模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.4×5×6×…×（n－1）×n＝（ ）
A. B.
C.n！－4！ D.
2.已知随机变量X的概率分布如表（其中a为常数）.
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则P（1≤X≤3）＝（ ）
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.7
3.已知随机变量X，Y满足Y＝aX＋b，且a，b为正实数.若D（X）＝2，D（Y）＝8，则（ ）
A.b＝2 B.a＝4
C.a＝2 D.b＝4
4.如图，在棱长均相等的四面体O-ABC中，点D为AB的中点，CE＝ED，设＝a，＝b，＝c，则＝（ ）
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b＋c
5.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（ ）
A. B.
C. D.
6.某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试.这次体能测试满分为100分，已知测试成绩X服从正态分布N（70，σ2）.若X在[60，70]内的概率为0.2，则该学校高三年级学生体能测试成绩在80分以上的人数约为（ ）
A.160 B.200
C.240 D.320
7.当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系y＝，可以设一个新的变量z＝，这样y与z之间就是线性关系.下列表格中的数据可以用非线性方程＝0.14x2＋进行拟合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用线性回归的相关知识，可求得的值约为（ ）
A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法中正确的是（ ）
A.将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变
B.对于经验回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，平均增加5个单位
C.随机误差的平方和越小，说明模型的拟合程度越好
D.在一个2×2列联表中，若χ2＝13.079，则有99.9%的把握认为这两个变量之间有关系
10.已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是（ ，，0）
C.和夹角的余弦值是
D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5）
11.已知（ 1＋）（ 2x－）6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A.a＝1
B.展开式中常数项为160
C.展开式中各项系数的绝对值的和为1 458
D.若r为偶数，则展开式中xr和xr－1的系数相等
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知点B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），若点E的坐标为（－2，1，m），且点B，C'，D'，E四点共面，则实数m的值为 .
13.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）
14.某地有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为Pn，若当n≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.
（1）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
16.（本小题满分15分）随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x（单位：件）与店铺的浏览量y（单位：次）之间的对应数据如下表所示：
x/件 1 3 5 7 9
y/次 10 30 40 50 60
（1）根据表中数据画出散点图；
（2）根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程.
17.（本小题满分15分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围内正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.
（1）列出2×2列联表，能否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关联？
（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的概率分布与均值.
附：χ2＝.
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分17分）如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB.
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C-PA-B的平面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表示）；
（2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝pij.
模块综合检测
1.D 由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）×…×6×5×4＝.
2.C 由概率之和等于1可知a＝0.2，所以P（1≤X≤3）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6.
3.C 由方差的性质可得，D（Y）＝D（aX＋b）＝a2D（X）.因为D（X）＝2，D（Y）＝8，所以8＝2a2.又a为正实数，所以a＝2.故选C.
4.D ∵CE＝ED，∴＝＝（＋）＝（＋）＝＋，∴＝＋＝＋＋＝＋（－）＋（－）＝＋＋＝a＋b＋c.
5.C 设A＝“第一次摸出正品”，B＝“第二次摸出正品”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，故P（B｜A）＝＝.
6.C 因为测试成绩服从正态分布N（70，σ2），所以P（70≤X≤80）＝P（60≤X≤70）＝0.2，则P（X＞80）＝0.5－0.2＝0.3，即该学校高三年级学生体能测试成绩在80分以上的人数约为0.3×800＝240.故选C.
7.B 设z＝x2，则＝0.14z＋，则
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
则＝＝，
＝＝5，则＝－0.14＝5－0.14×≈2.88.故选B.
8.A ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴＝＝（＋），∴＝＋＝＋＋＝＋＋，∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，∴｜｜2＝｜｜2＝4，｜｜2＝9，·＝0，·＝·＝3×2×cos 60°＝3，∴＝（＋＋）2＝（｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·）＝，∴｜｜＝，即AO＝，故选A.
9.ACD 数据的方差与加了什么样的常数无关，故A正确；对于回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位，故B错误；易知C正确；若χ2＝13.079＞10.828，则有99.9%的把握认为这两个变量之间有关系，故D正确.
