2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂第十四讲 角的平分线（含解析）

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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第十四讲 角的平分线
知识点梳理
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
要点诠释：
适用范围 ：适用于任意角（包括锐角、直角、钝角），需确保作图时半径足够大以保证两弧相交。
工具要求 ：仅使用无刻度的直尺和圆规，避免测量误差
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
要点诠释：
需明确“距离”为垂线段长度，非任意线段
判定时需同时满足“垂直”和“距离相等”两个条件
知识点3 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
要点诠释：
1.条件要求
点必须位于角的内部（外部或边界点不满足）；
需满足“到角两边距离相等”，即点到两边的垂线段长度相等。
2.几何表达
若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，若PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。
3.关键注意事项
垂直条件：距离必须通过垂直线段测量，非任意线段不可替代
知识点4 三角形的角平分线
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
要点诠释：
需注意区分“角的平分线”（射线）与“三角形的角平分线”（线段），两者在定义和应用场景上存在本质区别
题型1 尺规作角平分线
例1．如图，在等腰中，，E，F分别是的中点．
（1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：．
需确保作图时半径足够大以保证两弧相交。
针对训练1
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．
（1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）计算△ABD的面积．
2．在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
题型2 角平分线的性质
例2．如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB 相交于点D，E.
（1）当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由.
（2）当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 不垂直，到达图②的位置，(1)中的结论是否成立 判断并说明理由.
（3）当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否还成立 请在图③中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE 与OC 之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，不需证明.
性质所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
针对训练2
1．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　．
2．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为　 　．
3．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
题型3角平分线的判定
例3．如图，在中，，于点，，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
距离必须通过垂直线段测量，非任意线段不可替代
针对训练3
1．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
2．如图，已知的角平分线相交于点P，连接．是否平分 请说明理由．
3．如图，和均为等边三角形，且点B，C，D在同一直线上，交于点G，交于点H，连结．则下列结论中正确的有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
.
题型4角平分线性质的实际应用
例4．如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（　　）
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
注意区分“角的平分线”（射线）与“三角形的角平分线”（线段），两者在定义和应用场景上存在本质区别
针对训练4
1．如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线．
（1）填空：当，时， ， ；
（2）当时，求，的度数；
（3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
2．（1）如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）
3．如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
题型5角平分线性质定理及证明
例5．如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F．
（1）求证：是的垂直平分线．
（2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论．
条件明确 ：需明确“距离”指垂线段长度，而非任意相交线段。
结合判定定理 ：可同时使用角平分线性质与判定定理，简化证明过程
针对训练5
1．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且．
（1）求证：；
（2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
2．的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由．
3．如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线．
创新拓展能力提升
1．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
（2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
2．（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；
（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由．
3．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点．
（1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；
（3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积．
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第十四讲 角的平分线（解析版）
知识点梳理
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
要点诠释：
适用范围 ：适用于任意角（包括锐角、直角、钝角），需确保作图时半径足够大以保证两弧相交。
工具要求 ：仅使用无刻度的直尺和圆规，避免测量误差
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
要点诠释：
需明确“距离”为垂线段长度，非任意线段
判定时需同时满足“垂直”和“距离相等”两个条件
知识点3 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
要点诠释：
1.条件要求
点必须位于角的内部（外部或边界点不满足）；
需满足“到角两边距离相等”，即点到两边的垂线段长度相等。
2.几何表达
若点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，若PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。
3.关键注意事项
垂直条件：距离必须通过垂直线段测量，非任意线段不可替代
知识点4 三角形的角平分线
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
要点诠释：
需注意区分“角的平分线”（射线）与“三角形的角平分线”（线段），两者在定义和应用场景上存在本质区别
题型1 尺规作角平分线
例1．如图，在等腰中，，E，F分别是的中点．
（1）如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接．（要求：只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是的中点．求证：．
需确保作图时半径足够大以保证两弧相交。
【答案】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：分别是的中点，
，．
，
，
平分，
，
在和中，
，
．
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）作的平分线交于点D，连接解题；
（2）根据得到，然后根据全等三角形的性质解题即可．
（1）解：补全图形如下：
（2）证明：分别是的中点，
，．
，
，
平分，
，
在和中，
，
．
．
针对训练1
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．
（1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）计算△ABD的面积．
【答案】解：（1）作图如下：
AD是∠ABC的平分线．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝＝10，
作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACB＝90°，AD是∠ABC的平分线，
∴CD＝DE，
设CD＝DE＝x，
∴DB＝6﹣x，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE＝8，
∴EB＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DBE中由勾股定理得：x2+22＝（6﹣x）2
解方程得x＝，
∴S＝AB DE＝．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作出∠CAB的角平分线即可；
（2）首先利用勾股定理算出AB的长，作DE⊥AB，垂足为E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得CD=DE，设CD＝DE＝x，则DB=6-x，利用那个HL判断出Rt△ADC≌Rt△ADE，由全等三角形的对应边相等得AC=AE=8，在Rt△DEB中，利用勾股定理构建方程，求解得出x的值，即可得到DE的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算可得答案.
