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圆锥曲线的方程测试卷——抛物线（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：已知，解得，所以抛物线，
则的准线方程为，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得，再利用抛物线方程为，即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：
由题设易知，从而准线方程为.
设点点点坐标为，
由抛物线的定义知，，
所以有，所以到轴距离，故B正确；
故答案为：B
【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：由可得抛物线的焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为如图所示：
根据抛物线的定义可知，设，则，解得，
将代入可得，
所以的面积为.
故答案为：B.
【分析】先利用抛物线定义可得，再代入抛物线方程可得，最后利用三角形面积公式即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：点M到该抛物线焦点的距离为3，点M到该抛物线准线的距离为，求得，
抛物线方程为，代入，求得，
|OM|＝ .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线定义得，求出抛物线方程代入求出点M坐标，进而求|OM|.
5．【答案】A
【解析】【解答】设抛物线方程为，
依题意，代入得，
所以抛物线方程为.
故答案为：A
【分析】 先设出抛物线的方程，将点代入抛物线的方程求得p，即可求出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】依题意，抛物线的焦点，设正三角形另外两个顶点为，可得：，整理得，
因此有，而，即有，于是得点关于y轴对称，如图，
等边三角形中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角是，
所以点分别在上，由，解得，
根据抛物线的定义得其边长为．
故答案为：A
【分析】设正三角形另外两个顶点为，根据抛物线的对称性求得，得到直线的倾斜角为，直线的倾斜角是，求得直线方程，联立方程组，结合抛物线的定义，即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】设 内切圆的半径为 ，由双曲线的定义得 ， ，由题意得 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】设 内切圆的半径为 ，由双曲线的定义得 ， ，由整理得，所以 .
8．【答案】B
【解析】【解答】 为抛物线 的准线上一点，
则 ，解得p=6；
∴抛物线的标准方程为y2=12x，焦点为F(3，0)，准线方程为x= 3；
过点P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，∴ ；
如图所示，
设PA的倾斜角为 ，则 ，
当m取得最小值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切；
设直线PA的方程为 ，代入y2=12x，
可得 .
∴ ，
解得 或 (不合题意，舍去)，
可得切点 ；
由题意可得双曲线的焦点为( 3，0)，(3，0)，
∴双曲线的实轴长为 .
∴双曲线的离心率为 .
故答案为：B.
【分析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为N，设PA的倾斜角为α，当m取最小值时cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出双曲线的离心率．
9．【答案】A,D
【解析】【解答】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，
过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得，
则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；
将代入抛物线方程，解得，故C错误；
焦点，点，即，
所以，故D正确；
故答案为：A、D．
【分析】
根据焦半径公式求得判断A正确，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断B、C错误，
利用三角形面积公式求解面积判断D.正确.
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：因为 抛物线C方程为：，
所以p=3，
对A选项，因为，当MN⊥x轴取等号，
A正确；
对B选项，若点，则，当PM⊥y轴时取等号，
B正确；
对C选项，设直线MN的倾斜角为，，
则根据抛物线的定义易得：，
所以，同理可得，
所以，
C错误；
对D选项，由C选项分析可知
，，
所以，
所以，
所以，
直线MN的斜率为 ，
D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 根据抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦的性质，即可分别求解.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，A不符合题意；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设，
则 ，则 ，
故
，
令 ，则，
令 ，则 ，
当时， ， 递增，当时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时，取到最小值9，B符合题意；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设，
则，
即，
故，
，
所以，C符合题意；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，
即最小值为16，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】对于A，当时，不妨取 ，即可判断；对于B，当时，不妨设 在抛物线上逆时针排列，设，即可得 ，则 ，从而得到 ，换元 ，得到，再构造函数 ，通过求导，确定单调区间，即可判断B.当时，不妨设 在抛物线上逆时针排列，设，可得，，由此可判断C，D.
12．【答案】
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，
则由题意可设抛物线的方程为，
由题意可知点在抛物线线上，
则，
所以，
所以抛物线的方程为，
当水面再上升1cm时，，此时有，
解得，
所以此时的水面宽度为（）。
故答案为：。
【分析】 利用已知条件建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，则由题意可设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线线上，再利用代入法得出p的值，进而得出抛物线的标准方程，当水面再上升1cm时，，再利用代入法得出x的值，从而得出此时的水面宽度。
13．【答案】
【解析】【解答】由椭圆定义可知，
因为，所以，
过点作垂直于抛物线的准线于点，则，
由抛物线定义可知：，
故.
故答案为：
【分析】 利用椭圆定义求出|PF2|，再借助抛物线的定义结合几何图形计算，可得答案.
14．【答案】2
【解析】【解答】设
设 所以
又 所以
【分析】直线与抛物线联立方程组，再将垂直用向量转化为坐标之间的关系，代入韦达定理即可.
15．【答案】（1）解：设直线，，解得：，
由对称性，不妨取，
解得，，∴
解得：，∴抛物线．
（2）解：设，满足，设满足，
，即，
，直线，化为一般式为：，
由题意知：，
化简得：；同理，
故，为方程：的两根
化简整理为：，
由韦达定理知：，解得或，
∴或
【解析】【分析】 (1)根据直线OA与圆相切，利用点到直线距离等于半径可得直线OA斜率，再与抛物线联立解得A坐标，求得|OA|，即可得p，进而求出抛物线E的方程；
(2)利用点到直线距离等于半径可得关于一个点纵坐标的一元二次方程，同理可得第二个方程，两个方程同构，利用韦达定理可得关于P纵坐标的方程，解之即可得 P的坐标．
16．【答案】解：(I)∵准线方程x=- ，得 =1，
∴抛物线C的方程为
(II)过点P作准线的垂线，垂足为B，则 =
要使 + 的最小，则P，A，B三点共线
此时 + = + =4·
【解析】【分析】（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；
17．【答案】（1）解：∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等，
∴动点的轨迹是抛物线，其方程为.
