章末检测（九） 统计
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列说法中正确的是（ ）
A.相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义
B.独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义
C.相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的
D.独立性检验如果得出的结论有99%的把握，就意味着这个结论一定是正确的
2.对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩：
数学 88 83 117 92 108 100 112
物理 94 91 108 96 104 101 106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到经验回归方程为＝0.5x＋.若该生的数学成绩达到130分，则估计他的物理成绩是（ ）
A.114.5分 B.115分 C.115.5分 D.116分
3.已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln （k1x）与y＝kx2＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为（ ）
A.r1＞r2 B.r1＝r2 C.r1＜r2 D.不确定
4.某科研机构为了研究中年人脱发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表：
患心脏病 无心脏病 合计
中年人脱发 20 300 320
中年人不脱发 5 450 455
合计 25 750 775
根据表中数据得到χ2＝≈15.968，因为χ2＞10.828，则断定中年人脱发与心脏病有关系.那么这种判断出错的可能性为（ ）
A.0.001 B.0.05 C.0.025 D.0.01
5.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据求得的经验回归方程可能是（ ）
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
6.以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到的经验回归方程为z＝0.5x＋3，则c＝（ ）
A.3 B.e3 C.0.5 D.e0.5
7.为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表：
非一线城市 一线城市 合计
愿意生 45 20 65
不愿意生 13 22 35
合计 58 42 100
附：
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
χ2＝.
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别无关”
8.“拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现x和y具有线性相关关系，其经验回归方程为＝6.5x＋，且xi＝270，yi＝2 550.已知小明的右手一拃长为20 cm，据此估计小明的身高为（ ）
A.175 cm B.179 cm C.183 cm D.187 cm
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到经验回归方程为＝－2.1x＋15.5，则下列说法正确的是（ ）
A.变量x与y线性负相关 B.当x＝2时可以估计y＝11.3
C.a＝6 D.变量x与y之间是函数关系
10.根据最小二乘法由一组样本点（xi，yi）（其中i＝1，2，…，500），求得的回归方程是＝x＋，下列说法中正确的有（ ）
A.样本点可能全部不在经验回归直线＝x＋上
B.若所有样本点都在经验回归直线＝x＋上，则变量间的样本相关系数为1
C.若所有样本点都在经验回归直线＝x＋上，则xi＋的值与yi相等
D.若经验回归直线＝x＋的斜率＜0，则变量x与y负相关
11.针对时下的“短视频热”，某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢短视频的人数占男生人数的，女生喜欢短视频的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）
临界值表：
P（χ2≥x0） 0.050 0.010
x0 3.841 6.635
附：χ2＝.
A.30人 B.54人 C.60人 D.75人
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下表对应数据：
x 1 3 4 5 7
y 15 20 30 40 45
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为＝5.5x＋，则当x＝7时，残差为 .（残差＝观测值－预测值）
13.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班学生.从这次考试成绩看：
①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .
14.在“数学文化大讲堂”活动中，某老师对“学生性别和喜欢数学文化是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢数学文化的人数占男生人数的，女生喜欢数学文化的人数占女生人数的，若有99%的把握认为是否喜欢数学文化和性别有关，则男生至少有 人.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）冶炼某种金属可以用旧设备或新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示.
所含杂质
杂质高 杂质低
旧设备 37 121
新设备 22 202
根据表中数据试判断含杂质的高低与设备新旧有无关系.
16.（本小题满分15分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2020 2021 2022 2023 2024
储蓄存款 额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 019，z＝y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z关于t的经验回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程.
17.（本小题满分15分）为了研究昼夜温差与引发感冒的关系，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表①所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表②所示.
表①
性别 患感冒的情况 合计
患感冒人数 不患感冒人数
男生 30 70 100
女生 42 58 p
合计 m n 200
表②
温差x 6 7 8 9 10
患感冒人数y 8 10 14 20 23
（1）求出m，n，p的值；
（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”有关系；
（3）根据表②数据，计算y与x的样本相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若0.75＜｜r｜≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3＜｜r｜≤0.75，则认为y与x线性相关性一般；｜r｜≤0.3，则认为y与x线性相关性较弱）.
