第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断
1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
则回归模型拟合效果最好的是（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
2.某样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的经验回归方程为＝0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值为（ ）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.（2024·泰州月考）已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为（ ）
A.4.94 B.5.74
C.6.81 D.8.04
4.如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝＋c（x＞0），令t＝，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（ ）
A.（0.01，0.02） B.（50，100）
C.（0.02，0.04） D.（100，200）
5.（多选）某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A.样本相关系数r变小 B.决定系数R2变大
C.残差平方和变大 D.自变量x与因变量y的相关性变强
6.（多选）（2024·苏州月考）某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程＝x＋14.4，则以下说法正确的是（ ）
A.样本相关系数r＞0
B.＝－0.32
C.若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg
D.第四个样本点对应的残差为－0.4
7.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为 .
8.（2024·南通月考）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如下表所示，根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.6x＋.据此计算出在样本（4，3）处的残差为－0.15，则表中m＝ .
x 3 4 5 6
y 2 3 4 m
9.（2024·南京质检）“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
某新能源汽车 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
（1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2025年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1）
参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）.
10.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法计算得经验回归方程＝0.29x＋34.7.
（1）计算各组残差，并计算残差平方和；
（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.
11.某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（单位：t）与相应的生产总成本y（单位：万元）的五组对照数据.
产量x/t 1 2 3 4 5
生产总成本y/万元 3 7 8 10 12
（1）根据上表数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的经验回归方程＝x＋.
（2）记第（1）问中所求y与x的经验回归方程＝x＋为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：＝x2＋1.其中模型②的残差图（残差＝实际值－估计值）如图所示.
请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由.
（3）根据模型①中y与x的经验回归方程，预测产量为6 t时生产总成本为多少万元.
第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断
1.A 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.
2.B 当x＝8时，y的预测值＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故选B.
3.C 令t＝ln x，则＝bt＋0.24.由题意得，＝4.2，＝3，由线性经验回归直线过样本的中心点，有b＝，所以＝ln x＋0.24，将x＝e10代入得≈6.81.故选C.
4.D 根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25）可得：解得所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜＜0.01，所以100＜x＜200，故选D.
5.BD 根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D.
6.BCD 对于A、B，由题表中的数据，得＝＝20，＝＝8，将，代入＝x＋14.4得＝－0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代入＝－0.32x＋14.4，得＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选B、C、D.
7.＝e0.25x－2.58 解析：由z＝ln y，＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以＝e0.25x－2.58.故该模型的回归方程为＝e0.25x－2.58.
8.4.8 解析：∵样本（4，3）处的残差为－0.15，且y关于x的经验回归方程为＝0.6x＋，∴3－（0.6×4＋）＝－0.15，解得＝0.75，故经验回归方程为＝0.6x＋0.75，∵＝＝4.5，＝＝，∴＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8.
9.解：（1）根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.
（2）令w＝x2，则＝w＋.
易知＝11，＝＝≈2.28，
＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36，
所以＝2.28w－2.36，
所以y关于x的回归方程为＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得＝79.72≈79.7.
故预测2025年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆.
10.解：（1）由＝xi＋，可以算得＝yi－.
分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，
所以残差平方和为（）2≈8.43.
（2）由表中数据得＝43.5，（yi－）2＝50.18，
故R2＝1－≈1－≈0.832.
所以回归模型的拟合效果较好.
11.解：（1）计算＝（1＋2＋3＋4＋5）＝3，
＝（3＋7＋8＋10＋12）＝8，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141，
＝＝＝2.1，
＝－＝8－2.1×3＝1.7，
因此，经验回归方程为＝2.1x＋1.7.
（2）模型①的残差表为
x 1 2 3 4 5
y 3 7 8 10 12
3.8 5.9 8 10.1 12.2
－0.8 1.1 0 －0.1 －0.2
画出残差图，如图所示：
结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，理由1：模型①的5个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；
理由2：模型①的5个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近x轴.（写出一个理由即可）
（3）根据模型①中y与x的经验回归方程，计算x＝6时，＝2.1×6＋1.7＝14.3，
所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元.
3 / 3第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近.
