21.2.3 公式法 同步练习（含答案）【勤径学升】2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 公式法
教材必备知识精练
知识点1 一元二次方程根的判别式
1.［2023吉林中考］一元二次方程 根的判别式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
2.［2024自贡中考］关于的一元二次方程 根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.［2024北京中考］若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为( )
A. B. C.4 D.16
4.新趋势·条件开放 ［2023济南中考］关于 的一元二次方程有实数根，则 的值可以是__________________（写出一个即可）.
5.教材P17T4变式 不解方程，直接判断下列一元二次方程的根的情况.
（1） ；
（2） ；
（3） .
知识点2 用公式法解一元二次方程
6.［2025福州长乐区期中］下列一元二次方程中，根是 的方程是( )
A. B.
C. D.
7.教材P12T1变式 用公式法解下列方程：
（1） ；
（2） ;
（3） ；
（4） .
8.教材P17T13变式 ［2025连云港赣榆区期中］已知关于 的方程 .
（1）求证：不论 取何值，方程总有两个实数根.
（2）不论 取何值，方程有一根为定值，请求出这个定值.
学科关键能力构建
9.易错题 ［2024广安中考］若关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )
A.且 B.
C.且 D.
10.［2023广州中考］已知关于的方程 有两个实数根，则 的化简结果是( )
A. B.1 C. D.
11.［2023内江中考］对于实数，定义运算“ ”为 .例如：，则关于的方程 的根的情况，下列说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
12.［2024河北中考］淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 ( )
A.1 B. C. D.1或
13.用公式法解下列方程：
（1） ;
（2） .
14.［2025珠海八校期中联考］已知关于 的一元二次方程，其中，，分别为 三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由.
15.易错题 已知关于的一元二次方程 ．
（1）试判断这个方程的根的情况.
（2）是否存在实数，使这个方程的两个根为连续偶数？若存在，求出 的值及方程的根；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
【解析】 对于一元二次方程,,, （确定,, 的值时,要注意它们的符号）, ．
2.A
【解析】 ， 方程有两个不相等的实数根（当一元二次方程中，与 异号时，该一元二次方程必有两个不相等的实数根）.
3.C
【解析】 方程 有两个相等的实数根，，解得 .
4.1 （答案不唯一）
【解析】 关于的一元二次方程 有实数根,,解得,则 的值可以是1．
5.（1）解：因为,,,
所以,
所以方程有两个不相等的实数根.
（2）因为,,,
所以,
所以方程有两个相等的实数根.
（3）因为,,,
所以,
所以方程无实数根.
6.A
7.（1）解：,,,
,
方程有两个不相等的实数根，
,
,．
（2）,,,
,
方程有两个相等的实数根,
.
（3）原方程可化为.
,,,
,
方程有两个不相等的实数根,
,
,.
（4）原方程可化为.
，，，
，
此方程无实数根.
8.（1）证明：，
，，，
，
不论取何值，方程总有两个实数根.
（2）解：由（1）得，
由一元二次方程的求根公式得，
，，
不论取何值，方程有一根为定值，定值为3.
9.A
【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，，解得 ，，的取值范围是且 .
10.A
【解析】 关于的方程 有两个实数根, ,解得, , , ．
11.A
【解析】 , ,
,
, 关于 的方程
有两个不相等的实数根．
12.C
【解析】 由题意，得，即，解得 （负值已舍去）.
13.（1）解：原方程可化为,
,,,
,
方程有两个不相等的实数根,
,
,.
（2）原方程可化为,即，
,,,
,
方程有两个不相等的实数根,
,
,.
14.（1）解：是等腰三角形.理由如下：
是方程的根，
，
，，
是等腰三角形.
（2）是直角三角形.理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，，
是直角三角形.
15.（1）解：,
,方程有两个实数根.
（2）存在.
解方程,得,.
当时,,方程的根为,；
当时,,方程的根为,.
存在满足题意的实数,的值为或.