1与r2的大小关系为（ ）
A.r1＝r2 B.r1＜r2
C.r1＞r2 D.无法判断
通性通法
样本相关系数r的性质
（1）r的绝对值越接近0，相关性越弱；
（2）r的绝对值越接近1，相关性越强；
（3）在散点图中，散点分布越接近直线，相关性越强.
角度2 样本相关系数的计算及应用
【例4】 （链接教科书第156页例2）近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4，5），数据如表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标 数x 2 4 5 6 8
B指标 数y 3 4 4 4 5
经计算得＝2，＝.
（1）画出（x，y）的散点图；
（2）试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系.
附：样本相关系数公式
r＝；
参考数据：≈0.95.
通性通法
样本相关系数的计算步骤
（1）求出，的值；
（2）求出（xi－）（yi－），（xi－）2，（yi－）2的值；
（3）代入公式计算得结果.
【跟踪训练】
1.（2024·徐州月考）由四组统计数据绘制的散点图如下，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3
C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3
2.假设关于某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知＝90，＝140.78，xiyi＝112.3.
（1）求，；
（2）对x，y进行线性相关性检验.
1.下列两个变量存在相关关系的是（ ）
A.利息与利率 B.居民收入与储蓄存款
C.电视机产量与苹果产量 D.某种商品的销售数量一定时，销售额与销售价格
2.观察下列关于两个变量x和y的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（ ）
A.正相关、负相关、不相关 B.负相关、不相关、正相关
C.负相关、正相关、不相关 D.正相关、不相关、负相关
3.在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别为（1，2），（2，0），（4，－4），（－1，6），则y与x的样本相关系数为 .
9.1.1 变量的相关性
【基础知识·重落实】
知识点一
函数
知识点二
2.一条直线 3.（1）左下 右上 （2）左上 右下
知识点三
1. r
2.（2）正 负 （3）1 0
想一想
提示：不能.｜r｜越大，两个变量的相关性越强；｜r｜越小，两个变量的相关性越弱.
自我诊断
1.C 对于A，由正方体的体积公式知，正方体的棱长与体积是函数关系，不是相关关系；对于B，单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量是确定的关系，不是相关关系；对于C，日照时间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间是相关关系；对于D，电压一定时，电流与电阻是函数关系，不是相关关系.故选C.
2.AD 由题图知，B、C的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；A中y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关；D中y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，x与y正相关.
3.乙 解析：两个变量y与x的样本相关系数的绝对值越接近于1，它的线性相关性越强.在所给的数值中－0.98是绝对值最大的值，即乙的线性相关性最强.
【典型例题·精研析】
【例1】 BCD 扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系.
跟踪训练
ABD 闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，D正确.
【例2】 解：（1）散点图如下：
（2）从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加.
跟踪训练
C 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关.
【例3】 （1）B （2）C 解析：（1）x与y负相关，又｜r｜非常接近1，所以x与y具有较强的线性相关关系，故选B.
（2）由题图①可知，散点几乎在一条直线上，且呈正相关，∴r1＞0，由题图②可知，散点分布在一条直线附近，且呈正相关，∴r2＞0.又A组成对数据的线性相关程度比B组强，∴r1＞r2，故选C.
【例4】 解：（1）画出（x，y）的散点图，如图所示：
（2）＝＝5，
＝＝4，
（xi－）（yi－）＝6，
故r＝＝＝≈0.95.
因为r≈0.95，所以可以推断y与x呈正相关，且具有较强的线性相关关系.
跟踪训练
1.A 由样本相关系数的定义以及散点图可知r2＜r4＜0＜r3＜r1，故选A.
2.解：（1）＝＝4，
＝＝5.
（2）xiyi－5 ＝112.3－5×4×5＝12.3，
－5＝90－5×42＝10，
－5＝140.78－125＝15.78，
所以r＝≈0.979，
所以x与y之间具有很强的正相关关系.
随堂检测
1.B 选项A中的两个变量具有函数关系；选项B中居民收入与储蓄存款具有相关关系，一般来说，居民收入越高对应的储蓄存款越多；选项C中的电视机产量与苹果产量无任何关系；选项D中某种商品的销售数量一定时，销售额与销售价格具有函数关系.
