第11 讲 绝对值化简问题 2025-2026学年人教版七年级数学上册专题培优讲练（含答案）

第11 讲 绝对值化简问题
专题1 绝对值化简(1)————结合x 的取值范围去绝对值
【典例1】(1)若x<0,化简-|-x|; 解:∵x<0,-x>0, ∴|-x|=-x, ∴原式=-(-x)=x. (2)若x>0,化简-|-2x|. 解:∵x>0,-2x<0, ∴-|-2x|=-2x.
题型一 根据字母的取值范围确定绝对值内部数的正负然后去绝对值
变式1.(1)已知1变式2.(1)如果x<-2,化简|1-|1+x||;(2)若-2题型二 讨论字母的取值范围去绝对值
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【典例2】化简:|x+1|+|x-4|. 变式.化简:|x-2|+|x+3|.
专题2 绝对值化简(2)————分类讨论(1)
【典例1】已知|a-2|≤b+3,且|a-2|+b=-3,求 ab. 解:由已知,b+3≥0,-3-b≥0, ∴b+3=0,b=-3, ∴|a-2|=-3-b=0, ∴a=2,∴b=-3∴ab=-6. 方法:注意运用|a|≥0. 【典例2】已已知|a+b+c|=a-b+c(b≠0),求a+c的值. 解:(1)若|a+b+c|=a+b+c,则,则a+b+c=a-b+c,b=0(舍去); (2)若|a+b+c|=-a-b-c,则-a-b-c=a-b+c,a+c=0. 方法:若|a|=m,则a=m或a=-m.
题型- 利用绝对值代数意义去绝对值
变式1.已知|x+1|=3,|y|=2,且|x+y|+x+y=0,求x-y的值.
变式2.已知a，b，c为整数，且 ,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.
题型二 整体代换求值
【典例3】(2024·武昌)已知|a+b+c|=a-b+c(b≠0),求|a-b+c+3|-|b-1|的值.
变式.已知有理数a,b满足 ab<0,|a+b|=-a-b,4a+b-3=|b-a|,求 的值.
专题3 绝对值化简(3)————分类讨论(2)〈零点分段法〉
题型一运用零点分段化简
【典例1】化简:| 变式.化简：
题型二运用零点分段解绝对值方程
【典例
变式1.已知,求x 的值.
变式 求x的取值范围.
变式3.若 求x的值.
题型三运用零点分段求最值
变式4.求 的最小值.
专题4 绝对值化简(4)————结合数轴去绝对值
题型一 由字母正负去绝对值
【典例】已知a题型二 根据字母在数轴上的位置去绝对值
变式1.已知a，0，1，b四个数在数轴上如图所示，其中| 化简：
变式2.如图,a,b,c对应的数如图所示,|a|=|c|.
(1)确定符号：a + c_0 ; a - c_0;a + b_0 , b + c_0;
(2)化简:|a+c|-|a-c|+|a+b|-|a-b|+|b+c|.
变式3.已知 且|a|>|b|>|c|,若|a|=-a.
(1)在数轴上标出a,b,c 的位置;
(2)化简:|a-b|-|b-c|+|a+c|.
变式4.(2023·武珞路)已知，a，b，c 在数轴上的位置如图所示.
(1) 在数轴上标出-a,-b,-c的位置,并用“<”号将a,b,c,-a,-b,-c连接起来;
(2)化简:|a+1|+|c-b|-|b-1|+|c-2a|;
(3)若a+b+c=0,且b与-1的距离和c与-1的距离相等,求2(b+2c)-a(a-1)-(c-b).
专题5 绝对值化简(5)————去括号
题型一 两数相加型
【典例1】有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+c|-|a-b|-|c+b|.
解:a+c>0,a-b>0,b+c>0.
∴|a+c|=a+c,|a-b|=a-b,|b+c|=b+c
∴原式=a+c-(a-b)-(b+c)=0.
变式1.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简:|a-c|-|a-b|+|b-c|.
变式2.已知a,b,c,d在数轴上的位置如下图,且|c|<|b|<|a|<|d|.
