一、变量的相关性
变量的相关关系与样本相关系数是学习线性回归模型的前提和基础，前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻画了两个变量的相关程度.
【例1】 （2022·全国乙卷理19题·节选）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）.
附：样本相关系数
r＝，≈1.377.
反思感悟
判断变量相关性的两种方法
（1）散点图法：直观形象；
（2）公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数.如点在一条直线上，｜r｜＝1，且当r＝1时，正相关；r＝－1时，负相关.
【跟踪训练】
1.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95
绘出散点图如下.
根据以上信息，判断下列结论：
①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高.
其中正确的个数为（ ）
A.0 B.3
C.2 D.1
2.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程为＝x＋，样本相关系数为r1；方案二：剔除点（10，21），根据剩下数据得到经验回归方程为＝x＋，样本相关系数为r2.则（ ）
A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1
C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0
二、经验回归方程
主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求经验回归方程，并应用于实际或对因变量进行预测.
【例2】 某项研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系.现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如下表：
时间 车流量x（单位：万辆） PM10浓度y（单位：μg/m3）
星期一 25.4 35.7
星期二 24.6 34.5
星期三 23.5 35.2
星期四 24.4 33.6
星期五 25.8 36.1
星期六 19.7 30.9
星期日 20.3 29.4
（1）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
（2）根据表中的统计数据，求出经验回归方程＝x＋（精确到0.01）.
反思感悟
解决回归分析问题的一般步骤
（1）画散点图.根据已知数据画出散点图；
（2）判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出经验回归方程；
（3）实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题.
【跟踪训练】
近年来我国外贸企业一手抓质量，一手抓生产，产销形势喜人.自2023年6月以来，我国外贸进出口连续实现正增长，出口国际市场占世界的份额不断攀升，外贸发展韧性强劲.某个远洋运输公司出口营业额增长数据表如下：
月份 2023年6月 2023年7月 2023年8月 2023年9月
月份代码x 1 2 3 4
新增出口营业额 y亿元 2.4 2.8 3.6 5.1
月份 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份代码x 5 6 7 8
新增出口营业额 y亿元 7.1 9.1 11.7 14.2
某位同学分别用两种模型：①＝x2＋，②＝x＋进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于yi－）：
这位同学在进行拟合时，对数据作了初步处理，得到一些统计量的值：
（ti－）（yi－）＝686.8，（ti－）2＝3 570.其中ti＝，＝ti.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测该远洋运输公司2024年3月新增出口营业额.（精确到0.01）
附：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（un，υn），经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
三、独立性检验
独立性检验研究的主要问题是讨论两个分类变量之间关联性问题.为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系.独立性检验的思想是先假设二者无关系，求随机变量χ2的值，若χ2大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设.
【例3】 2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷爱好者的热议，为了了解车迷们对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取了200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示：
购车意愿
愿意购置 该款汽车 不愿购置 该款汽车 合计
性别 男性 100 20 120
女性 50 30 80
合计 150 50 200
判断是否有99%把握认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
反思感悟
解独立性检验应用问题的关注点
（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题；
（2）两个准确：①准确列出2×2列联表；②准确理解χ2.
【跟踪训练】
随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：
年龄/岁 [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 合计
赞成
不赞成
合计
（2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.
附：χ2＝.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
章末复习与总结
【例1】 解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量＝＝＝0.39.
（2）（xi－）（yi－）＝xiyi－10＝0.013 4，
（xi－）2＝－10（）2＝0.002，
（yi－）2＝－10（）2＝0.094 8，
所以
＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以样本相关系数
r＝≈≈0.97.
跟踪训练
1.D 对于①②，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，①正确，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，③错误.综上，正确的命题是①，只有1个.
2.D 由散点图得两个变量呈负相关关系，所以r1＜0，r2＜0，因为剔除点（10，21）后，剩下点的数据的线性相关性更强，｜r｜更接近1，所以－1＜r2＜r1＜0.故选D.
【例2】 解：（1）如图所示.