10.BD 对于A，＝（2，1，0），＝（－1，2，1），可知≠λ，与不共线，A错误；对于B，∵＝（2，1，0），∴｜｜＝，∴＝（ ，，0），即与同向的单位向量是（ ，，0），B正确；对于C，∵＝（－3，1，1），∴cos＜，＞＝＝＝－，即和夹角的余弦值为－，C错误；对于D，设平面ABC的法向量n＝（x，y，z），则令x＝1，解得y＝－2，z＝5，∴n＝（1，－2，5），即平面ABC的一个法向量为（1，－2，5），D正确，故选B、D.
11.ACD 令x＝1，可得（ 1＋）（ 2x－）6的展开式中各项系数的和为（1＋a）×1＝2，∴a＝1，故选项A正确；∵（ 1＋）（ 2x－）6＝（ 1＋）·（64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4＋x－6），故展开式中常数项为－160，故选项B不正确；（ 1＋）（ 2x－）6的展开式中各项系数绝对值的和，即（ 1＋）（ 2x＋）6的展开式中各项系数和，为（1＋a）·36＝2×36＝1 458，故选项C正确；根据（ 1＋）（ 2x－）6＝（ 1＋）·（64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4＋x－6）＝64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4＋x－6＋64x5－192x3＋240x－＋60x－3－12x－5＋x－7可得，若r为偶数，则展开式中xr和xr－1的系数相等，故选项D正确，故选A、C、D.
12.1 解析：因为B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），E（－2，1，m），所以＝（0，1，1），＝（－1，1，1），＝（－3，1，m），根据平面向量的基本定理，存在实数x，y，使得＝x＋y，则有解得m＝1.
13.1 080 解析：当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为··＝960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080（个）.
14. 解析：根据题意，Pn为观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率，则Pn＝Pn－1·＋（1－Pn－1）·＝Pn－1＋，n≥2，所以Pn－＝·（ Pn－1－），n≥2.又P1－＝－＝，故{Pn－}是首项为，公比为的等比数列，所以Pn－＝（ ）n－1，即Pn＝＋（ ）n－1.因为y＝（ ）x在R上为减函数，所以数列{Pn}单调递减，所以当n≥2时，Pn≤P2＝＋＝，所以M≥，所以M的最小值为.
15.解：（1）Tk＋1＝·（）n－k·＝·，
由题意可知＋＝2，
即n2－9n＋14＝0，
解得n＝2（舍）或n＝7.所以n＝7.
（2）由（1）知Tk＋1＝·.
当＝0时，k＝，由于k N*，
所以此展开式中无常数项.
16.解：（1）散点图如图所示.
（2）根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系.
根据数据可知，＝5，＝38，xiyi＝1 190，＝165，代入公式得＝＝＝6，
＝－＝38－6×5＝8.
故所求的经验回归方程是＝6x＋8.
17.解：（1）由题意知对业务水平满意的有300×＝260（人），对服务水平不满意的有300×（1－）＝100（人），得2×2列联表如下所示：
对服务水平 满意人数 对服务水平 不满意人数 合计
对业务水平 满意人数 180 80 260
对业务水平 不满意人数 20 20 40
合计 200 100 300
提出假设H0：业务水平与服务水平无关联.经计算得χ2＝＝≈5.77＞5.024，
因为当H0成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关联.
（2）X的可能值为0，1，2.
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
18.解：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，
∴CD⊥AB.
又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCB，
∴AB⊥平面PCB.
（2）由（1）知AB⊥平面PCB，
∴AB⊥BC.
∵PC＝AC＝2，AB＝BC，
∴BC＝AB＝.
如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，，0），C（，0，0），P（，0，2），
∴＝（，－，2），
＝（，0，0），
则·＝×＋0＋0＝2，
∴cos＜，＞＝＝＝，
故异面直线AP与BC所成的角为.
（3）结合（2）中建立的空间直角坐标系，设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1）.
易知＝（0，－，0），＝（，－，2）.
由得令z1＝－1，得x1＝，y1＝0，
∴平面PAB的一个法向量为m＝（，0，－1）.
