9.2 独立性检验
1.随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由公式χ2＝（其中n＝a＋b＋c＋d）计算出χ2的值，并由此得出结论：有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，则χ2可以为（ ）
A.3.565 B.4.204
C.5.233 D.6.842
2.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到2×2列联表如下：
优秀 非优秀 合计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为15，b的值为50
C.列联表中c的值为20，b的值为50
D.由列联表可得出成绩与班级有关系
3.（2024·无锡月考）某学校学生服务中心为了了解在校学生对学校后勤工作的满意度，随机调查了200名学生，其中男女生比例为3∶2，并对这些学生进行了问卷调查，学生对后勤工作给出了满意或不满意的总体评价，得到如下2×2列联表：
满意 不满意 合计
男生 104
女生 24
合计 200
下列说法中正确的是（ ）
A.2×2列联表中男生不满意的人数为18
B.2×2列联表中女生满意的人数为54
C.没有99.5%的把握认为“男生与女生对后勤工作的评价有差异”
D.有99.5%的把握认为“男生与女生对后勤工作的评价有差异”
4.两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若有97.5%的把握认为X与Y有关系，则c＝（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.（多选）有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示，
Y
Y1 Y2
X X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，若有95%的把握认为X与Y有关系，则a的值可以为（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
6.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示：
小白鼠
死亡 存活 合计
剂量 第一种剂量 14 11 25
第二种剂量 6 19 25
合计 20 30 50
进行独立性检验的原假设是 ，χ2≈ .（结果保留两位小数）
7.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据P（χ2≥x0）＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据P（χ2≥x0）＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取的整数值为 .
附表：
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8.（2024·南京质检）在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的 倍.
9.（多选）（2024·苏州月考）某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生喜欢攀岩的占80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则（ ）
A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C.若参与调查的男、女生人数均为100，则依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联
D.无论参与调查的男、女生人数为多少，都可以依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联
10.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人.
参考数据及公式如下：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
11.某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表：
心理障碍
焦虑 说谎 懒惰 合计
性别 女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
合计 25 20 65 110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
12.某校的一个社会实践调查小组在对该校学生的用眼习惯的调查中，随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：
做不到科学用眼 能做到科学用眼 合计
男 45 x 45＋x
女 3x 15 3x＋15
合计 45＋3x 15＋x 100
（1）求表中的x；
（2）若在犯错误的概率不大于P的前提下认为用眼习惯与性别有关，那么根据临界值表（附表），最精确的P的值应为多少？
附：
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χ0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝.
9.2 独立性检验
1.D 因为有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，所以χ2＞6.635，故选D.
2.D 由题意得＝，解得c＝20，∵10＋c＋b＋30＝105，∴b＝45.又＝，＝，∵＜，∴成绩与班级有关系.
3.D 由题意得男生共120人，女生共80人，补全2×2列联表：
满意 不满意 合计
男生 104 16 120
女生 56 24 80
合计 160 40 200
提出假设H0：男生与女生对后勤工作的评价没有差异.由列联表中的数据可以求得χ2＝≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握认为，男生与女生对后勤工作的评价有差异.
4.A 列2×2列联表如下：
Y
y1 y2 合计
X x1 10 21 31
x2 c d 35
合计 10＋c 21＋d 66
故χ2＝≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证可知选A.
5.CD 由列联表中数据，得χ2＝＝＞3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9，A、B错误，C、D正确.故选C、D.
6.小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关 5.33 解析：提出假设H0：小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关，由列联表中的数据得χ2＝≈5.33.
7.6 解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6.
8.2 解析：由公式χ2＝
中所有值变为原来的2倍，得（χ2）'＝＝
＝2·＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍.
9.AC 由题意设参与调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表：
喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合计 1.1m 0.9m 2m
所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错误；由列联表中的数据，计算得到χ2＝＝，当m＝100时，χ2＝＝≈50.505＞10.828，所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据独立性检验，我们有99.9%的把握认为，喜欢攀岩和性别有关联，故C正确，D错误，故选A、C.