【问题】 你能求出这个函数模型吗？
知识点一 非线性经验回归方程
1.非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系.
2.非线性经验回归方程
当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程.
3.求非线性经验回归方程的一般步骤
知识点二 残差分析
1.残差：一般地，我们将 与对应的估计值 称为残差.残差是随机误差ε的估计结果.
2.残差图：以观测值为横坐标，残差为纵坐标作点，可以画出残差图.
3.残差分析：通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
知识点三 对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地分布在横轴的两边，则说明回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.
2.残差平方和法*：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好.
3.决定系数R2法*：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.（ ）
（2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好.（ ）
（3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.（ ）
2.已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第几个（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
3.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（ ）
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2
题型一 求非线性经验回归方程
【例1】 （2024·扬州月考）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示.
（1）利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（2）对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表：
vi ui （ui－）（vi－） （ui－）2
15 15 28.25 56.5
根据（1）的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程.
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
通性通法
非线性回归问题的处理方法
（1）指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据线性回归模型的方法求出a，b；
（2）对数函数型y＝bln x＋a：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b；
（3）y＝bx2＋a型：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
【跟踪训练】
1.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t＝（ ）
A.x2 B.（x＋a）2
C.（x＋）2 D.以上都不对
2.（2024·镇江月考）已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
题型二 残差与残差分析
【例2】 （2024·徐州月考）某运动员训练次数x与成绩y的数据如表：
次数x 30 33 35 37 39 44 46 50
成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51
（1）建立成绩y关于次数x的经验回归方程（结果精确到0.001）；
（2）用残差分析的方法判断用线性回归模型是否合理.
参考数据：＝12 656，xiyi＝13 180.
通性通法
1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
2.残差是随机误差的估计值，＝yi－.
【跟踪训练】
1.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（ ）
2.已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程为＝2x＋，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（ ）
A.r＝s B.s＝2r
C.s＝－2r＋3 D.s＝2r＋1
题型三 残差平方和法*与决定系数R2法*
【例3】 已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
（参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2）
通性通法
刻画回归效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适；
（2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好；
（3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好.
【跟踪训练】
1.一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型残差平方和的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的是（ ）
A.模型① B.模型②
C.模型③ D.模型④
2.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多.
1.（2024·淮安月考）某种产品的投入x（单位：万元）与收入y（单位：万元）之间的关系如下表所示：
x/万元 2 4 5 6 8
y/万元 30 40 60 50 70
若y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则相应于点（4，40）的残差为（ ）
A.－4.5 B.4.5
C.－3.5 D.3.5
2.用模型y＝aebx＋1（a＞0）拟合一组数据时，令z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝2x＋a，则＝（ ）
A.e B.
C. D.2
第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断
【基础知识·重落实】
知识点二
1.观测值 之差
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√
2.B 原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大.
3.B 由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由散点图可知，选择回归方程类型y＝c·xd更适合.
（2）对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du.
由表中数据求得＝＝＝，
＝＝＝.
令ln c＝m，
则＝－＝－×＝，即c＝，
所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为＝.
跟踪训练
1.C y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，则y＝at＋为y关于t的经验回归方程.
2.e7.5 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
【例2】 解：（1）∵＝39.25，＝40.875，
∴＝
＝≈1.041，
＝－≈0.016.
∴经验回归方程为＝1.041x＋0.016.
（2）某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为
x 30 33 35 37
y 30 34 37 39
ε＝y－ －1.246 －0.369 0.549 0.467
x 39 44 46 50
y 42 46 48 51
ε＝y－ 1.385 0.18 0.098 －1.066
残差图如图所示.
由图可知，残差比较均匀地分布在横轴的两边，说明该线性回归模型比较合理.
跟踪训练
1.A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
2.C 样本点（r，1）的残差为1－2r－，样本点（1，s）的残差为s－－2，依题意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3.
【例3】 解：（1）＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1.
（2）列出残差表为
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好.
跟踪训练
1.C 残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以C正确.故选C.
2.85% 15% 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
随堂检测
1.C ＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5.