2．在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确，
故答案为：A．
【分析】由作图得到平分，，即可得到，然后根据同角的余角相等即可判断①；推导，得到，即可判断②．
题型2 角平分线的性质
例2．如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB 相交于点D，E.
（1）当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由.
（2）当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 不垂直，到达图②的位置，(1)中的结论是否成立 判断并说明理由.
（3）当∠DCE 绕点C旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否还成立 请在图③中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE 与OC 之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，不需证明.
性质所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
【答案】（1）解：∵OM是∠AOB的角平分线，
∴
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，
在Rt△OCD中，，
同理：，
∴.
（2）解：(1)中结论成立.
作 ，垂足为点 F，G，
∴∠OFC=∠OGC=90°.
∵∠AOB=60°
∴∠FCG=120°
由(1)知
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG.
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CDF≌△CEG，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，
∴
（3）解：(1)中结论不成立.有结论：
理由如下：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°.
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同(1)的方法得：，，
∴.
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG.
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG
∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，
∴
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出，同，即可得出结论；
(2)同(1)的方法得，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；
(3)同(2)的方法即可得出结论.
针对训练2
1．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，，
∴，
又∵直角中，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】
根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
2．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
在中，，，
∴，
∵为的角平分线，，DE⊥AB，
∴
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可.
3．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，即可证出；
（2）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得BF=CD=7，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型3角平分线的判定
例3．如图，在中，，于点，，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
距离必须通过垂直线段测量，非任意线段不可替代
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可；
（）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
针对训练3
1．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
2．如图，已知的角平分线相交于点P，连接．是否平分 请说明理由．
【答案】解：平分；理由如下：
如图，过点P作、、，垂足分别为，
∵的角平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴平分．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：平分；理由如下：
如图，过点P作、、，垂足分别为，
∵的角平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴平分．
【分析】根据角平分线的性质求出，，再求出，最后求解即可。
3．如图，和均为等边三角形，且点B，C，D在同一直线上，交于点G，交于点H，连结．则下列结论中正确的有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，故（1）正确，
∵，
∴，故（2）正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故（3）错误，
∵，
∴是等边三角形，故（5）正确；
如图，过点作于于，
∵，
∴，
又∵于于，
∴平分，故（4）正确；
故选：C．
【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是直角得出，然后由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证，根据全等三角形的对应边相等得出，可判断（1）；由全等三角形的对应角相等可得，结合三角形内角和是180°可判断（2）；由两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证，根据全等三角形的对应边相等推得，即可判断（3）；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形的判定可证是等边三角形，可判断（5），由全等三角形的对应边相等可得，可证平分，可判断（4）.
题型4角平分线性质的实际应用
例4．如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（　　）
A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置
C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置
注意区分“角的平分线”（射线）与“三角形的角平分线”（线段），两者在定义和应用场景上存在本质区别
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在三条角平分线的交点处．
故选：A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．根据加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得：加油站的位置为三条角平分线的交点位置 ．
针对训练4
1．如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线．
（1）填空：当，时， ， ；
（2）当时，求，的度数；
（3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：
，
，分别是，的平分线；，分别是，的平分线
，
，
（3）解：当的大小变化时，的值不变化，理由如下：
由（2）可知：
当的大小变化时，的值不变化．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的应用
【解析】解：（1），，
，
，分别是，的平分线，，分别是，的平分线
，
，
故答案为：【第一空】；【第二空】.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线的性质；解题关键是熟练运用三角形内角和为这一性质，结合角平分线将角分成相等两部分的特点，通过设未知数等方法进行角度的计算和推导．
（1）先根据已知条件求出和，再根据角平分线的定义，求出，，，，最后利用三角形的内角和定理求出答案；
（2）先根据已知条件求出，，再根据角平分线的性质求出和，最后利用三角形的内角和定理求出答案；
（3）由（2）把和都用表示出来，然后求出即可判断．
（1）解：（1），，
，，
，分别是，的平分线，，分别是，的平分线，
，，
，；
故答案为：，；
（2），
，
，，
，
，
，分别是，的平分线，，分别是，的平分线，
，，
，，
，；
（3）当的大小变化时，的值不变化，理由如下：
由（2）可知：
，
，
，
当的大小变化时，的值不变化．
2．（1）如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）
【答案】（1）解：分别作出公路夹角的角平分线和线段AB的中垂线，他们的交点为M，则M点就是修建超市的位置．
（2）解：如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求．
理由：如图，取的中点，连接，作格点，交、于、，
，
根据勾股定理求得，
∵，
的周长，；
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴（），
∴，
∴的周长的一半，，
∴直线恰好将的周长和面积都平分
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【分析】(1)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市M应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可.
