2026中考数学实数及其运算三年真题汇总（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026中考数学实数及其运算三年真题汇总（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-11 15:37:16 | ||
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文档简介
2026中考数学实数及其运算三年真题汇总
考点01 正负数的意义
1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
7．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
8．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
考点02 相反数、绝对值
1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
6．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
7．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
9．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ．
11．（2018·辽宁抚顺·中考真题）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
12．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
15．（2025·安徽·中考真题）计算： ．
16．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
17．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
18．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
考点03 数轴
1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
5．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
考点04 科学记数法
1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
8．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
考点05 无理数的涵义
1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
2．（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
4．（2023·湖南娄底·中考真题）从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江台州·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（2023·江苏南京·中考真题）整数a满足，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ．
9．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
考点06 实数的大小比较
1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”）
2．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
3．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）．
5．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ）
A． B．0.2 C． D．1
7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
8．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
考点07 实数的运算
1．（2025·上海·中考真题）计算：．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
3．（2024·西藏·中考真题）计算：．
4．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
6．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ．
7．（2023·湖南娄底·中考真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
9．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
……
则的值为 ．
答案解析
考点01 正负数的意义
1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作，
∴那么低于标准质量记作．
故选：A．
2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键．
根据正数的定义判断各选项是否符合条件．
【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故本选不项符合题意；
C．小于0，属于负数，故本选不项符合题意；
D．小于0，属于负数，故本选不项符合题意．
故选：A．
3．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：C．
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
【答案】
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
7．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
【答案】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
8．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
考点02 相反数、绝对值
1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
2．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：的相反数是
故选A．
3．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选D．
4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故选：D．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
【答案】A
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意；
B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意；
C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D、和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
6．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，
的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
7．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．
【详解】解：A. 的相反数是，则，故该选项符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
C. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】B
【分析】表示的相反数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选：B
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
9．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点B表示的数是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
11．（2018·辽宁抚顺·中考真题）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【分析】根据数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离进行解答即可得答案.
【详解】解：数轴上表示﹣的点到原点的距离是，
所以﹣的绝对值是，
故选D.
【点睛】本题考查了绝对值，熟知绝对值的定义以及性质是解题的关键.
12．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
13．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
14．（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】(1)过4秒或6秒
(2)3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，
根据题意，得，
解得或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
综上，，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
15．（2025·安徽·中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
16．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选：B
17．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
18．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
考点03 数轴
1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M．
故选：A．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
5．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，
∴原点在A、M之间，，
∴，，，
∴运算结果一定是正数的是，
故选：A．
考点04 科学记数法
1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可．
【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：
．
故选：C
2．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：将数据用科学记数法表示应为．
故选：B．
3．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为；
故选C．
4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解：万，
则，
故选：B．
5．（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：489万．
故选：A．
6．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
7．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒秒，
∴400皮秒秒．
∴秒．
故选：A．
8．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可．
【详解】解：
∴一个水分子的质量大约是．
故选：C．
9．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案为：．
考点05 无理数的涵义
1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，
所以取到有理数的概率为，
故答案为：．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出，是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，3.1415926，，，，，中无理数有：，，
∴从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
5．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
6．（2022·浙江台州·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．由，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2023·江苏南京·中考真题）整数a满足，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．
【详解】解：，
．
故选：C．
8．（2023·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ．
【答案】1
【分析】先估算出的范围，即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，能估算出的大小是解题的关键．
9．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可．
【详解】解：∵，
∴数轴上表示的点是点C，
故选：C．
10．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点表示的数为，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C．
12．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴实数的整数部分为，
故答案为：
考点06 实数的大小比较
1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键．
根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．
【详解】解：由数轴得：，
∴，
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
3．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
【详解】解：1. 确定数的正负性：
D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数，
负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然，
故A选项大于B选项，
故选：A.
4．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
5．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较．
【详解】解：∵，
∴最小的实数是，
故选：B．
6．（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ）
A． B．0.2 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了正数、负数的大小比较，正数大于一切负数和0，0大于一切负数．正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，据此即可求解．
【详解】解：因为小于0的数是负数，
所以比0小，
故选：A．
7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
【答案】>
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
8．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.