2.D 对y＝aebx＋1（a＞0）两边同时取自然对数，得ln y＝ln（aebx＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，则z＝bx＋ln a＋1，所以解得所以＝2.故选D.
4 / 5(共70张PPT)
第2课时
非线性回归模型及拟合效果的判断
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据
如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度
y/cm 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这
些散点不在一条直线附近.
【问题】 你能求出这个函数模型吗？
知识点一 非线性经验回归方程
1. 非线性回归分析的思想
研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如
果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有
线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之
间的关系.
2. 非线性经验回归方程
当回归方程不是形如 ＝ x＋ （ ， ∈R）时，称之为非线性
经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分
布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回
归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程.
3. 求非线性经验回归方程的一般步骤
知识点二 残差分析
1. 残差：一般地，我们将 与对应的估计值 称为残
差.残差是随机误差ε的估计结果.
2. 残差图：以观测值为横坐标，残差为纵坐标作点，可以画出残
差图.
3. 残差分析：通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及
判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
观测值
之差
知识点三 对模型刻画数据效果的分析
1. 残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地分布在横轴的两
边，则说明回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区
域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.
2. 残差平方和法*：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效果
越好.
3. 决定系数R2法*：可以用R2＝1－ 来比较两个模型的拟
合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效
果越差.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.
（ √ ）
（2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好. （ × ）
（3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.
（ √ ）
√
×
√
2. 已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的
是从左到右第几个（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数
据，即偏离平衡位置过大.
3. 某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单
位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点
图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是
（ ）
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bln x
C. y＝a＋bex D. y＝a＋bx2
解析： 由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效
果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不
符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合
要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，
不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又
有下降，不符合要求.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求非线性经验回归方程
【例1】 （2024·扬州月考）某企业为确定下一年投入某种产品的研
发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单
位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量
yi（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示.
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），
其经验回归直线 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估计分别
为 ＝ ， ＝ － .
（1）利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均为大于0的
常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程
类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
解： 由散点图可知，选择回归方程类型y＝c·xd更适合.
（2）对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量
的值如下表：
15 15 28.25 56.5
根据（1）的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程.
解：对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du.
由表中数据求得 ＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝ .
令ln c＝m，
则 ＝ － ＝ － × ＝ ，即c＝ ，
所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为 ＝ .
通性通法
非线性回归问题的处理方法
（1）指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx
＋a.令z＝ln y，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根
据线性回归模型的方法求出a，b；
（2）对数函数型y＝bln x＋a：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋
a，再根据线性回归模型的方法求出a，b；
（3）y＝bx2＋a型：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线
性回归模型的方法求出a，b.
【跟踪训练】
1. 若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回
归方程，则需做变换t＝（ ）
A. x2 B. （x＋a）2
D. 以上都不对
解析： y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋ （a≠0），可
令t＝（x＋ ）2，则y＝at＋ 为y关于t的经验回归方程.
2. （2024·镇江月考）已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝
ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相
关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
e7.5
解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z
＝bx－0.5，列表如下：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
z 1 3 4 6
＝ ＝2.5， ＝ ＝3.5 ，代入 ＝b －0.5得3.5＝
b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5
时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5.
题型二 残差与残差分析
【例2】 （2024·徐州月考）某运动员训练次数x与成绩y的数据
如表：
次数x 30 33 35 37 39 44 46 50
成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51
（1）建立成绩y关于次数x的经验回归方程（结果精确到0.001）；
解： ∵ ＝39.25， ＝40.875，
∴ ＝ ＝ ≈1.041，
＝ － ≈0.016.
∴经验回归方程为 ＝1.041x＋0.016.
（2）用残差分析的方法判断用线性回归模型是否合理.
参考数据： ＝12 656， xiyi＝13 180.
解： 某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为
x 30 33 35 37 39 44 46 50
y 30 34 37 39 42 46 48 51
－
1.246 －
0.369 0.549 0.467 1.385 0.18 0.098 －
1.066
残差图如图所示.
由图可知，残差比较均匀地分布在横轴的两边，说明该线性回归
模型比较合理.
通性通法
1. 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合
适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方
程的预报精度越高.
2. 残差是随机误差的估计值， ＝yi－ .