（2）如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求．
3．如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【答案】解：如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；角平分线的应用
【解析】【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
题型5角平分线性质定理及证明
例5．如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F．
（1）求证：是的垂直平分线．
（2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论．
条件明确 ：需明确“距离”指垂线段长度，而非任意相交线段。
结合判定定理 ：可同时使用角平分线性质与判定定理，简化证明过程
【答案】（1）证明：是的平分线上一点，，，
，，
，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；
（2）解：是的平分线上一点，，
，
，，
，，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，由等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（1）证明：是的平分线上一点，，，
，，
，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；
（2）是的平分线上一点，，
，
，，
，，
，
，
．
针对训练5
1．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且．
（1）求证：；
（2）请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
2．的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，∠ACD=60°，
同理可得：BC=CE，∠BCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠BCE，
即∠DCB=∠ACE，
在△BCD和△ECA中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS），
∴BD=AE.
（2）解：如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，
由（1）可得：△BCD≌△ECA，
∴∠CDB=∠CAE，CP=CQ，
∴OC平分∠DOE，
∴∠DOC=∠COE=，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=∠ADC=60°，
∴∠DOE=∠ODA+∠OAD=（∠ADC-∠CDB）+（∠DAC+∠CAE）=120°，
∴∠DOC=∠COE=60°，
∴∠AOC=180°-∠COE=120°.
（3）解：①和②均正确，
选①证明：
如图2，在上取一点，使，连接，
，
∴为等边三角形，
∴，，
∴∠ACD-∠MCF=∠OCM-∠MCF
即，
在△CMD和△COA中，
，
∴，
∴，
∴，
∴ 结论①是正确的；
选②证明：
如图3，在上取一点，使，连接，
，
为等边三角形，
，，
∴∠OCN-∠NCB=∠ECB-∠NCB
即，
，
，
，
，
∴结论②是正确的．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，即可证得，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先作辅助线，过点分别作，垂直于，，由（1）可得：，再根据角平分线的判定∠DOC=∠COE=，然后利用等边三角形可证得，最后利用邻补角即可求得结论；
（3）选①证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，得，即可得出结论；选②证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，得，即可得出结论．
（1）证明：∵等边三角形和等边三角形，
，，，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
，
，
，
如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，
，
，
平分，
，
；
（3）解：①和②均正确，理由如下：
选①证明：
如图2，在上取一点，使，连接，
，
∴为等边三角形，
∴，且，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
选②证明：
如图3，在上取一点，使，连接，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
3．如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线．
【答案】证明：∵，，
∴，
∴与都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得DE=DF，再结合，，即可证出是的平分线．
创新拓展能力提升
1．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
（2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
【答案】（1）③
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在△DEA和△DFC中，
，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知.
故答案为：③；
【分析】（1）根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解；
（2）DA=DC，理由如下：如图2中，作交延长线于点E，于点F，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，由题意用角角边可证△DEA≌△DFC，再根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形即可求解．
（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知，
故答案为：③；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（1）如图①，，平分，把三角尺的直角顶点放在上任意一点P处，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请说明理由；
（2）如图②，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，与相等吗？请说明理由．
【答案】（1）解：PE=PF，理由如下：
证明：如图，过点 作于，于.
故
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2），
理由：如图，过点作于，于，
故
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点 作于，于，结合已知，用角角边可证△PNO≌△PMO，由全等三角形的性质可得PN=PM，用角边角可证△PMF≌△PNE，然后由全等三角形的性质可求解；
（2）过点 作于，于，同理可求解.
3．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点．
（1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；
（3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的点到角的两边的距离相等可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明，可得，即可求解；
（3）先等量代换得到，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应边相等得出，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解．
（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
典例精讲
名师支招
名师支招
名师支招
名师支招
名师支招
典例精讲
名师支招
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