（2）由表中数据得≈23.4，≈33.6，＝≈≈0.97，
＝－＝33.6－0.97×23.4≈10.90.
所以y关于x的经验回归方程为＝0.97x＋10.90.
跟踪训练
解：（1）选择模型①.
理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好.
（2）由（1），可知y关于x的回归方程为＝x2＋，令t＝x2，则＝t＋.
由所给数据可得＝ti＝×（1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64）＝25.5，
＝yi＝×（2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋14.2）＝7，
所以＝＝≈0.19，
＝－≈7－0.19×25.5≈2.16，
所以y关于x的回归方程为＝0.19x2＋2.16.
预测该远洋运输公司2024年3月新增出口营业额为＝0.19×102＋2.16＝21.16（亿元）.
【例3】 解：原假设为H0：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关.
根据表中数据可得
χ2＝＝≈11.111＞10.828，
所以有99%的把握认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.
跟踪训练
解：（1）由题中统计数据填写2×2列联表，如下：
年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 合计
赞成 10 27 37
不赞成 10 3 13
合计 20 30 50
根据公式计算，得
χ2＝≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
（2）设年龄在[55，65）中不赞成“使用微信交流”的人分别为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人分别为a，b，
则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个结果.
其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个结果，
所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率P＝.
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章末复习与总结
一、变量的相关性
变量的相关关系与样本相关系数是学习线性回归模型的前提和基
础，前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上
准确刻画了两个变量的相关程度.
【例1】 （2022·全国乙卷理19题·节选）某地经过多年的环境治理，
已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随
机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和
材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ＝0.038， ＝1.615 8， xiyi＝0.247 4.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材
积量；
解： 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 ＝
＝ ＝0.06，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量 ＝ ＝ ＝0.39.
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数
（精确到0.01）.
附：样本相关系数r＝ ，
≈1.377.
解： （xi－ ）（yi－ ）＝ xiyi－10 ＝0.013 4，
（xi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.002，
（yi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.094 8，
所以 ＝ ＝
≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以样本相关系数r＝ ≈ ≈0.97.
反思感悟
判断变量相关性的两种方法
（1）散点图法：直观形象；
（2）公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数.
如点在一条直线上，｜r｜＝1，且当r＝1时，正相关；r＝－1
时，负相关.
【跟踪训练】
1. 某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他
们的数学、物理成绩对应如下表：
学生
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学
成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理
成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95
绘出散点图如下.
根据以上信息，判断下列结论：
①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关
关系；
②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数
关系；
③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60
分的乙同学的物理成绩要高.
其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 对于①②，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附
近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是
一次函数关系，①正确，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，
他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，③
错误.综上，正确的命题是①，只有1个.
2. 相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关
分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程为 ＝ x
＋ ，样本相关系数为r1；方案二：剔除点（10，21），根据剩
下数据得到经验回归方程为 ＝ x＋ ，样本相关系数为r2.则
（ ）
A. 0＜r1＜r2＜1 B. 0＜r2＜r1＜1
C. －1＜r1＜r2＜0 D. －1＜r2＜r1＜0
解析： 由散点图得两个变量呈负相关关系，所以r1＜0，r2＜
0，因为剔除点（10，21）后，剩下点的数据的线性相关性更
强，｜r｜更接近1，所以－1＜r2＜r1＜0.故选D.
二、经验回归方程
主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求经验
回归方程，并应用于实际或对因变量进行预测.
【例2】 某项研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关
系.现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如下表：
时间 车流量x（单位：万辆） PM10浓度y（单位：μg/m3）
星期一 25.4 35.7
星期二 24.6 34.5
星期三 23.5 35.2
星期四 24.4 33.6
星期五 25.8 36.1
星期六 19.7 30.9
星期日 20.3 29.4
（1）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
解： 如图所示.
（2）根据表中的统计数据，求出经验回归方程 ＝ x＋ （精确到
0.01）.
解： 由表中数据得 ≈23.4， ≈33.6， ＝ ≈ ≈0.97， ＝ － ＝33.6－0.97×23.4≈10.90.