(1)比较大小：
(2)化简:|a-c|-|-a-b|+|d-c|.
题型二 三数相加型
【典例2】已知a,b在数轴上的位置如下图,化简:|a|-2|a+b-1|-3|b-a-1|.
变式.已知a,b在数轴上的位置如图所示,若|a|=|c|,化简:|a+b+c+1|+|b-2|.
专题6 绝对值化简(6)————由理解到熟练
题型一理解
【典例1】已知，a，b，c在数轴上的位置如图.
(1)填空:|
(2)化简:| 。
解：原式：= a + 1 + c - b - 1 + b = a + c .
变式.已知a，b，c在数轴上的位置如图.
( ;
题型二 理解有理数的加减法则，确定正负然后去绝对值
【典例2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：
变式1. a,b,c 在数轴上的位置如图,化简|c-a|+|b-c|-|b-a|-|2a|.
变式2.已知有理数a，b，c，且满足：(a + c < 0 , b + c > 0 .
(1)试化简:
(2)有理数a,b,c在数轴上分别对应点A,B,C,若 相邻两点之间的距离为2，求
专题7 绝对值化简(7)————分类讨论
题型一不知绝对值内部正负，分类讨论
【典例1】若a<0, ab<0,则| 的值(D)
A.等于4 B.等于-4 C.不能确定 D.等于-2a+2b+6
解:a<0,b>0,∴b-a+1>0,a-b-5<0.
原式：= (b - a + 1) - (a - b - 5) = 2 b - 2 a + 6 .
变式1.有理数a,b,c 满足| ,且b≠0,求 |的值.
题型二 注意分类讨论,|x|=a,则x=a或-a
变式2.如果有理数x,y满足x+3y+|3x-y|=19,2x+y=6,求 xy的值.
【典例2】已知有理数a，b满足 求的值.
题型三结合数轴求绝对值型最值
变式.有理数a,b,c 满足a<0第11 讲 变化多端的绝对值化简问题
专题1 绝对值化简(1)——结合x的取值范围去绝对值
变式1.(1)解:∵10,1-x<0,原式=4-x+x-1=3;
(2)解:∵|a|=-a,∴a≤0,∴a-1<0,a-2<0,
原式=1-a+a-2=-1.
变式2.(1)解:∵x<-2,∴x+1<0,∴|x+1|=-x-1,
原式=|2+x|=-2-x;
(2)解:∵-20,x-2<0,
∴原式=-x+x+2+2-x=4-x.
【典例2】解:①当x≥4时,原式=2x-3;
②当x≤-1时,原式=-2x+3;
③当-1变式.解:①当x≥2时,原式=2x+1;
②当x≤-3时,原式=-2x-1;
③当-3专题2 绝对值化简(2)————分类讨论(1)
变式1.解:|x+1|=3,
∴x=2或-4,
|y|=2,∴y=±2.
又∵x+y≤0,
∴x=-4,y=2或-2;或x=2,y=-2.
故x-y的值为-6或-2或4.
变式 2.解:由已知:|a-b|=0,|c-a|=1或|a-b|=1,|c-a|=0,
∴|b-c|=1,
∴原式=2.
【典例3】解:(1)若|a+b+c|=a+b+c,则a+b+c=a-b+c,b=0(舍去);
(2)若|a+b+c|=-a-b-c,则-a-b-c=a-b+c,a+c=0,b<0.
∴原式=|3-b|-|b-1|=2.
变式.解:①当b>a 时,则4a+b-3=b-a,
∵b>a,则b>0,与 ab<0不符(舍去);
②当b故
专题3 绝对值化简(3)———分类讨论(2)<零点分段法>
【典例1】解:当|x-1|=0时,x=1,当|x+1|=0时,x=-1,
①当x≥1时,原式=x-1+x+1=2x;
②当-1③当x≤-1时,原式=1-x-1-x=-2x.
变式.解:令x+5=0,x=-5,
令
①当 时，
原式=x+5+2x-3=3x+2;
②当 时，
原式=x+5-2x+3=-x+8;
③当x≤-5时,
原式=-x-5-2x+3=-3x-2.