2.D 由散点图与相关性的概念可知从左到右的第一个图是正相关，第二个图相关性不明确，所以不相关，第三个图是负相关.故选D.
3.－1 解析：由题得＝1.5，＝1，＝22，＝56，xiyi＝－20，样本相关系数r＝＝－1.
5 / 5(共65张PPT)
9.1.1 变量的相关性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，体会两个变量间的相关关系 数学抽象
2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线
性相关关系进行判断 直观想象
3.了解两个变量间的样本相关系数r，能利
用样本相关系数r判断两个变量线性相关程
度的大小 数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就
不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成
绩之间存在着某种关系.我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量.
【问题】 这两个变量之间的关系是函数关系吗？
知识点一 相关关系
两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性 关系，这
种关系称为相关关系.
提醒 相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关
系；不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确
定的关系；②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因受许多不
确定的随机因素的影响.
函数
知识点二 散点图与相关性
1. 散点图
为直观地描述样本数据中两个变量间的关系，用横坐标表示其中的
一个变量，纵坐标表示另一个变量，则样本数据都可以用平面直角
坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图称为散点图.
2. 线性相关关系
在散点图中，散点散布在 附近，说明这两个变量具有
相关关系.我们将具有这种特性的相关关系称为线性相关关系.
一条直线
3. 相关关系的分类
具有相关关系的两个变量的散点图：
（1）如果散点呈从 向 方向发展的趋势，称这两
个变量之间正相关.
（2）如果散点呈从 向 方向发展的趋势，则称这
两个变量之间负相关.
左下
右上
左上
右下
知识点三 样本相关系数
1. 样本相关系数
我们将 称为n对数据（x1，y1），
（x2，y2），…，（xn，yn）的样本相关系数，记为 ，
r
即r＝
＝
＝ .
2. 样本相关系数的性质
（1）－1≤r≤1；
（2）r＞0时y与x呈 相关关系，r＜0时y与x呈 相关
关系；
（3）｜r｜越接近 ，y与x相关的程度就越强，｜r｜越接
近 ，y与x相关的程度就越弱.
正
负
1
0
提醒 通常情况下当｜r｜＞0.5时，认为线性相关关系显
著；当｜r｜＜0.3时，认为几乎没有线性相关关系；当｜
r｜＝1时，说明成对样本数据落在一条直线上.
【想一想】
能否说“r越大，两个变量的相关性越强；r越小，两个变量
的相关性越弱”？
提示：不能.｜r｜越大，两个变量的相关性越强；｜r｜越
小，两个变量的相关性越弱.
1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）
A. 正方体的棱长与体积
B. 土地单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量
C. 日照时间与水稻的亩产量
D. 电压一定时，电流与电阻
解析： 对于A，由正方体的体积公式知，正方体的棱长与体积
是函数关系，不是相关关系；对于B，单位面积的产量为常数时，
土地面积与总产量是确定的关系，不是相关关系；对于C，日照时
间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间是相关关系；
对于D，电压一定时，电流与电阻是函数关系，不是相关关系.故
选C.
2. （多选）如图是根据x，y的观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，
10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有线性相
关关系的图是（ ）
解析： 由题图知，B、C的点呈片状分布，没有明显的线
性相关关系；A中y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x
与y负相关；D中y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，x与
y正相关.
3. 已知甲、乙、丙3组数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98，
0.63，其中 （填“甲、乙、丙”中的一个）组数据的线性相
关性最强.
解析：两个变量y与x的样本相关系数的绝对值越接近于1，它的线
性相关性越强.在所给的数值中－0.98是绝对值最大的值，即乙的
线性相关性最强.
乙
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 变量间的相关关系的判断
【例1】 （链接教科书第151页例1）（多选）下列两个变量存在相
关关系的为（ ）
A. 扇形的半径与面积之间的关系
B. 降雪量与交通事故的发生率之间的关系
C. 人的身高与体重之间的关系
D. 家庭的支出与收入之间的关系
解析：扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系.
通性通法
两个变量之间相关关系的判断方法
（1）根据生活、学习经验进行判断；
（2）根据两个变量相应值的对应关系进行判断.
【跟踪训练】
（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B. 同一物体的加速度与作用力是函数关系
C. 产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D. 广告费用与销售量之间的关系是相关关系
解析： 闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关
性，是相关关系，A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关
系，B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用
与销售量之间是相关关系，D正确.