（2）解：设.
∵，则，
∴.
又∵，则，
解得，
故.
【解析】【分析】（1）根据题意转化为到的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可求解；
（2）设，根据题意得到和，再由，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
18．【答案】解：（Ⅰ）设动点 的坐标为 ，由题意得， ，化简得 ，所以点 的轨迹 的方程为 (或由抛物线定义 解)
（Ⅱ）设 两点坐标分别为 ， ，则点 的坐标为 ．由题意可设直线 的方程为 ，
由 得 .
.
因为直线 与曲线 于 两点，所以 ， ．所以点 的坐标为 .
由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 .
当 时，有 ，此时直线 的斜率 .
所以，直线 的方程为 ，
整理得 .于是，直线 恒过定点 ；
当 时，直线 的方程为 ，也过点 ．
综上所述，直线 恒过定点 ．
（Ⅲ） ， 面积 .
当且仅当 时，“ ”成立，所以 面积的最小值为 ．
【解析】【分析】（1）本题利用两点距离公式和点到直线的距离公式建立两个距离相等的关系式，从而化简得到点M的轨迹C的方程。
（2）本题利用抛物线与直线相交的位置关系联立二者方程，利用韦达定理求出两个交点坐标，再借助两点求直线斜率的公式证出直线PQ恒过一个定点E(3，0)。
（3）本题利用三角形面积公式求出三角形面积S，再借助均值不等式求出三角形面积的最小值。
19．【答案】（1）解：据题意，抛物线段AB与x轴相切，且A为抛物线的顶点，设 ，则抛物线段AB在图纸上对应函数的解析式可设为 ，其导函数为
由曲线段BD在图纸上的图像对应函数的解析式为 ，
又 ，且 ，所以曲线在 点处的切线斜率为 ，
因为 点为衔接点，则 解得
所以曲线段 在图纸上对应函数的解析式为
（2）解：设 是曲线段AC上任意一点，
①若P在曲线段AB上，则通过该点所需要的爬坡能力
令 ，
所以函数 在区间 上为增函数，在区间 上是减函数，
所以 （米）
②若 在曲线段 上，则通过该点所需要的爬坡能力
令 则
记 当 时， 而当 时，
所以当 时， 有最小值 从而 取最大值
此时 （米）
所以由①，②可知：车辆过桥所需要的最大爬坡能力为 米，
又因为 ，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．
【解析】【分析】（1）据题意，抛物线段AB与x轴相切，得到曲线段 在图纸上对应函数的解析式为 ，由B点为衔接点列式， 得到曲线段AB在图纸上对应函数的解析式；
（2）设 是曲线段AC上任意一点，分别求P在两段上时，函数的最大值，通过该点所需要的爬坡能力，利用二次函数求其最值， 换元法求其最大阻值，即可判断可以顺利通过该桥．
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圆锥曲线的方程测试卷——抛物线（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (63.2%)
2 容易 (15.8%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数解析式的求解及常用方法 17.0(11.3%) 19
2 抛物线的标准方程 87.0(58.0%) 3,4,5,9,11,15,16,17,18
3 抛物线的简单性质 78.0(52.0%) 1,2,3,4,6,7,9,10,11,16,17
4 平面内点到直线的距离公式 13.0(8.7%) 15
5 双曲线的简单性质 5.0(3.3%) 8
6 平面向量的基本定理 5.0(3.3%) 14
7 基本不等式在最值问题中的应用 17.0(11.3%) 19
8 椭圆的定义 5.0(3.3%) 13
9 抛物线的定义 63.0(42.0%) 2,4,6,8,9,13,17,18
10 直线的点斜式方程 13.0(8.7%) 15
11 双曲线的标准方程 5.0(3.3%) 8
12 抛物线的应用 44.0(29.3%) 12,14,18,19
13 函数的定义域及其求法 17.0(11.3%) 19
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圆锥曲线的方程测试卷——抛物线（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段的中点，若，则点M到y轴的距离为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．12
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（ ）
A． B． C．4 D．
5．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为双曲线右支上的一点，是该双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（）
A． B． C． D．
8．设 为抛物线 的准线上一点，F为C 的焦点，点P在C上且满足 ，若当m取得最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
A． B．3 C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ）
A． B．抛物线的准线为直线
C． D．的面积为
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是6
B．若点，则的最小值是4
C．
D．若，则直线的斜率为
11．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
三、填空题(共3题；共15分)
12．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为 cm．
13．已知椭圆的左 右焦点分别为，且是抛物线的焦点，若P是椭圆与抛物线的交点，且，则的值为 .
14．已知点M（-1 . 1）和抛物线C：=4x ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知圆，抛物线，过原点作圆C的切线交抛物线于A，且．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设P是抛物线E上一点，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于Q，R，若直线的斜率为-1，求P的坐标．
16．已知抛物线 的准线方程为 ， 为抛物线的焦点．
（I）求抛物线 的方程；
（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（ ，2），求 的最小值．
17．已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求.
18．已知动点 到点 的距离，等于它到直线 的距离．
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 任意作互相垂直的两条直线 ，分别交曲线 于点 和 ．设线段 ， 的中点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 面积的最小值．
19．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：
其中，点 为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为 ，曲线段 均为开口向上的抛物线段，且 分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（ ）的切线的斜率相等.
（1）求曲线段 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；
（2）车辆从A经B倒C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为： （该点P与桥顶间的水平距离） （设计图纸上该点处的切线的斜率），其中 的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥
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