所以y关于x的经验回归方程为 ＝0.97x＋10.90.
反思感悟
解决回归分析问题的一般步骤
（1）画散点图.根据已知数据画出散点图；
（2）判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感
知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法
求回归系数，然后写出经验回归方程；
（3）实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题.
【跟踪训练】
近年来我国外贸企业一手抓质量，一手抓生产，产销形势喜人.自
2023年6月以来，我国外贸进出口连续实现正增长，出口国际市场占
世界的份额不断攀升，外贸发展韧性强劲.某个远洋运输公司出口营
业额增长数据表如下：
月份 2023年6月 2023年7月 2023年8月 2023年9月
月份代码x 1 2 3 4
新增出口营
业额y亿元 2.4 2.8 3.6 5.1
月份代码x 5 6 7 8
新增出口营
业额y亿元 7.1 9.1 11.7 14.2
某位同学分别用两种模型：① ＝ x2＋ ，② ＝ x＋ 进行拟合，
得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于yi
－ ）：
这位同学在进行拟合时，对数据作了初步处理，得到一些统计量
的值：
（ti－ ）（yi－ ）＝686.8， （ti－ ）2＝3 570.其中ti＝
， ＝ ti.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模
型？并简要说明理由；
解： 选择模型①.
理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相
对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合
效果相对较好.
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，
并预测该远洋运输公司2024年3月新增出口营业额.（精确到
0.01）
附：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（un，υn），
经验回归直线 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为 ＝ ， ＝ － .
解： 由（1），可知y关于x的回归方程为 ＝ x2＋ ，令
t＝x2，则 ＝ t＋ .
由所给数据可得 ＝ ti＝ ×（1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋
64）＝25.5，
＝ yi＝ ×（2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋
14.2）＝7，
所以 ＝ ＝ ≈0.19，
＝ － ≈7－0.19×25.5≈2.16，
所以y关于x的回归方程为 ＝0.19x2＋2.16.
预测该远洋运输公司2024年3月新增出口营业额为 ＝0.19×102
＋2.16＝21.16（亿元）.
三、独立性检验
独立性检验研究的主要问题是讨论两个分类变量之间关联性问
题.为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变
量是否有关系.独立性检验的思想是先假设二者无关系，求随机变量χ2
的值，若χ2大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设.
【例3】 2023年12月28日，小米汽车举行了技术发布会，首款产品
SU7揭开神秘面纱，引起了广大车迷爱好者的热议，为了了解车迷们
对该款汽车的购买意愿与性别是否具有相关性，某车迷协会随机抽取
了200名车迷朋友进行调查，所得数据统计如下表所示：
购车意愿
愿意购置 该款汽车 不愿购置 该款汽车 合计
性
别 男性 100 20 120
女性 50 30 80
合计 150 50 200
判断是否有99%把握认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.
参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
P
（χ2≥x0） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：原假设为H0：车迷们对该款汽车的购买意愿与性别无关.
根据表中数据可得χ2＝ ＝ ≈11.111＞
10.828，
所以有99%的把握认为车迷们对该款汽车的购买意愿与性别有关.
反思感悟
解独立性检验应用问题的关注点
（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题；
（2）两个准确：①准确列出2×2列联表；②准确理解χ2.
【跟踪训练】
随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对
“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频
数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：
年龄/岁 [15，
25） [25，
35） [35，
45） [45，
55） [55，
65） [65，75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列
联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度
与人的年龄有关；
年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 合计
赞成
不赞成
合计
解： 由题中统计数据填写2×2列联表，如下：
年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 合计
赞成 10 27 37
不赞成 10 3 13
合计 20 30 50
根据公式计算，得χ2＝ ≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄
有关.
（2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调
查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.
附：χ2＝ .
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解： 设年龄在[55，65）中不赞成“使用微信交流”的人
分别为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人分别为a，b，
则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，
Bb，Ca，Cb，ab，共10个结果.
其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，
Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个结果，
所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率P＝ .
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