题型二 散点图与相关性
【例2】 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/
亩）：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图；
解： 散点图如图：
（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？
水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
解： 从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻
产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，
因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只
是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施
化肥量的增加而增加.
通性通法
由散点图判断线性相关关系的方法
通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行
判断.如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两
个变量之间就是线性相关关系，注意不要受个别点的影响.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）对变量x，y有成对样本数据（xi，yi）（i＝1，
2，…，10），得散点图（如图①）；对变量u，v有成对样本数据
（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（如图②）.由这两个散
点图可以判断（ ）
A. 变量x与y正相关，u与v正相关
B. 变量x与y正相关，u与v负相关
C. 变量x与y负相关，u与v正相关
D. 变量x与y负相关，u与v负相关
解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关.
题型三 样本相关系数及应用
角度1 样本相关系数的性质
【例3】 （1）两个变量x，y的样本相关系数r＝－0.996 2，则下列
说法中正确的是（ B ）
A. x与y正相关
B. x与y具有较强的线性相关关系
C. x与y不具有线性相关关系
D. x与y的线性相关关系还需进一步确定
B
解析： x与y负相关，又｜r｜非常接近1，所以x与y具有
较强的线性相关关系，故选B.
（2）如图①②分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点
图，已知A组成对数据的样本相关系数为r1，B组成对数据的样
本相关系数为r2，则r1与r2的大小关系为（ C ）
A. r1＝r2 B. r1＜r2
C. r1＞r2 D. 无法判断
C
解析：由题图①可知，散点几乎在一条直线上，且呈正相关，
∴r1＞0，由题图②可知，散点分布在一条直线附近，且呈正相
关，∴r2＞0.又A组成对数据的线性相关程度比B组强，∴r1＞
r2，故选C.
通性通法
样本相关系数r的性质
（1）r的绝对值越接近0，相关性越弱；
（2）r的绝对值越接近1，相关性越强；
（3）在散点图中，散点分布越接近直线，相关性越强.
角度2 样本相关系数的计算及应用
【例4】 （链接教科书第156页例2）近年来，随着互联网的发展，
网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给
城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在M省的发展情况，M
省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的
A，B两项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4，5），数据如表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标数x 2 4 5 6 8
B指标数y 3 4 4 4 5
经计算得 ＝2 ， ＝ .
（1）画出（x，y）的散点图；
解： 画出（x，y）的散点图，如图所示：
（2）试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有
较强的线性相关关系.
附：样本相关系数公式
r＝ ；
参考数据： ≈0.95.
解： ＝ ＝5，
＝ ＝4，
（xi－ ）（yi－ ）＝6，
故r＝ ＝ ＝ ≈0.95.
因为r≈0.95，所以可以推断y与x呈正相关，且具有较强的线性相关
关系.
通性通法
样本相关系数的计算步骤
（1）求出 ， 的值；
（2）求出 （xi－ ）（yi－ ）， （xi－ ）2， （yi－ ）2
的值；
（3）代入公式计算得结果.
【跟踪训练】
1. （2024·徐州月考）由四组统计数据绘制的散点图如下，关于其样
本相关系数的比较，正确的是（ ）
A. r2＜r4＜0＜r3＜r1 B. r4＜r2＜0＜r1＜r3
C. r4＜r2＜0＜r3＜r1 D. r2＜r4＜0＜r1＜r3
解析： 由样本相关系数的定义以及散点图可知r2＜r4＜0＜r3＜
r1，故选A.
2. 假设关于某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万
元）有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知 ＝90， ＝140.78， xiyi＝112.3.
（1）求 ， ；
解： ＝ ＝4， ＝ ＝5.
（2）对x，y进行线性相关性检验.
解： xiyi－5 ＝112.3－5×4×5＝12.3，
－5 ＝90－5×42＝10，
－5 ＝140.78－125＝15.78，
所以r＝ ≈0.979，
所以x与y之间具有很强的正相关关系.