设平面PAC的法向量为n＝（x2，y2，z2）.
易知＝（0，0，－2），＝（，－，0）.
由得令x2＝1，
得y2＝1，z2＝0，
∴平面PAC的一个法向量为n＝（1，1，0）.
∴cos＜m，n＞＝＝＝.
由图知，二面角C-PA-B的平面角为钝角，
∴二面角C-PA-B的平面角的余弦值为－.
19.解：（1）①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P（η＝n），
显然P（η＝n）＝（）n（）3－n，则P（ξ＝m｜η＝n）＝（）m（）3－n－m＝（）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝（）3－n·（）n·（）3－n＝＝.
（2）证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝pij.
4 / 4(共43张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 4×5×6×…×（n－1）×n＝（ ）
C. n！－4！
解析： 由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）
×…×6×5×4＝ .
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2. 已知随机变量X的概率分布如表（其中a为常数）.
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则P（1≤X≤3）＝（ ）
A. 0.4 B. 0.5
C. 0.6 D. 0.7
解析： 由概率之和等于1可知a＝0.2，所以P（1≤X≤3）＝
0.1＋0.2＋0.3＝0.6.
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3. 已知随机变量X，Y满足Y＝aX＋b，且a，b为正实数.若D
（X）＝2，D（Y）＝8，则（ ）
A. b＝2 B. a＝4
C. a＝2 D. b＝4
解析： 由方差的性质可得，D（Y）＝D（aX＋b）＝a2D
（X）.因为D（X）＝2，D（Y）＝8，所以8＝2a2.又a为正实
数，所以a＝2.故选C.
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4. 如图，在棱长均相等的四面体O-ABC中，点D为AB的中点，CE
＝ ED，设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（ ）
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解析： ∵CE＝ ED，∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （
＋ ）＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ （ － ）＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a
＋ b＋ c.
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5. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依
次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率
是（ ）
解析： 设A＝“第一次摸出正品”，B＝“第二次摸出正
品”，则P（A）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，故P（B｜
A）＝ ＝ .
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6. 某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一
次体能测试.这次体能测试满分为100分，已知测试成绩X服从正态
分布N（70，σ2）.若X在[60，70]内的概率为0.2，则该学校高三
年级学生体能测试成绩在80分以上的人数约为（ ）
A. 160 B. 200
C. 240 D. 320
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解析： 因为测试成绩服从正态分布N（70，σ2），所以P
（70≤X≤80）＝P（60≤X≤70）＝0.2，则P（X＞80）＝0.5
－0.2＝0.3，即该学校高三年级学生体能测试成绩在80分以上的人
数约为0.3×800＝240.故选C.
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7. 当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相
关化，比如反比例关系y＝ ，可以设一个新的变量z＝ ，这样y
与z之间就是线性关系.下列表格中的数据可以用非线性方程 ＝
0.14x2＋ 进行拟合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用线性回归的相关知识，可求得 的值约为（ ）
A. 2.98 B. 2.88 C. 2.78 D. 2.68
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解析： 设z＝x2，则 ＝0.14z＋ ，则
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
则 ＝ ＝ ， ＝ ＝5，则 ＝
－0.14 ＝5－0.14× ≈2.88.故选B.
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8. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB
＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线
段AO的长度为（ ）
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解析： ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴ ＝ ＝
（ ＋ ），∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ，∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A
＝3，AB＝AC＝2，∴｜ ｜2＝｜ ｜2＝4，｜ ｜2＝9，
· ＝0， · ＝ · ＝3×2× cos 60°＝3，∴ ＝
（ ＋ ＋ ）2＝ （｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋
2 · ＋2 · ＋2 · ）＝ ，∴｜ ｜＝ ，即
AO＝ ，故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变
C. 随机误差的平方和越小，说明模型的拟合程度越好
D. 在一个2×2列联表中，若χ2＝13.079，则有99.9%的把握认为这两个变量之间有关系
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解析： 数据的方差与加了什么样的常数无关，故A正确；对
于回归方程 ＝3－5x，变量x增加1个单位时， 平均减少5个单
位，故B错误；易知C正确；若χ2＝13.079＞10.828，则有99.9%的
把握认为这两个变量之间有关系，故D正确.