10.12 解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：
是否追星
追星 不追星 合计
性别 男生 x
女生
合计 x
若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则χ2＞3.841，由χ2＝＝＞3.841，解得x＞10.24，因为，，均为整数，所以若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人.
11.解：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量，，.
由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表：
是否焦虑
焦虑 不焦虑 合计
性别 女生 5 25 30
男生 20 60 80
合计 25 85 110
原假设为H0：焦虑与性别无关.
可得＝
≈0.863＜2.706，
所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出焦虑与性别有关的结论.
同理列出说谎是否与性别有关的2×2列联表：
是否说谎
说谎 不说谎 合计
性别 女生 10 20 30
男生 10 70 80
合计 20 90 110
＝≈6.366＞3.841，
所以我们有95%的把握认为，说谎与性别有关.
同理得＝≈1.410＜2.706.
所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出懒惰与性别有关的结论.
综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大.
12.解：（1）由表中数据， 列方程得
（45＋3x）＋（15＋x）＝100，解得x＝10.
（2）由（1）得2×2列联表如下：
做不到 科学用眼 能做到 科学用眼 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
由表中数据，计算得
χ2＝≈3.030.
因为2.706＜3.030＜3.841，所以根据临界值表可知最精确的P值应为0.1.
3 / 39.2 独立性检验
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义 数学建模
2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用 数据分析
吸烟已成为全球范围内严重危害健康、危害人类生存环境、降低人们的生活水平、缩短人类寿命的紧迫问题.为此，联合国将每年5月31日定为全球戒烟日.
【问题】 你知道是如何判定吸烟有害健康的吗？
知识点一 2×2列联表
一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2. 我们得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1 类2 合计
Ⅰ 类A a b a＋b
类B c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
上述表格称为2×2列联表.
提醒 在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关联，则应满足≈，即ad－bc≈0.因此，｜ad－bc｜越小，说明两个分类变量之间关联性越弱；｜ad－bc｜越大，说明两个分类变量之间关联性越强.
知识点二 独立性检验
1.定义：用χ2统计量研究两个分类变量Ⅰ和Ⅱ是否有关的方法称为独立性检验.
统计量χ2的计算公式：
χ2＝.
2.步骤：要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
（2）根据2×2列联表与公式计算χ2的值；
（3）根据临界值，做出判断.
3.临界值如表所示：
P（χ2≥x0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P（χ2≥x0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例如：
（1）若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
（2）若χ2＞6.635，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
（3）若χ2＞2.706，则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
（4）若χ2≤2.706，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系.
1.（多选）下列实际问题用独立性检验可以解决的问题有（ ）
A.一种药物对某种病的治愈率
B.两种药物治疗同一种病是否有区别
C.吸烟人群是否与性别有关系
D.网吧与青少年的犯罪是否有关系
2.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定推断“X和Y有关系”的可信度，如果χ2＞6.635，那么就推断“X和Y有关系”的把握约为（ ）
A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%
3.某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示（单位：人），则其中m＝ ，n＝ .
80分及80分以上 80分以下 合计
试验班 32 18 50
对照班 24 m 50
合计 56 44 n
题型一 2×2列联表
【例1】 在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的2×2列联表.
通性通法
2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表，列表时关键是对涉及的变量分清类别.
制作2×2列联表的基本步骤：
第一步：合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值；
第二步：抽取样本，整理数据；
第三步：画出2×2列联表.
【跟踪训练】
1.下面是一个2×2列联表，则表中a，b的值分别为（ ）
y1 y2 合计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
合计 b 46 100
A.94，96 B.52，50
C.52，54 D.54，52
2.（2024·徐州月考）假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为X＝和Y＝其2×2列联表为：
Y＝0 Y＝1 合计
X＝0 10 18 28
X＝1 m 26 m＋26
合计 10＋m 44 m＋54
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱（ ）
A.8 B.9
C.14 D.19
题型二 独立性检验
角度1 有关“相关的检验”
【例2】 （链接教科书第177页例1）为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
喜爱 不喜爱 合计
男 5
女 5
合计 45
已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为.