1. 下列两个变量存在相关关系的是（ ）
A. 利息与利率
B. 居民收入与储蓄存款
C. 电视机产量与苹果产量
D. 某种商品的销售数量一定时，销售额与销售价格
解析： 选项A中的两个变量具有函数关系；选项B中居民收入与
储蓄存款具有相关关系，一般来说，居民收入越高对应的储蓄存款
越多；选项C中的电视机产量与苹果产量无任何关系；选项D中某
种商品的销售数量一定时，销售额与销售价格具有函数关系.
2. 观察下列关于两个变量x和y的三个散点图，它们从左到右的对应
关系依次为（ ）
A. 正相关、负相关、不相关
B. 负相关、不相关、正相关
C. 负相关、正相关、不相关
D. 正相关、不相关、负相关
解析： 由散点图与相关性的概念可知从左到右的第一个图是正
相关，第二个图相关性不明确，所以不相关，第三个图是负相关.
故选D.
3. 在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别为（1，2），（2，
0），（4，－4），（－1，6），则y与x的样本相关系数为
.
解析：由题得 ＝1.5， ＝1， ＝22， ＝56， xiyi＝
－20，样本相关系数r＝ ＝－1.
－
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆的面积与半径之间的关系是相关关系
B. 体育锻炼与身体健康指标之间的关系是函数关系
C. 一定范围内，学生的成绩与学习时间正相关
D. 人的体重与视力负相关
解析： 圆的面积与半径之间的关系是确定的函数关系，所以A
中说法错误；体育锻炼与身体健康指标之间的关系不是函数关系，
是相关关系，所以B中说法错误；人的体重与视力没有关系，所以
D中说法错误；易知C中说法正确.故选C.
2. 下列图形中具有相关关系的两个变量是（ ）
解析： A和B符合函数关系；从C、D散点图来看，D的散点都
在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系.
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3. （2024·南通月考）已知四组不同数据的两变量的样本相关系数如
下：数据组①：r1＝0；数据组②：r2＝－0.95；数据组③：｜r3｜
＝0.89；数据组④：r4＝0.75.下列说法正确的是（ ）
A. 数据组①对应的数据点都在同一直线上
B. 数据组②中的两变量线性相关性最强
C. 数据组③中的两变量线性相关性最强
D. 数据组④中的两变量线性相关性最弱
解析： 数据组①中r1＝0，表明两变量不具有线性相关性，故A
错误；因为｜r2｜＞｜r3｜＞｜r4｜＞｜r1｜，所以数据组②中的
两变量线性相关性最强，故B正确，C错误；数据组①中r1＝0，则
两变量线性相关性最弱，故D错误.
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4. 某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计
表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均销售额 6 5 8 3 4 7
利润率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是（ ）
A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系
B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系
C. 利润率与人均销售额成正相关关系
D. 利润率与人均销售额成负相关关系
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解析： 根据题意，画出利润
与人均销售额的散点图，如图
所示：
由散点图知，利润率与人均销
售额成正相关关系.故选C.
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5. （2024·苏州月考）第一组样本点为（－5，－8.9），（－4，－
7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第
二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，
3.3），（5，0.9），第一组变量的样本相关系数为r1，第二组变
量的样本相关系数为r2，则（ ）
A. r1＞0＞r2 B. r2＞0＞r1
C. r1＜r2＜0 D. r2＞r1＞0
解析： 观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故r1＞0；观
察第二组样本点，y随x的增大而减小，故r2＜0.综上：r1＞0＞r2.
故选A.
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6. （多选）某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点
的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 沸点与海拔高度呈正相关
B. 沸点与气压呈正相关
C. 沸点与海拔高度呈负相关
D. 沸点与海拔高度、沸点与
气压的相关性都很强
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解析： 由题左图知气压随海拔高度的增加而减小，由题
右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，
沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分
布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故
B、C、D正确，A错误.
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7. 以下是收集到的某物品的销售价格y（万元）和物品的大小x
（m2）的数据：
物品大小
/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/
万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
则根据数据可以判断x，y 相关关系.（填“有”或“无”）
解析：由数据表可以看出，两个变量的变化趋势为物品大小的值由
小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系.
有
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8. 已知 （yi－ ）2是 （xi－ ）2的4倍， （xi－ ）·（yi－
）是 （xi－ ）2的1.5倍，则样本相关系数r＝ .
解析：由r＝ ，得r＝ .