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10. 已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，
1），则下列说法正确的是（ ）
D. 平面ABC的一个法向量是（1，－2，5）
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解析： 对于A， ＝（2，1，0）， ＝（－1，2，1），可知 ≠λ ， 与 不共线，A错误；对于B，∵ ＝（2，1，0），∴
｜ ｜＝ ，∴ ＝（ ， ，0），即与 同向的单位向量是（ ， ，0），B正确；对于C，∵ ＝（－3，1，1），∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，即 和 夹角的余弦值为－ ，C错误；对于D，设平面ABC的法向量n＝（x，y，z），则令x＝1，解得y＝－2，z＝5，∴n＝
（1，－2，5），即平面ABC的一个法向量为（1，－2，5），D
正确，故选B、D.
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11. 已知（ 1＋ ）（ 2x－ ）6的展开式中各项系数的和为2，则下列
结论正确的有（ ）
A. a＝1
B. 展开式中常数项为160
C. 展开式中各项系数的绝对值的和为1 458
D. 若r为偶数，则展开式中xr和xr－1的系数相等
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解析： 令x＝1，可得（ 1＋ ）（ 2x－ ）6的展开式中各
项系数的和为（1＋a）×1＝2，∴a＝1，故选项A正确；∵（ 1
＋ ）（ 2x－ ）6＝（ 1＋ ）·（64x6－192x4＋240x2－160＋
60x－2－12x－4＋x－6），故展开式中常数项为－160，故选项B不
正确；（ 1＋ ）（ 2x－ ）6的展开式中各项系数绝对值的和，
即（ 1＋ ）（ 2x＋ ）6的展开式中各项系数和，为（1＋a）·36
＝2×36＝1 458，故选项C正确；
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根据（ 1＋ ）（ 2x－ ）6＝（ 1＋ ）·（64x6－192x4＋240x2－160
＋60x－2－12x－4＋x－6）＝64x6－192x4＋240x2－160＋60x－2－12x－4
＋x－6＋64x5－192x3＋240x－ ＋60x－3－12x－5＋x－7可得，若r为
偶数，则展开式中xr和xr－1的系数相等，故选项D正确，故选A、C、
D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知点B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），若点E
的坐标为（－2，1，m），且点B，C'，D'，E四点共面，则实
数m的值为 .
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解析：因为B（1，0，0），C'（1，1，1），D'（0，1，1），E
（－2，1，m），所以 ＝（0，1，1）， ＝（－1，1，
1）， ＝（－3，1，m），根据平面向量的基本定理，存在实
数x，y，使得 ＝x ＋y ，则有解得m
＝1.
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13. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有
一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.
（用数字作答）
解析：当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为
· · ＝960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个
数为 ＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080
（个）.
1 080
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14. 某地有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看
到该景区的广告后，不来此景区的概率为 ，从第二次看到广告
起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 ，若前一
次来此景区，则这次来此景区的概率是 .记观众甲第n次看到广
告后不来此景区的概率为Pn，若当n≥2时，Pn≤M恒成立，则
M的最小值为 .
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解析：根据题意，Pn为观众甲第n次看到广告后不来此景区的概
率，则Pn＝Pn－1· ＋（1－Pn－1）· ＝ Pn－1＋ ，n≥2，所以
Pn－ ＝ ·（ Pn－1－ ），n≥2.又P1－ ＝ － ＝ ，故{Pn－
}是首项为 ，公比为 的等比数列，所以Pn－ ＝ （ ）n－
1，即Pn＝ ＋ （ ）n－1.因为y＝（ ）x在R上为减函数，所
以数列{Pn}单调递减，所以当n≥2时，Pn≤P2＝ ＋ ＝ ，所
以M≥ ，所以M的最小值为 .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）若 展开式中第二、三、四项的二
项式系数成等差数列.