【跟踪训练】
1. 对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出
残差图，则下列模型拟合精度最高的是（ ）
解析： 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在
水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越
窄，说明模型的拟合精度越高.
2. 已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归
方程为 ＝2x＋ ，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，
则有（ ）
A. r＝s B. s＝2r
C. s＝－2r＋3 D. s＝2r＋1
解析： 样本点（r，1）的残差为1－2r－ ，样本点（1，s）
的残差为s－ －2，依题意得1－2r－ ＝s－ －2，故s＝－2r
＋3.
题型三 残差平方和法*与决定系数R2法*
【例3】 已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：
件）之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
（1）求y关于x的经验回归方程；
解： ＝ ×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝ ×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4，
所以 ＝ ＝ ＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是 ＝－1.15x＋28.1.
（2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.
（参考公式及数据： ＝ ， ＝ － ， ＝1
660， xiyi＝620， （yi－ ）2＝53.2）
解： 列出残差表为
0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以 （yi－ ）2＝0.3，且 （yi－ ）2＝53.2，
R2＝1－ ≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好.
通性通法
刻画回归效果的三种方法
（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用
的模型比较合适；
（2）残差平方和法：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效
果越好；
（3）决定系数法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的拟合效
果越好.
【跟踪训练】
1. 一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四
种模型残差平方和 的值分别是1.23，0.80，0.12，
1.36.则拟合效果最好的是（ ）
A. 模型① B. 模型②
C. 模型③ D. 模型④
解析： 残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方
和最小，所以C正确.故选C.
2. 在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，
则表明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献
了剩余的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的
效应大得多.
解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，
而随机误差贡献了剩余的15%.
85%
15%
1. （2024·淮安月考）某种产品的投入x（单位：万元）与收入y（单
位：万元）之间的关系如下表所示：
x/万元 2 4 5 6 8
y/万元 30 40 60 50 70
若y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，则相应于点（4，40）
的残差为（ ）
A. －4.5 B. 4.5
解析： ＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5.
C. －3.5 D. 3.5
2. 用模型y＝aebx＋1（a＞0）拟合一组数据时，令z＝ln y，将其变换
后得到经验回归方程z＝2x＋a，则 ＝（ ）
A. e
解析： 对y＝aebx＋1（a＞0）两边同时取自然对数，得ln y＝ln
（aebx＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，则z＝bx＋ln a＋1，所以
解得所以 ＝2.故选D.
D. 2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选
择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
则回归模型拟合效果最好的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
解析： 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.
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2. 某样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的经验回归方程为 ＝
0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值
与实际值的差值为（ ）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析： 当x＝8时，y的预测值 ＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故选B.
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3. （2024·泰州月考）已知变量y关于变量x的经验回归方程为 ＝
bln x＋0.24，其一组数据如表所示：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为（ ）
A. 4.94 B. 5.74
C. 6.81 D. 8.04
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解析： 令t＝ln x，则 ＝bt＋0.24.由题意得， ＝4.2， ＝
3，由线性经验回归直线过样本的中心点，有b＝ ，所以 ＝ ln
x＋0.24，将x＝e10代入得 ≈6.81.故选C.
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4. 如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝ ＋c（x＞0），
令t＝ ，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），
则当y∈（1.01，1.02）时，x的取值范围是（ ）
A. （0.01，0.02） B. （50，100）
C. （0.02，0.04） D. （100，200）
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解析： 根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回
归直线过点（2，5），（12，25）可得：解得
所以y＝2t＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1
＜1.02，所以0.005＜t＜0.01，所以0.005＜ ＜0.01，所以100＜
x＜200，故选D.
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5. （多选）某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去
掉D（3，10）后，下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数r变小
B. 决定系数R2变大
C. 残差平方和变大
D. 自变量x与因变量y的相关性变强
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解析： 根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线
性相关性加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D
对；去掉点D（3，10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C
错.故选B、D.