（1）请将上面的2×2列联表补充完整；
（2）喜爱打篮球是否与性别有关？
角度2 有关“无关的检验”
【例3】 （链接教科书第178页例2）某调查机构对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过 心脏病 未发作 心脏病 合计
心脏搭桥手术 39 157 196
血管清障手术 29 167 196
合计 68 324 392
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别.
通性通法
用独立性检验求解实际问题的基本步骤
（1）认真读题，根据相关数据列出2×2列联表；
（2）提出假设H0：X和Y相互独立；
（3）计算：将2×2列联表中的数据代入公式求出χ2的值；
（4）根据临界值，做出判断.
【跟踪训练】
1.（多选）为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.则下列结论正确的是（ ）
A.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效”
B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”
C.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”
D.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效”
2.某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关联.
1.下列不是分类变量的是（ ）
A.血型 B.性别
C.国籍 D.身高
2.如表，2×2列联表中a，b的值分别为（ ）
Y
Y1 Y2 合计
X X1 c a e
X2 23 d 48
合计 b 78 121
A.54，43 B.53，43
C.53，42 D.54，42
3.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（ ）
A.χ2＞6.635 B.χ2＜6.635
C.χ2＞7.879 D.χ2＜7.879
4.考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据得χ2的值是 .
9.2 独立性检验
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.BCD 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，因此可以解决的问题有B、C、D.
2.C 因为P（χ2＞6.635）≈0.01，故有99%的把握认为“X和Y有关系”.
3.26 100 解析：由题意得解得
【典型例题·精研析】
【例1】 解：根据题目所给的数据作出如下的2×2列联表：
患色盲 不患色盲 合计
男 38 442 480
女 6 514 520
合计 44 956 1 000
跟踪训练
1.C 由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.故选C.
2.C 若X与Y之间没有影响，则有＝.解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.
【例2】 解：（1）依题意，男同学有45×＝25（人），
女同学有45－25＝20（人）.
补全2×2列联表如下：
喜爱 不喜爱 合计
男 20 5 25
女 5 15 20
合计 25 20 45
（2）提出假设H0：喜爱打篮球与性别无关.
根据表中数据，计算
χ2＝＝≈13.613，
因为当H0成立时，P（χ2≥10.828）≈0.001，所以我们有99.9%的把握认为，喜爱打篮球与性别有关系.
【例3】 解：提出假设H0：这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别，根据列联表中数据可求得，
χ2＝≈1.779＜2.706，
所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.
跟踪训练
1.BC 因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C.
2.解：（1）2×2列联表如下：
赞同 不赞同 合计
老教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
（2）提出假设H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关联.
由公式得χ2＝≈4.963，
因为当H0成立时，χ2≥3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关联.
随堂检测
1.D 身高的取值为实数，其大小与运算都有实际含义，不能区别不同的现象或性质，所以不是分类变量.
2.B 由2×2列联表，可得b＋78＝121，则b＝43，又由解得a＝53.
3.C 有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的临界值为7.879，由独立性检验的思想可知应为χ2＞7.879.
4.0.164 解析：由公式
χ2＝
得χ2＝≈0.164.
5 / 5(共63张PPT)
9.2 独立性检验
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义 数学建模
2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验
及其应用 数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
吸烟已成为全球范围内严重危害健康、危害人类生存环境、降低人们的生活水平、缩短人类寿命的紧迫问题.为此，联合国将每年5月31日定为全球戒烟日.
【问题】 你知道是如何判定吸烟有害健康的吗？
知识点一 2×2列联表
一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也
有两类取值，即类1和类2. 我们得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1 类2 合计
Ⅰ 类A a b a＋b
类B c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
上述表格称为2×2列联表.
提醒 在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关联，则应满足
≈ ，即ad－bc≈0.因此，｜ad－bc｜越小，说明两个分类
变量之间关联性越弱；｜ad－bc｜越大，说明两个分类变量之间
关联性越强.