（1）求n的值；
解： Tk＋1＝ ·（ ）n－k· ＝ · ，
由题意可知 ＋ ＝2 ，即n2－9n＋14＝0，解得n＝2
（舍）或n＝7.所以n＝7.
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（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
解： 由（1）知Tk＋1＝ · .
当 ＝0时，k＝ ，由于k N*，
所以此展开式中无常数项.
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16. （本小题满分15分）随着网络的普及，网上购物的方式已经
受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x
（单位：件）与店铺的浏览量y（单位：次）之间的对应数据
如下表所示：
x/件 1 3 5 7 9
y/次 10 30 40 50 60
（1）根据表中数据画
出散点图；
解： 散点图如图所示.
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（2）根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程.
解：根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系.
根据数据可知， ＝5， ＝38， xiyi＝1 190， ＝
165，代入公式得 ＝ ＝ ＝6，
＝ － ＝38－6×5＝8.
故所求的经验回归方程是 ＝6x＋8.
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17. （本小题满分15分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，
即无需改变自己的手机号码就能转换运营商，并享受其提供的各
种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围内正式
启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，
对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率
为 ，服务水平的满意率为 ，对业务水平和服务水平都满意的
客户有180人.
（1）列出2×2列联表，能否有97.5%的把握认为业务水平与服务
水平有关联？
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解： 由题意知对业务水平满意的有300× ＝260（人），对服务水平不满意的有300×（1－ ）＝100（人），得2×2列联表如下所示：
对服务水平满意人数 对服务水平不满
意人数 合计
对业务水平满意人数 180 80 260
对业务水平不满意人数 20 20 40
合计 200 100 300
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提出假设H0：业务水平与服务水平无关联.经计算得χ2＝
＝ ≈5.77＞5.024，
因为当H0成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以有
97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关联.
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（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户
中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的
人数，求X的概率分布与均值.
附：χ2＝ .
P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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解： X的可能值为0，1，2.
则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，
P（X＝2）＝ ＝ .所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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18. （本小题满分17分）如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面
ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面
PAB.
（1）求证：AB⊥平面PCB；
解： 证明：∵PC⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB，AB 平面PAB，∴CD⊥AB.
又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCB，
∴AB⊥平面PCB.
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（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
解： 由（1）知AB⊥平面PCB，
∴AB⊥BC.
∵PC＝AC＝2，AB＝BC，
∴BC＝AB＝ .
如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0， ，0），C
（ ，0，0），P（ ，0，2），
∴ ＝（ ，－ ，2），
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＝（ ，0，0），
则 · ＝ × ＋0＋0＝2，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
故异面直线AP与BC所成的角为 .
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（3）求二面角C-PA-B的平面角的余弦值.
解： 结合（2）中建立的空间直角坐标系，设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1）.
易知 ＝（0，－ ，0）， ＝（ ，－ ，2）.
由得令z1
＝－1，得x1＝ ，y1＝0，
∴平面PAB的一个法向量为m＝（ ，0，－1）.
设平面PAC的法向量为n＝（x2，y2，z2）.
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易知 ＝（0，0，－2）， ＝（ ，－ ，0）.
由得令x2＝1，
得y2＝1，z2＝0，
∴平面PAC的一个法向量为n＝（1，1，0）.
∴ cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ .
由图知，二面角C-PA-B的平面角为钝角，
∴二面角C-PA-B的平面角的余弦值为－ .
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19. （本小题满分17分）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变
量，则称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.
设（ξ，η）的一切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记
pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝
bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子
中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为
η，则（ξ，η）是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
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②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果
用m，n表示）；
解： ①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取
值为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，
0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，
0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝
m｜η＝n）·P（η＝n），
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显然P（η＝n）＝ （ ）n（ ）3－n，则P（ξ＝m｜η＝
n）＝ （ ）m（ ）3－n－m＝ （ ）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝ （ ）3－n· （ ）n·（ ）
3－n＝ ＝ .
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（2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝ pij.
解： 证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）
∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝
b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]
＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝ P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝ P（ξ＝ai，η＝bj）＝ pij.
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谢 谢 观 看！