参考数据：（xi－）2＝10，（yi－）2＝164，≈20.248 5.
18.（本小题满分17分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书
人数 24 16 10 20 10
（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中a≤60.
是否认真完成作业
认真完成 不认真完成 合计
性别 男生 a
女生
合计 60
若有90%的把握认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生人数；
（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的概率分布及数学期望.
参考公式及数据：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
19.（本小题满分17分）某电视厂家准备在“五一”期间举行促销活动，现在根据已有的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
广告费 支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售 量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
（2）若用模型y＝c＋d拟合y与x的关系，可得回归方程为＝1.63＋0.99，经计算，线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
（3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为z＝200y－x.根据（2）的结果回答：当广告费x＝20时，销售量及利润的预测值是多少？（精确到0.01）
参考数据：xiyi＝279.4，＝708，≈2.236.
参考公式：经验回归方程＝＋x中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
章末检测（九） 统计
1.C 相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义.故选C.
2.B 由题可知＝100，＝100，所以＝－0.5＝100－0.5×100＝50.当x＝130时，＝0.5×130＋50＝115.故选B.
3.C 由散点图可知，用y＝b1ln（k1x）拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因为此相关关系为负相关，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故选C.
4.A 因为P（χ2≥10.828）≈0.001，所以这种判断出错的可能性为0.001.
5.A 因为变量x和y正相关，则经验回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D；因为样本点的中心在经验回归直线上，把点（3，3.5）的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
6.B 因为z＝0.5x＋3，z＝ln y，所以0.5x＋3＝ln y，所以y＝e0.5x＋3＝e3×e0.5x，故c＝e3.
7.C 因为χ2＝≈9.616＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
8.C 由题意知，＝×xi＝×270＝18，＝×yi＝×2 550＝170，又＝6.5＋，即170＝6.5×18＋，解得＝53，故经验回归方程为＝6.5x＋53，当x＝20时，＝6.5×20＋53＝183，即当小明的右手一拃长为20 cm时，可估计小明的身高为183 cm.故选C.
9.ABC 由经验回归方程为＝－2.1x＋15.5，可知变量x与y之间线性负相关，故A正确；当x＝2时，＝－2.1×2＋15.5＝11.3，故B正确；∵＝5，＝，∴样本点的中心坐标为，代入＝－2.1x＋15.5，得＝－2.1×5＋15.5，解得a＝6，故C正确；变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数关系，故D错误.故选A、B、C.
10.ACD 经验回归直线一定经过样本中心点，但是样本点可能全部不在经验回归直线上，所以A正确；所有样本点都在经验回归直线＝x＋上，则变量间的样本相关系数为±1，所以B不正确；所有的样本点都在经验回归直线＝x＋上，则xi＋的值与yi相等，所以C正确；经验回归直线＝x＋的斜率＜0，则r＜0，样本点分布应该从左到右是下降的，则变量x与y呈负相关，所以D正确.
11.BC 设男生的人数为6n（n∈N*），根据题意列出2×2列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢短视频 5n 4n 9n
不喜欢短视频 n 2n 3n
合计 6n 6n 12n
则χ2＝＝，由于有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则3.841≤χ2＜6.635，即3.841≤＜6.635，得8.642＜n＜14.929，因为n∈N*，则n的可能取值有9，10，11，12，13，14，因此，调查人数中男生人数的可能值为54，60，66，72，78，84.故选B、C.
12.－1.5 解析：＝×（1＋3＋4＋5＋7）＝4，＝×（15＋20＋30＋40＋45）＝30，因为经验回归直线过点（4，30），代入＝5.5x＋，可得30＝5.5×4＋，＝8，当x＝7时，＝5.5×7＋8＝38.5＋8＝46.5，所以残差为45－46.5＝－1.5.