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6. （多选）（2024·苏州月考）某种商品的价格x（单位：元/kg）与
日需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得经验回归方程 ＝ x＋14.4，则以下说法正
确的是（ ）
A. 样本相关系数r＞0
C. 若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg
D. 第四个样本点对应的残差为－0.4
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解析： 对于A、B，由题表中的数据，得 ＝
＝20， ＝ ＝8，将 ， 代入 ＝ x＋14.4得 ＝－
0.32，所以A选项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代
入 ＝－0.32x＋14.4，得 ＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，
所以C选项说法正确；对于D，第四个样本点对应的残差为y4－
＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－0.4，所以D选项说法正确.故选
B、C、D.
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7. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一
条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为 ＝
0.25x－2.58，则该模型的回归方程为 .
解析：由z＝ln y， ＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以
＝e0.25x－2.58.故该模型的回归方程为 ＝e0.25x－2.58.
＝e0.25x－2.58
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8. （2024·南通月考）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某
种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如下表
所示，根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为 ＝0.6x＋
.据此计算出在样本（4，3）处的残差为－0.15，则表中m
＝ .
x 3 4 5 6
y 2 3 4 m
4.8
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解析：∵样本（4，3）处的残差为－0.15，且y关于x的经验回归
方程为 ＝0.6x＋ ，∴3－（0.6×4＋ ）＝－0.15，解得 ＝
0.75，故经验回归方程为 ＝0.6x＋0.75，∵ ＝ ＝4.5，
＝ ＝ ，∴ ＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8.
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9. （2024·南京质检）“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能
源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新
能源汽车的年销售量情况.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
某新能源汽车 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
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（1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜
作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断
即可，不必说明理由）
解： 根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量
y关于年份代码x的回归方程类型.
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（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方
程，并预测2025年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到
0.1）
参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－
）（yi－ ）＝851.2（其中wi＝ ）.
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解： 令w＝x2，则 ＝ w＋ .
易知 ＝11， ＝ ＝≈2.28，
＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36，
所以 ＝2.28w－2.36，
所以y关于x的回归方程为 ＝2.28x2－2.36.
令x＝6，得 ＝79.72≈79.7.
故预测2025年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆.
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10. 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得
5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
若由最小二乘法计算得经验回归方程 ＝0.29x＋34.7.
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（1）计算各组残差，并计算残差平方和；
解： 由 ＝ xi＋ ，可以算得 ＝yi－ .
分别为 ＝0.35， ＝0.718， ＝－0.5， ＝－
2.214， ＝1.624，
所以残差平方和为 （ ）2≈8.43.
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解： 由表中数据得 ＝43.5， （yi－ ）2＝50.18，
故R2＝1－ ≈1－ ≈0.832.
所以回归模型的拟合效果较好.
（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.
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11. 某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改
革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的
产量x（单位：t）与相应的生产总成本y（单位：万元）的五
组对照数据.
产量x/t 1 2 3 4 5
生产总成
本y/万元 3 7 8 10 12
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（1）根据上表数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于
x的经验回归方程 ＝ x＋ .
解： 计算 ＝ （1＋2＋3＋4＋5）＝3，
＝ （3＋7＋8＋10＋12）＝8，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141，
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＝ ＝ ＝2.1，
＝ － ＝8－2.1×3＝1.7，
因此，经验回归方程为 ＝2.1x＋1.7.
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（2）记第（1）问中所求y与x的经验回归方程 ＝ x＋ 为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②： ＝ x2＋1.其中模型②的残差图（残差＝实际值－估计值）如图所示.
请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一
个模型更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由.
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解： 模型①的残差表为
x 1 2 3 4 5
y 3 7 8 10 12
3.8 5.9 8 10.1 12.2
－0.8 1.1 0 －0.1 －0.2
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画出残差图，如图所示：
结论：模型①更适宜作为y
关于x的回归方程，理由1：
模型①的5个样本点的残差
点落在的带状区域比模型②
的带状区域更窄；
理由2：模型①的5个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近x轴.（写出一个理由即可）
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（3）根据模型①中y与x的经验回归方程，预测产量为6 t时生产
总成本为多少万元.
解： 根据模型①中y与x的经验回归方程，计算x＝6
时， ＝2.1×6＋1.7＝14.3，
所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元.
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谢 谢 观 看！