【详解】解：∵，，，，
而，
∴平方最大的数是3；
故选A
考点07 实数的运算
1．（2025·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
2．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
3．（2024·西藏·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
4．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式．
5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
【答案】 2 11
【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵，
∴15进行一次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行二次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为，
故答案为；11．
6．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ．
【答案】 3456
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．
【详解】解：∵是一个“友谊数”，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴这个数为；
∵是一个“友谊数”，
∴
，
∴，
∴
，
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴是13的倍数，
∵都是不为0的正整数，且，
∴，
∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；
当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；
当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为；
故答案为：3456；．
7．（2023·湖南娄底·中考真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
A选项，，
B选项，，
C选项，，
D选项，，
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
8．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
9．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
……
则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
考点01 正负数的意义
1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
7．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
8．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
考点02 相反数、绝对值
1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
6．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
7．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
9．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ．
11．（2018·辽宁抚顺·中考真题）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
12．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
15．（2025·安徽·中考真题）计算： ．
16．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
17．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
18．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
考点03 数轴
1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
5．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
考点04 科学记数法
1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
8．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
考点05 无理数的涵义
1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
2．（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
4．（2023·湖南娄底·中考真题）从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江台州·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（2023·江苏南京·中考真题）整数a满足，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ．
9．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
考点06 实数的大小比较
1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”）
2．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
3．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）．
5．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ）
A． B．0.2 C． D．1
7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
8．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
考点07 实数的运算
1．（2025·上海·中考真题）计算：．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
3．（2024·西藏·中考真题）计算：．
4．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
6．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ．
7．（2023·湖南娄底·中考真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
9．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
……
则的值为 ．
答案解析
考点01 正负数的意义
1．（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作，
∴那么低于标准质量记作．
故选：A．
2．（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键．
根据正数的定义判断各选项是否符合条件．
【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故本选不项符合题意；
C．小于0，属于负数，故本选不项符合题意；
D．小于0，属于负数，故本选不项符合题意．
故选：A．
3．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：C．
5．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
【答案】
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：．
6．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
7．（2023·甘肃武威·中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
【答案】
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
8．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
考点02 相反数、绝对值
1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
2．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：的相反数是
故选A．
3．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选D．
4．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故选：D．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
【答案】A
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意；
B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意；
C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D、和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
6．（2023·海南·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，
的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
7．（2023·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．
【详解】解：A. 的相反数是，则，故该选项符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
C. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】B
【分析】表示的相反数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选：B
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
9．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
10．（2023·陕西·中考真题）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点B表示的数是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
11．（2018·辽宁抚顺·中考真题）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【分析】根据数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离进行解答即可得答案.
【详解】解：数轴上表示﹣的点到原点的距离是，
所以﹣的绝对值是，
故选D.
【点睛】本题考查了绝对值，熟知绝对值的定义以及性质是解题的关键.
12．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
13．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
14．（2024·山东威海·中考真题）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】(1)过4秒或6秒
(2)3
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，
根据题意，得，
解得或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
综上，，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
15．（2025·安徽·中考真题）计算： ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
16．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选：B
17．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
18．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
考点03 数轴
1．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M．
故选：A．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
5．（2023·宁夏·中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，
∴原点在A、M之间，，
∴，，，
∴运算结果一定是正数的是，
故选：A．
考点04 科学记数法
1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可．
【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：
．
故选：C
2．（2025·天津·中考真题）据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：将数据用科学记数法表示应为．
故选：B．
3．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为；
故选C．
4．（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解：万，
则，
故选：B．
5．（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：489万．
故选：A．
6．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
7．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒秒，
∴400皮秒秒．
∴秒．
故选：A．
8．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可．
【详解】解：
∴一个水分子的质量大约是．
故选：C．
9．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案为：．
考点05 无理数的涵义
1．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，
所以取到有理数的概率为，
故答案为：．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出，是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，3.1415926，，，，，中无理数有：，，
∴从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
5．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
6．（2022·浙江台州·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．由，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2023·江苏南京·中考真题）整数a满足，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．
【详解】解：，
．
故选：C．
8．（2023·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ．
【答案】1
【分析】先估算出的范围，即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，能估算出的大小是解题的关键．
9．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可．
【详解】解：∵，
∴数轴上表示的点是点C，
故选：C．
10．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
11．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点表示的数为，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C．
12．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴实数的整数部分为，
故答案为：
考点06 实数的大小比较
1．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键．
根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．
【详解】解：由数轴得：，
∴，
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
3．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
【详解】解：1. 确定数的正负性：
D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数，
负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然，
故A选项大于B选项，
故选：A.
4．（2024·山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
5．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较．
【详解】解：∵，
∴最小的实数是，
故选：B．
6．（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ）
A． B．0.2 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了正数、负数的大小比较，正数大于一切负数和0，0大于一切负数．正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，据此即可求解．
【详解】解：因为小于0的数是负数，
所以比0小，
故选：A．
7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
【答案】>
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
8．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.
【详解】解：∵，，，，
而，
∴平方最大的数是3；
故选A
考点07 实数的运算
1．（2025·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
2．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
3．（2024·西藏·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
4．（2024·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式．
5．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
【答案】 2 11
【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵，
∴15进行一次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行二次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为，
故答案为；11．
6．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ．
【答案】 3456
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．
【详解】解：∵是一个“友谊数”，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴这个数为；
∵是一个“友谊数”，
∴
，
∴，
∴
，
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴是13的倍数，
∵都是不为0的正整数，且，
∴，
∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；
当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；
当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为；
故答案为：3456；．
7．（2023·湖南娄底·中考真题）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
A选项，，
B选项，，
C选项，，
D选项，，
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．
8．（2023·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
9．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
……
则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
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