13.①乙 ②数学 解析：①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总名次靠前的是乙.②观察散点图，发现丙的总成绩在年级中的名次是倒数第5名，数学的名次是倒数第11名，显然丙的语文成绩名次拉低了丙的总成绩排名，故丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.
14.18 解析：设男生至少有x人，根据题意，可列出如下2×2联表：
喜欢数学文化 不喜欢数学文化 合计
男生 x x x
女生 x x x
合计 x x x
则χ2＝＝x，若有99%的把握认为是否喜欢数学文化和性别有关，
则χ2＞6.635，即x＞6.635，解得x＞17.694，
由于表中人数都为整数，可知男生至少有18人.
15.解：由已知数据得到如下2×2列联表：
所含杂质高 所含杂质低 合计
旧设备 37 121 158
新设备 22 202 224
合计 59 323 382
提出假设H0：含杂质的高低与设备新旧无关.
由公式得χ2＝≈13.11，
由于13.11＞10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备新旧是有关的.
16.解：（1）＝3，＝2.2，tizi＝45，＝55，
则＝＝1.2，
＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4.
所以z关于t的经验回归方程为＝1.2t－1.4.
（2）把t＝x－2 019，z＝y－5，
代入＝1.2t－1.4，
得－5＝1.2（x－2 019）－1.4，
即＝1.2x－2 419.2.
故y关于x的回归方程为＝1.2x－2 419.2.
17.解：（1）根据题表①中的数据可以得出m＝72，n＝128，p＝100.
（2）提出假设H0：性别与患感冒无关.
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝＝3.125＜3.841，
所以没有95%的把握认为性别与患感冒情况有关.
（3）由题意知，＝＝8，
＝＝15，
所以（xi－）（yi－）＝40，
则r＝＝≈≈0.987 7＞0.75，
所以y与x的线性相关性很强.
18.解：（1）根据题意，完成列联表如下：
是否认真完成作业
认真完成 不认真完成 合计
性别 男生 a
女生 60－ 20－ 80－a
合计 60 20 80
由题意可得χ2＝＝≥2.706，得a＞57.38.
易知a为5的倍数，且a≤60，所以a＝60，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有80－60＝20（人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24∶16＝3∶2，
所以用分层抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有10×＝6（人），学习行书的有10×＝4（人），
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝.
X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.解：（1）由题意得＝8，＝4.2，xiyi＝279.4，＝708，
所以＝＝＝0.17，＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
所以y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84.
（2）因为R2越接近于1，模型的拟合效果越好，所以选用＝1.63＋0.99回归模型更好.
（3）当广告费x＝20时，销售量y的预测值＝1.63＋0.99≈6.057 28≈6.06（万台），
故利润z的预测值＝200×（1.63＋0.99）－20≈1 191.456≈1 191.46（万元）.
4 / 5(共50张PPT)
章末检测（九） 统计
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法中正确的是（ ）
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A. 相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义
B. 独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义
C. 相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的
D. 独立性检验如果得出的结论有99%的把握，就意味着这个结论一定是正确的
解析： 相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在
某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差
的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分
类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义.故
选C.
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2. 对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生
7次考试的成绩：
数学 88 83 117 92 108 100 112
物理 94 91 108 96 104 101 106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法
得到经验回归方程为 ＝0.5x＋ .若该生的数学成绩达到130分，
则估计他的物理成绩是（ ）
A. 114.5分 B. 115分
解析： 由题可知 ＝100， ＝100，所以 ＝ －0.5 ＝100－
0.5×100＝50.当x＝130时， ＝0.5×130＋50＝115.故选B.
C. 115.5分 D. 116分
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3. 已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln （k1x）与y
＝kx2＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大
小结果为（ ）
A. r1＞r2 B. r1＝r2
C. r1＜r2 D. 不确定
解析： 由散点图可知，用y＝b1ln（k1x）
拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因为此相关关系为负相关，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故选C.