知识点二 独立性检验
1. 定义：用χ2统计量研究两个分类变量Ⅰ和Ⅱ是否有关的方法称为独立
性检验.
统计量χ2的计算公式：
χ2＝ .
2. 步骤：要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
（2）根据2×2列联表与公式计算χ2的值；
（3）根据临界值，做出判断.
3. 临界值如表所示：
P（χ2≥x0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P（χ2≥x0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例如：
（1）若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
（2）若χ2＞6.635，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
（3）若χ2＞2.706，则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
（4）若χ2≤2.706，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，
但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系.
1. （多选）下列实际问题用独立性检验可以解决的问题有（ ）
A. 一种药物对某种病的治愈率
B. 两种药物治疗同一种病是否有区别
C. 吸烟人群是否与性别有关系
D. 网吧与青少年的犯罪是否有关系
解析： 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检
验，因此可以解决的问题有B、C、D.
2. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查
阅临界值表来确定推断“X和Y有关系”的可信度，如果χ2＞
6.635，那么就推断“X和Y有关系”的把握约为（ ）
A. 0.1% B. 1%
C. 99% D. 99.9%
解析： 因为P（χ2＞6.635）≈0.01，故有99%的把握认为“X
和Y有关系”.
3. 某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式
的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计
如2×2列联表所示（单位：人），则其中m＝ ，n
＝ .
80分及80分以上 80分以下 合计
试验班 32 18 50
对照班 24 m 50
合计 56 44 n
26
100
解析：由题意得解得
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 2×2列联表
【例1】 在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名
患有色盲，试作出性别与色盲的2×2列联表.
解：根据题目所给的数据作出如下的2×2列联表：
患色盲 不患色盲 合计
男 38 442 480
女 6 514 520
合计 44 956 1 000
通性通法
2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表，列表时关键是对涉
及的变量分清类别.
制作2×2列联表的基本步骤：
第一步：合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值；
第二步：抽取样本，整理数据；
第三步：画出2×2列联表.
【跟踪训练】
1. 下面是一个2×2列联表，则表中a，b的值分别为（ ）
y1 y2 合计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
合计 b 46 100
A. 94，96 B. 52，50
解析： 由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.故
选C.
C. 52，54 D. 54，52
2. （2024·徐州月考）假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分
别为X＝和Y＝其2×2列联表为：
Y＝0 Y＝1 合计
X＝0 10 18 28
X＝1 m 26 m＋26
合计 10＋m 44 m＋54
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱（ ）
A. 8 B. 9
C. 14 D. 19
解析： 若X与Y之间没有影响，则有 ＝ .解得m≈14.4，
所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.
题型二 独立性检验
角度1 有关“相关的检验”
【例2】 （链接教科书第177页例1）为了了解某班学生喜爱打篮
球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的
2×2列联表：
喜爱 不喜爱 合计
男 5
女 5
合计 45
已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为 .
（1）请将上面的2×2列联表补充完整；
解： 依题意，男同学有45× ＝25（人），
女同学有45－25＝20（人）.
补全2×2列联表如下：
喜爱 不喜爱 合计
男 20 5 25
女 5 15 20
合计 25 20 45
（2）喜爱打篮球是否与性别有关？
解： 提出假设H0：喜爱打篮球与性别无关.
根据表中数据，计算χ2＝ ＝ ≈13.613，
因为当H0成立时，P（χ2≥10.828）≈0.001，所以我们有99.9%
的把握认为，喜爱打篮球与性别有关系.
角度2 有关“无关的检验”
【例3】 （链接教科书第178页例2）某调查机构对196个接受心脏搭
桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研
究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病 未发作心脏病 合计
心脏搭桥手术 39 157 196
血管清障手术 29 167 196
合计 68 324 392
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没
有差别.
解：提出假设H0：这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别，
根据列联表中数据可求得，
χ2＝ ≈1.779＜2.706，
所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出这两种手术
对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.
通性通法
用独立性检验求解实际问题的基本步骤
（1）认真读题，根据相关数据列出2×2列联表；
（2）提出假设H0：X和Y相互独立；
（3）计算：将2×2列联表中的数据代入公式求出χ2的值；
（4）根据临界值，做出判断.