【典例2】解:找零点为x=1与x=3.
①当x≤1时,1-x+3-x=6,∴x=-1;
②当x≥3时,x-1+x-3=6,x=5;
③当1综上,x=-1或5.
变式1.解:先找零点,x+4=0,x-2=0,
解得x=-4,x=2.
①当x<-4时,-(x+4)-(x-2)=10,-2x=12,x=-6;
②当-4≤x<2时,x+4-x+2=10,无解；
③当x≥2时x+4+x-2=10,x=4.综上,x=-6或4.
变式2.解:找零点为x=-4与x=2,
①当≤-4时,-4-x+2-x=6,
∴x=-4;
②当x≥2时,x+4+x-2=6,∴x=2;
③当-4综上,-4≤x≤2.
变式3.解：先找零点：x=-4,x=2,x=4.
①当x<-4时,x=-6;
②当-4≤x<2,不成立;
③当2≤x≤4时,不成立;
④当x>4时,
综上所述，x=-6或223.
变式4.解:先找零点x=1,x=-3.
①当x≥1时,原式=2x+2,此时最小值为4；
②当-3≤x≤1时,原式=4,此时最小值为4；
③当x≤-3时,原式=-2x-2,此时最小值为4.
综上，原式有最小值，最小值为4.
专题4 绝对值化简(4)——结合数轴去绝对值
变式1.解:原式=|0|+|-1|+|a+1|=0+1-a-1=-a.
变式2.(1)= < < <;
(2)原式=0+a-c-a-b-a+b-b-c=-a-b-2c.
变式3.解:(1)如图所示(a(2)原式=b-a-(b-c)-(a+c)=-2a.
变式4.解:(1)如图所示,c<-a<-b(2)根据题意可得: a+1>0,c-b<0,c-2a<0,b-1<0,
∴原式=(a+1)-(c-b)+(b-1)-(c-2a)=3a+2b-2c;
(3)b-(-1)=-1-c,即b+c=-2,a+b+c=0,
∴a=2,
∴原式=2(c-2)-2×(2-1)-[c-(-c-2)]=2c-4-2-2c-2=-8.
专题5 绝对值化简(5)——去括号
变式1.解:∵a-c>0,a-b>0,b-c>0,
∴原式=(a-c)-(a-b)+(b-c)=2b-2c.
变式2.(1)> >
(2)∵a-c<0,-a-b>0,d-c>0,∴原式=-(a-c)-(-a-b)+d-c=b+d.
【典例2】解:a>0,a+b-1>0,b-a-1<0.
∴原式=a-2(a+b-1)+3(b-a-
1)=-4a+b-1.
变式.解:b+1+2-b=3.
专题6 绝对值化简(6)———由理解到熟练
变式.(1)-a-c a+b - a+b a-c
(2)a+c
【典例2】解:原式=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2.
变式1.解:原式=c-a-b+c+b-a+2a=2c.
变式2.解:((1)∵a+c<0,b+c>0,
∴b>a,
原式=-a-c+b+c+a-b=0;
∴a,b互为相反数,又b>a,
∴b>0>a,又a+c<0,b+c>0.
∴C在A，B之间，又相邻两点之间均为2，则a=-2,b=2,c=0,(a+c)b=(-
专题7 绝对值化简(7)————分类讨论
变式1.解:当a+b+c≥0时,
a+b+c=a-b+c,b=0(舍去);
当a+b+c<0时,-a-b-c=a-b+c,a+c=0,
故原式=-b+5+b-2=3.
变式2.解:∵y=6-2x,∴18-5x+|5x-6|=19,
①当5x≥6时,18-5x+5x-6=19(舍);
②当5x<6时,18-5x+6-5x=19,
故
【典例2】解:①当b≥a 时,则5a+2b+1=-b+a,
4a+3b+1=0,
故原式=0；
②当b∴a+b+5a+1=0,∵|a+b|=a+b≥0,∴5a+1≤0,
∴a<0,∴b<0,则 ab>0,与 ab<0不符(舍去).
变式.解:∵a<0若 有2b-a≥3c,当 时，原式最小值为
综上，最小值为c.