21.2.4 因式分解法 同步练习（含答案）【勤径学升】2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 因式分解法
教材必备知识精练
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.［2024贵州中考］一元二次方程 的解是( )
A.， B.，
C.， D.，
2.［2025江门江海区期末］已知一元二次方程的两根分别为 ， ，则这个方程可能为( )
A. B.
C. D.
3.［2025唐山滦州期中］嘉嘉在解方程 时，只得到一个解是 ，则他漏掉的解是( )
A. B. C. D.
4.［2025上海杨浦区期末］关于的方程 的解是________________.
5.教材P14T1变式
用因式分解法解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ；
（4） .
6.新趋势·过程性学习以下是某同学解方程 的过程：
解：方程两边因式分解，得 ，①
方程两边同除以，得 ，②
原方程的解为 ．③
（1）上面的运算过程中，第____步出现了错误．（填序号）
（2）请你写出正确的解答过程．
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
7.用合适的方法解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
学科关键能力构建
8.［2024宿州埇桥区期中］若，则 的值为( )
A.或3 B.1或 C. D.3
9.［2024赤峰中考］等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为( )
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
10.［2025成都郫都二中期中］用因式分解法解方程 ，将左边分解因式后有一个因式是，则 的值是____.
11.一题多解若关于的方程的两根分别是 和5,则多项式 可以分解为_______________.
解法一 由题意,知 ,所以 .
解法二 因为方程的两根分别是 和5,所以
解得 所以
.
12.［2024枣庄期中］如图，已知，，是数轴上异于原点 的三个点，且点为的中点，点为的中点.若点表示的数是，点 表示的数是，则 ___.
13.我们知道可以用公式 来分解因式，解关于 的一元二次方程.
（1）方程可分解为______________ ，
方程可分解为_______________ .
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是
1的方程也可以借助此方法求解.
如方程 可分解为
，从而可以快速求出方程的根.
请你利用此方法尝试解方程 .
14.运算能力阅读：我们可以用换元法解简单的高次方程，解方程时，可设，则原方程可化为 ，解得，.当时，，所以， ；当时，，所以，，故原方程的根为 ，，， .
仿照上述方法解答下列问题.
（1）已知方程，设 ，则原方程可化
为_______________.
（2）解方程： .
参考答案
1.B
【解析】 ，，或 ，
， .
2.A
3.A
【解析】 , （注意：移项时整体变号）,,或,,, 他漏掉的解是 ．（易错点：当等号的左右两边有相同的因式时,不要同除以这个相同的因式,容易造成漏解）
4.<【解析】 ，， 或，， .
5.（1）解：因式分解，得<<（2）原方程可化为<（3）原方程可化为<<（4）因式分解,得<<6.（1）②
（2）解：方程两边因式分解,得<方程左边因式分解,得<所以原方程的解为<7.（1）解：方程两边同除以2,得<<（2）配方,得<由此可得<<（3）<<<<<（4）移项,得<即<<8.D
【解析】 ,或,又, .
9.C
【解析】 解方程，得，，， 等腰三角形的底边长为3，腰长为7， 这个三角形的周长为 .
10.<【解析】 由题意，设 ，
，， ，
， .
11.<12.6
【解析】 是原点，且是的中点，， 点表示的数是 ， 点表示的数是是的中点， ，，即， ，解得， 点异于原点，， .
13.（1）<（2）解：方程<可分解为<<<14.（1）<（2）解：设<则原方程左边<所以原方程可化为<解得<当<所以<当<因为<故原方程的根为<