【跟踪训练】
1. （多选）为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动
物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由
列联表中的数据计算得χ2≈9.616.则下列结论正确的是（ ）
A. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效”
B. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”
C. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”
D. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效”
解析： 因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根
据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有
效”.故选B、C.
2. 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模
式的使用情况，某教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的
使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青
年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有
10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
解： 2×2列联表如下：
赞同 不赞同 合计
老教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
（2）分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关联.
解： 提出假设H0：对新课程教学模式的赞同情况与教
师年龄无关联.
由公式得χ2＝ ≈4.963，
因为当H0成立时，χ2≥3.841的概率约为0.05，所以我们有
95%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有
关联.
1. 下列不是分类变量的是（ ）
A. 血型 B. 性别
C. 国籍 D. 身高
解析： 身高的取值为实数，其大小与运算都有实际含义，不能
区别不同的现象或性质，所以不是分类变量.
2. 如表，2×2列联表中a，b的值分别为（ ）
Y
Y1 Y2 合计
X X1 c a e
X2 23 d 48
合计 b 78 121
A. 54，43 B. 53，43
C. 53，42 D. 54，42
解析： 由2×2列联表，可得b＋78＝121，则b＝43，又由
解得a＝53.
3. 利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有
99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是
（ ）
A. χ2＞6.635 B. χ2＜6.635
C. χ2＞7.879 D. χ2＜7.879
解析： 有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概
率为0.5%，对应的临界值为7.879，由独立性检验的思想可知应为
χ2＞7.879.
4. 考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的
数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据得χ2的值是 .
解析：由公式χ2＝
得χ2＝ ≈0.164.
0.164
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由公式χ2＝
（其中n＝a＋b＋c＋d）计算出χ2的
值，并由此得出结论：有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别
有关，则χ2可以为（ ）
A. 3.565 B. 4.204
C. 5.233 D. 6.842
解析： 因为有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，
所以χ2＞6.635，故选D.
2. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分
以下为非优秀，得到2×2列联表如下：
优秀 非优秀 合计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 列联表中c的值为30，b的值为35
B. 列联表中c的值为15，b的值为50
C. 列联表中c的值为20，b的值为50
D. 由列联表可得出成绩与班级有关系
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解析： 由题意得 ＝ ，解得c＝20，∵10＋c＋b＋30＝
105，∴b＝45.又 ＝ ， ＝ ，∵ ＜ ，∴成绩与班
级有关系.
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3. （2024·无锡月考）某学校学生服务中心为了了解在校学生对学校
后勤工作的满意度，随机调查了200名学生，其中男女生比例为
3∶2，并对这些学生进行了问卷调查，学生对后勤工作给出了满意
或不满意的总体评价，得到如下2×2列联表：
满意 不满意 合计
男生 104
女生 24
合计 200
下列说法中正确的是（ ）
A. 2×2列联表中男生不满意的
人数为18
B. 2×2列联表中女生满意的人
数为54
C. 没有99.5%的把握认为“男生与女生对后勤工作的评价有差异”
D. 有99.5%的把握认为“男生与女生对后勤工作的评价有差异”
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解析：由题意得男生共120人，女生共80人，补全2×2列联表：
满意 不满意 合计
男生 104 16 120
女生 56 24 80
合计 160 40 200
提出假设H0：男生与女生对后勤工作的评价没有差异.由列联表中
的数据可以求得χ2＝ ≈8.333＞7.879，所以
有99.5%的把握认为，男生与女生对后勤工作的评价有差异.
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4. 两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频
数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若有97.5%的把握认为X与Y
有关系，则c＝（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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解析： 列2×2列联表如下：
Y
y1 y2 合计
X x1 10 21 31
x2 c d 35
合计 10＋c 21＋d 66
故χ2＝ ≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证
可知选A.