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4. 某科研机构为了研究中年人脱发与心脏病是否有关，随机调查了一
些中年人的情况，具体数据如表：
患心脏病 无心脏病 合计
中年人脱发 20 300 320
中年人不脱发 5 450 455
合计 25 750 775
根据表中数据得到χ2＝ ≈15.968，因为χ2＞
10.828，则断定中年人脱发与心脏病有关系.那么这种判断出错的
可能性为（ ）
A. 0.001 B. 0.05
C. 0.025 D. 0.01
解析： 因为P（χ2≥10.828）≈0.001，所以这种判断出错的可
能性为0.001.
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5. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 ＝3， ＝
3.5，则由该观测数据求得的经验回归方程可能是（ ）
解析： 因为变量x和y正相关，则经验回归直线的斜率为正，
故可以排除选项C和D；因为样本点的中心在经验回归直线上，把
点（3，3.5）的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，
可以排除B，故选A.
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6. 以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln
y，其变换后得到的经验回归方程为z＝0.5x＋3，则c＝（ ）
A. 3 B. e3
C. 0.5 D. e0.5
解析： 因为z＝0.5x＋3，z＝ln y，所以0.5x＋3＝ln y，所以y
＝e0.5x＋3＝e3×e0.5x，故c＝e3.
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7. 为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随
机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表：
非一线城市 一线城市 合计
愿意生 45 20 65
不愿意生 13 22 35
合计 58 42 100
附：
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010 0.001
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参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级
别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级
别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别
有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别
无关”
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解析： 因为χ2＝ ≈9.616＞6.635，所以在
犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有
关”，故选C.
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8. “拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”
指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手
一拃长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从所在班级
随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现x和y具有线性
相关关系，其经验回归方程为 ＝6.5x＋ ，且 xi＝270， yi
＝2 550.已知小明的右手一拃长为20 cm，据此估计小明的身高为
（ ）
A. 175 cm B. 179 cm
C. 183 cm D. 187 cm
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解析： 由题意知， ＝ × xi＝ ×270＝18， ＝ ×
yi＝ ×2 550＝170，又 ＝6.5 ＋ ，即170＝6.5×18＋ ，解
得 ＝53，故经验回归方程为 ＝6.5x＋53，当x＝20时， ＝
6.5×20＋53＝183，即当小明的右手一拃长为20 cm时，可估计小
明的身高为183 cm.故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到经验回归方程为 ＝－2.1x＋15.5，则下列说法正确的
是（ ）
A. 变量x与y线性负相关 B. 当x＝2时可以估计y＝11.3
C. a＝6 D. 变量x与y之间是函数关系
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解析： 由经验回归方程为 ＝－2.1x＋15.5，可知变量x与
y之间线性负相关，故A正确；当x＝2时， ＝－2.1×2＋15.5＝
11.3，故B正确；∵ ＝5， ＝ ，∴样本点的中心坐标为 ，代入 ＝－2.1x＋15.5，得 ＝－2.1×5＋15.5，解得
a＝6，故C正确；变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数
关系，故D错误.故选A、B、C.
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10. 根据最小二乘法由一组样本点（xi，yi）（其中i＝1，2，…，
500），求得的回归方程是 ＝ x＋ ，下列说法中正确的有
（ ）
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解析： 经验回归直线一定经过样本中心点，但是样本点可
能全部不在经验回归直线上，所以A正确；所有样本点都在经验
回归直线 ＝ x＋ 上，则变量间的样本相关系数为±1，所以B
不正确；所有的样本点都在经验回归直线 ＝ x＋ 上，则 xi
＋ 的值与yi相等，所以C正确；经验回归直线 ＝ x＋ 的斜率
＜0，则r＜0，样本点分布应该从左到右是下降的，则变量x与
y呈负相关，所以D正确.