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9.5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生 成绩 学科 A B C D E
数学 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
画出散点图，并判断它们是否具有相关关系.
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解：把数学成绩作为横坐标，把相应的
物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中
描点，作出散点图如图.
从图中可以直观地看出数学成绩和物理
成绩具有相关关系，且当数学成绩增大
时，物理成绩也在由小变大，即它们是正相关.
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10. （2024·扬州月考）已知两组数据a1，a2，…，a10和b1，
b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z时，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z
时，bi＝ai，b10＝a，我们研究这两组数据的相关性，在集合
{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则
a＝（ ）
A. 8 B. 11
C. 12 D. 13
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解析： 设点的坐标为（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由题意
得前9个点位于直线y＝x上，a10＝10，则要使相关性更强，b10应
更接近10，四个选项中11更接近10，故选B.
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11. （多选）已知变量x，y的样本相关系数为r1，变量m，n的样本
相关系数为r2，下列说法中正确的有（ ）
A. 若｜r1｜＝0.96，则说明变量x，y之间的线性相关性强
B. 若r1＞r2，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强
C. 若0＜r1＜1，则说明变量x，y之间的相关性为正相关
D. 若r1＝0，则说明变量x，y之间不相关
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解析： ｜r｜越接近于1，相关程度越大，故若｜r1｜＝
0.96，则说明变量x，y之间线性相关性强，故A正确；只有｜
r1｜＞｜r2｜，才能说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，
n之间的线性相关性强，故B错误；当r＞0时，表明两个变量正相
关；当r＜0时，表明两个变量负相关，故若0＜r1＜1，则说明变
量x，y之间的相关性为正相关，故C正确；｜r｜越接近于0，相
关程度越小，故若r1＝0，则说明变量x，y之间不相关，故D正
确.故选A、C、D.
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12. 已知某个样本点中的变量x，y线性相关，样本相关系数r＜0，则
在以（ ， ）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点
都落在第 象限.
解析：由r＝ ＜0，则 （xi－ ）
（yi－ ）＜0，所以大多数点xi－ 与yi－ 异号，又（ ， ）
为坐标原点，故大多数的点都落在第二、四象限.
二、四
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13. 某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组试
验，试验数据经整理得到如图所示的折线图，由图可以看出，这
种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系，请用样本
相关系数加以说明.
附： （xi－ ）（yi－ ）＝85， ＝5.5， ≈2.65.
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解：由题意得 ＝ ×（8＋11＋14＋20＋23＋26）＝17，
（xi－ ）2＝（8－17）2＋（11－17）2＋（14－17）2＋（20
－17）2＋（23－17）2＋（26－17）2＝252，∴r＝
＝ ＝ ≈0.97，
由此可得这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系.
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14. （2024·南京月考）交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，
应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行；机动
车行经没有交通信号灯的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我
们将符合这条规定的行为称为“礼让斑马线”，不符合这条规定
的行为称为“不礼让斑马线”.下表是某市某十字路口监控设备所
抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：
月份x 1 2 3 4 5
“不礼让斑马
线”的驾驶员
人数y 120 105 100 85 90
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（1）根据表中所给的5个月的数据，请计算样本相关系数r并加
以说明；
解： ＝3， ＝100， （xi－ ）（yi－ ）＝－
80， （xi－ ）2＝10， （yi－ ）2＝750，
则r＝ ＝ ≈－0.924，故y与
x的线性相关程度很高.
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（2）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2
人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交通法规的调查，
求抽取的2人分别来自两个月份的概率.
参考公式：样本相关系数r＝ .
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解： 从4月份选取的4人分别记为a1，a2，a3，a4，从5
月份选取的2人分别记为B1，B2.从这6人中任意抽取2人进
行交通法规调查包含的样本点有（a1，a2），（a1，a3），
（a1，a4），（a1，B1），（a1，B2），（a2，a3），
（a2，a4），（a2，B1），（a2，B2），（a3，a4），
（a3，B1），（a3，B2），（a4，B1），（a4，B2），
（B1，B1），共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月
份”包含的样本点为（a1，B1），（a1，B2），（a2，
B1），（a2，B2），（a3，B1），（a3，B2），（a4，
B1），（a4，B2），共8个，故所求概率为 .
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谢 谢 观 看！