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5. （多选）有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示，
Y Y1 Y2
X X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，若有95%的把握认为X与Y有关
系，则a的值可以为（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
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解析： 由列联表中数据，得χ2＝
＝ ＞3.841，由a，15
－a均为大于5的整数，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9，
A、B错误，C、D正确.故选C、D.
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6. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同
剂量的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示：
小白鼠
死亡 存活 合计
剂
量 第一种剂量 14 11 25
第二种剂量 6 19 25
合计 20 30 50
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进行独立性检验的原假设是
，χ2≈ .（结果保留两位小数）
解析：提出假设H0：小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关，
由列联表中的数据得χ2＝ ≈5.33.
小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量
无关
5.33
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7. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）
的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，
若依据P（χ2≥x0）＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否
支持该活动无关；若依据P（χ2≥x0）＝0.025的独立性检验，则认
为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取的整数值为 .
附表：
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6.
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8. （2024·南京质检）在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，
则χ2的值变为原来的 倍.
解析：由公式χ2＝ 中所有值变为原来的2
倍，得（χ2）'＝ ＝
＝2· ＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍.
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9. （多选）（2024·苏州月考）某校计划在课外活动中新增攀岩项
目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次
随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生喜欢攀岩的占
80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则（ ）
A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C. 若参与调查的男、女生人数均为100，则依据独立性检验的思想认
为喜欢攀岩和性别有关联
D. 无论参与调查的男、女生人数为多少，都可以依据独立性检验的
思想认为喜欢攀岩和性别有关联
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解析： 由题意设参与调查的男、女生人数均为m，则得到如
下2×2列联表：
喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合计 1.1m 0.9m 2m
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所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数
多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故
A正确，B错误；由列联表中的数据，计算得到χ2＝
＝ ，当m＝100时，χ2＝ ＝
≈50.505＞10.828，所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依
据独立性检验，我们有99.9%的把握认为，喜欢攀岩和性别有关
联，故C正确，D错误，故选A、C.
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10. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星
是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的
，男生追星人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的
，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生
至少有 人.
参考数据及公式如下：χ2＝ ，n＝a＋
b＋c＋d.
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P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
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解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：
是否追星
追星 不追星 合计
性
别 男生 x
女生
合计 x
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若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则χ2＞3.841，由χ2＝
＝ ＞3.841，解得x＞10.24，因为 ， ， 均为
整数，所以若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至
少有12人.
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11. 某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表：
心理障碍
焦虑 说谎 懒惰 合计
性
别 女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
合计 25 20 65 110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
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解：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量 ， ， .
由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表：
是否焦虑
焦虑 不焦虑 合计
性
别 女生 5 25 30
男生 20 60 80
合计 25 85 110
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原假设为H0：焦虑与性别无关.
可得 ＝ ≈0.863＜2.706，
所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出焦虑与
性别有关的结论.
同理列出说谎是否与性别有关的2×2列联表：
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是否说谎
说谎 不说谎 合计
性
别 女生 10 20 30
男生 10 70 80
合计 20 90 110
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＝ ≈6.366＞3.841，
所以我们有95%的把握认为，说谎与性别有关.
同理得 ＝ ≈1.410＜2.706.
所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出懒惰与
性别有关的结论.
综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大.
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12. 某校的一个社会实践调查小组在对该校学生的用眼习惯的调查
中，随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得
到如下2×2列联表：
做不到科学用眼 能做到科学用眼 合计
男 45 x 45＋x
女 3x 15 3x＋15
合计 45＋3x 15＋x 100
（1）求表中的x；
解： 由表中数据， 列方程得
（45＋3x）＋（15＋x）＝100，解得x＝10.
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（2）若在犯错误的概率不大于P的前提下认为用眼习惯与性别
有关，那么根据临界值表（附表），最精确的P的值应为
多少？
附：
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χ0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝ .
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解： 由（1）得2×2列联表如下：
做不到科学用眼 能做到科学用眼 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
由表中数据，计算得χ2＝ ≈3.030.
因为2.706＜3.030＜3.841，所以根据临界值表可知最精确
的P值应为0.1.
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谢 谢 观 看！