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11. 针对时下的“短视频热”，某校团委对“学生性别和喜欢短视频
是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生
喜欢短视频的人数占男生人数的 ，女生喜欢短视频的人数占女
生人数的 ，若有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则
调查人数中男生可能有（ ）
临界值表：
P（χ2≥x0） 0.050 0.010
x0 3.841 6.635
附：χ2＝ .
A. 30人 B. 54人
C. 60人 D. 75人
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解析： 设男生的人数为6n（n∈N*），根据题意列出2×2列
联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢短视频 5n 4n 9n
不喜欢短视频 n 2n 3n
合计 6n 6n 12n
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则χ2＝ ＝ ，由于有95%的把握认为是否喜
欢短视频和性别有关，则3.841≤χ2＜6.635，即3.841≤ ＜
6.635，得8.642＜n＜14.929，因为n∈N*，则n的可能取值有
9，10，11，12，13，14，因此，调查人数中男生人数的可能值为
54，60，66，72，78，84.故选B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：
万元）之间有如下表对应数据：
x 1 3 4 5 7
y 15 20 30 40 45
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为 ＝5.5x＋ ，则当
x＝7时，残差为 .（残差＝观测值－预测值）
－1.5
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解析： ＝ ×（1＋3＋4＋5＋7）＝4， ＝ ×（15＋20＋30＋
40＋45）＝30，因为经验回归直线过点（4，30），代入 ＝5.5x
＋ ，可得30＝5.5×4＋ ， ＝8，当x＝7时， ＝5.5×7＋8＝
38.5＋8＝46.5，所以残差为45－46.5＝－1.5.
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13. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数
学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该
班学生.从这次考试成绩看：
①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生
是 ；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目
是 .
乙
数学
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解析：①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总名次靠前的是乙.②
观察散点图，发现丙的总成绩在年级中的名次是倒数第5名，数学
的名次是倒数第11名，显然丙的语文成绩名次拉低了丙的总成绩
排名，故丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.
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14. 在“数学文化大讲堂”活动中，某老师对“学生性别和喜欢数学
文化是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人
数的 ，男生喜欢数学文化的人数占男生人数的 ，女生喜欢数学
文化的人数占女生人数的 ，若有99%的把握认为是否喜欢数学文
化和性别有关，则男生至少有 人.
解析：设男生至少有x人，根据题意，可列出如下2×2联表：
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喜欢数学文化 不喜欢数学文化 合计
男生 x
女生
合计 x
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则χ2＝ ＝ x，若有99%的把握认为是否喜欢数学
文化和性别有关，
则χ2＞6.635，即 x＞6.635，解得x＞17.694，
由于表中人数都为整数，可知男生至少有18人.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）冶炼某种金属可以用旧设备或新设备，为了
检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表
所示.
所含杂质 杂质高 杂质低
旧设备 37 121
新设备 22 202
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根据表中数据试判断含杂质的高低与设备新旧有无关系.
解：由已知数据得到如下2×2列联表：
所含杂质高 所含杂质低 合计
旧设备 37 121 158
新设备 22 202 224
合计 59 323 382
提出假设H0：含杂质的高低与设备新旧无关.
由公式得χ2＝ ≈13.11，
由于13.11＞10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备
新旧是有关的.
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16. （本小题满分15分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，
该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2020 2021 2022 2023 2024
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－
2 019，z＝y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
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（1）求z关于t的经验回归方程；
解： ＝3， ＝2.2， tizi＝45， ＝55，
则 ＝ ＝1.2，
＝ － ＝2.2－1.2×3＝－1.4.
所以z关于t的经验回归方程为 ＝1.2t－1.4.
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（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程.
解： 把t＝x－2 019，z＝y－5，
代入 ＝1.2t－1.4，
得 －5＝1.2（x－2 019）－1.4，
即 ＝1.2x－2 419.2.
故y关于x的回归方程为 ＝1.2x－2 419.2.
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17. （本小题满分15分）为了研究昼夜温差与引发感冒的关系，医务
人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样
调研，所得数据统计如表①所示，并将男生感冒的人数与温差情
况统计如表②所示.
表①
性别 患感冒的情况 合计
患感冒人数 不患感冒人数 男生 30 70 100
女生 42 58 p
合计 m n 200
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温差x 6 7 8 9 10
患感冒人数y 8 10 14 20 23
（1）求出m，n，p的值；
解： 根据题表①中的数据可以得出m＝72，n＝128，
p＝100.
表②
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（2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下“性别”与“患
感冒的情况”有关系；
解： 提出假设H0：性别与患感冒无关.
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝
＝3.125＜3.841，
所以没有95%的把握认为性别与患感冒情况有关.
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（3）根据表②数据，计算y与x的样本相关系数r，并说明y与x
的线性相关性强弱（若0.75＜｜r｜≤1，则认为y与x线性
相关性很强；0.3＜｜r｜≤0.75，则认为y与x线性相关性
一般；｜r｜≤0.3，则认为y与x线性相关性较弱）.
参考数据： （xi－ ）2＝10， （yi－ ）2＝164，
≈20.248 5.
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解： 由题意知， ＝ ＝8， ＝
＝15，所以 （xi－ ）（yi－ ）＝40，
则r＝ ＝ ≈ ≈0.987 7＞0.75，
所以y与x的线性相关性很强.
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18. （本小题满分17分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之
一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软
笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子
的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展
起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教
育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人
只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书
人数 24 16 10 20 10
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（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下
表，其中a≤60.
是否认真完成作业
认真完成 不认真完成 合计
性
别 男生 a
女生
合计 60
若有90%的把握认为该周学生是否认真完成作业与性别有
关，求该培训机构学习软笔书法的女生人数；
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解： 根据题意，完成列联表如下：
是否认真完成作业
认真完成 不认真完成 合计
性
别 男生 a
女生 80－a
合计 60 20 80
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由题意可得χ2＝ ＝
≥2.706，得a＞57.38.
易知a为5的倍数，且a≤60，所以a＝60，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有80－60＝20（人）.
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（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层抽样的方法抽取10人，
再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，
求X的概率分布及数学期望.
参考公式及数据：χ2＝ ，n＝a＋
b＋c＋d.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01
x0 2.706 3.841 6.635
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解： 因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人
数之比为24∶16＝3∶2，
所以用分层抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有
10× ＝6（人），学习行书的有10× ＝4（人），
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ＝
，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
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P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，P（X＝4）＝ ＝ .
X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
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19. （本小题满分17分）某电视厂家准备在“五一”期间举行促
销活动，现在根据已有的广告费与销售量的数据确定此次广告
费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万
台）的数据如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
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参考数据： xiyi＝279.4， ＝708， ≈2.236.
参考公式：经验回归方程 ＝ ＋ x中的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为 ＝ ， ＝ － .
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（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回
归方程；
解：由题意得 ＝8， ＝4.2， xiyi＝279.4， ＝708，
所以 ＝ ＝ ＝0.17， ＝ － ＝
4.2－0.17×8＝2.84，
所以y关于x的经验回归方程为 ＝0.17x＋2.84.
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（2）若用模型y＝c＋d 拟合y与x的关系，可得回归方程为
＝1.63＋0.99 ，经计算，线性回归模型和该模型的R2分
别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
解： 因为R2越接近于1，模型的拟合效果越好，所以
选用 ＝1.63＋0.99 回归模型更好.
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（3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为z＝200y－x.
根据（2）的结果回答：当广告费x＝20时，销售量及利润
的预测值是多少？（精确到0.01）
解： 当广告费x＝20时，销售量y的预测值 ＝1.63＋
0.99 ≈6.057 28≈6.06（万台），
故利润z的预测值 ＝200×（1.63＋0.99 ）－20≈1
191.456≈1 191.46（万元）.
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