甘肃省陇南市九年级2025年中考模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．（2025·陇南模拟）若的绝对值是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵的绝对值是，
∴，
故选：A．
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
2．（2025·陇南模拟）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
，
∵，
，
故选：C．
【分析】根据邻补角的性质求得，再利用两直线平行，同位角相等解答即可．
3．（2025·陇南模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式，单项式除以单项式的法则逐项判断解答即可．
4．（2025·陇南模拟）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于点F，如图所示：
∵是角平分线，，
∴，
∴的面积．
故选：D．
【分析】过点D作于点F，由根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式计算解题．
5．（2025·陇南模拟）若点和点关于原点对称，且经过同一个正比例函数的图象，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
∵点B在正比例函数的图象上，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】
根据原点对称的点的特征求出m值，得到的坐标，带入正比例函数解析式求出k值即可．
6．（2025·陇南模拟）如图，在菱形中，连接、交于点，过作交于点，连接交于点，过点作交于点，已知．则的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求出，，然后证明，，，根据对应边成比解答即可．
7．（2025·陇南模拟）如图，四边形内接于，点是弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质可计算出，再利用圆周角定理解答即可．
8．（2025·陇南模拟）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2月增长的“优秀”人数最多
C．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到109人
【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：A、由条形统计图：（名），原结论正确，故选项A不符合题意；
B、由折线统计图可知，1月到2月增长的“优秀”百分率为，2月到3月增长的“优秀”百分率为，3月到4月增长的“优秀”百分率为，8%>4%>3%，原结论正确，故选项B不符合题意；
C、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐月增长，原结论正确，故选项C不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），原结论错误，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】从条形统计图和折线统计图获取信息，再逐项判断即可．
9．（2025·陇南模拟）关于的二次函数的图象只经过一，二，四象限，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数图象经过第一、二、四象限，对称轴为直线，
∴且，
解得或．
综上，，
故选：B．
【分析】
得到抛物线的对称轴为直线，且，，解不等式组求出解集即可．
10．（2025·陇南模拟）如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中，的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°，
∴点C运动3 秒转过的圆心角为
∵半圆长度，
∴．
∴扇形的面积为
故答案为： B．
【分析】先根据函数图半圆的半径，以及点C运动3 秒转过的圆心角，再利用扇形的面积公式即可得答案．
二、填空题：不大题共6小题，母小题4分，共24分．
11．（2025·陇南模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】将给定的多项式利用单项式乘以多项式展开括号，将其转化为二次三项式的标准形式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.
12．（2025·陇南模拟）定义运算：，如．则： ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则解答即可．
13．（2025·陇南模拟）如图，在正五边形的内部，以边为边作等边三角形，连接，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为是等边三角形，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
【分析】利用等边三角形的性质和多边形的内角和定理解答即可.
14．（2025·陇南模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：20．
【分析】设小孔到的距离为，根据可得，利用对应边成比例解答即可．
15．（2025·陇南模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰色大球代表碳原子，白色小球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
【答案】26
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：图①有个个氢原子，
图②有个氢原子，
图③有个氢原子，
……，
以此类推，可知图n中有个氢原子，
第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个；
故答案为：26．
【分析】观察前面三幅图可得规律图n中有个氢原子，据此规律解答．
16．（2025·陇南模拟）某种商品原价1500元，按原价打折出售此商品的利润是300元，已知这种商品的进价为900元，则这种商品打折为 折．
【答案】八
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设折扣为x，
根据题意得，，
解得，，
则折扣为八折，
故答案为：八．
【分析】设折扣为x，根据“原价×折扣-进价=利润”列方程解答．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·陇南模拟）计算：．
【答案】解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
18．（2025·陇南模拟）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：.
把解集在数轴上表示出来，如图所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解不等式的性质，先去分母，去括号，移项合并，系数化，即可求得不等式组的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．
19．（2025·陇南模拟）化简：．
【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先运算小括号里的分式，然后把除法化为乘法，分子、分母分解因式约分计算解题．
20．（2025·陇南模拟）如图，在中，，．
（1）尺规作图：在边上找一点（点，不重合），使得为等腰三角形（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，证明：．
【答案】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求：
；
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，交于点D，则点D即为所作；
（2）很具等边对等角得到，即可得到外角，再根据等边对等角得到，即可得到结论．
（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求：
；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（2025·陇南模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】解：这个游戏公平，理由如下：
由题意画树状图如下，
由表可知，可能出现的等可能结果共有12种，其中x>y的情况有0>-1，1>-1，1>0，2>-1，2>0，2>1，共有6种，
甲获胜的概率，
乙获胜的概率
这个游戏对双方公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】用画树状图法分别求出甲、乙获胜的概率，比较即得答案．
22．（2025·陇南模拟）某校进行应急演练，处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的救护人员立即出发，计划由处的救护人员赶到处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，到达处急救中心接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】解：过点A作的垂线，交的延长线于点D，
由题意可知，，，米，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴米，米，
在中，米，
∴米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作的垂线，交的延长线于点D，在中运用正弦和余弦求出AD和CD长，再在中利用正切求出BD，利用线段的和差解答即可．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·陇南模拟）某校就“了解情况”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，并进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解，下面给出部分信息：
八年级被抽取的学生测试成绩中“了解”的数据：
82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试成绩的数据：
63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 82
九年级 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为在此次阅卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的了解程度更高，请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校八年级，九年级各800名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名？
【答案】（1）82；78；20
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82；78；20；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义求出a和b，八年级被抽取的总人数减去其它类型的人数得到“非常了解”的人数有人，求出百分比可得的值；
（2）利用中位数或众数的角度分析解答即可；
（3）运用八、九年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比相加解题.
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82；78；20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
24．（2025·陇南模拟）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6．
（1）求k、b的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
∵点B的横坐标为6，
∴点B的纵坐标为4，即点，
将代入得：，
则；
（2）解：∵，轴，
∴点，
由（1）可得，直线解析式为，
当时，，点，
当时，，
∴点E的坐标为，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的关系式为，将x=6代入解析式可得，再根据待定系数法将点B坐标代入一次函数值解析式即可求出答案.
（2）根据平行于y轴的直线上的线的坐标特征可得点，根据x轴上点的坐标特征可得，再将x=4代入解析式可得点E的坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
∵点B的横坐标为6，
∴点B的纵坐标为4，即点，
将代入得：，
则；
（2）解：∵，轴，
∴点，
由（1）可得，直线解析式为，
当时，，点，
当时，，
∴点E的坐标为，
∴．
25．（2025·陇南模拟）如图，在中，，以高线为直径作交于点，交于点，点为中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，，如图所示，
为的直径，
，
点为的中点，
，
又，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，，∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；三角形全等的判定-SSS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，，，根据圆周角定理可得，利用直角三角形斜边中线性质可得，然后推理得到，即可得到，证明结论；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到长，再根据等角的余角相等得到，利用正切的定义和勾股定理解答即可．
（1）证明：连接，，，如图所示，
为的直径，
，
点为的中点，
，
又，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．（2025·陇南模拟）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求．
【答案】解：（1）∵，，．∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴；
（2）∵，是的中线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴；
（3）由（2）得，，
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出，然后得到，即可得到，再推理得到，根据对应边成比例解题；
（2）根据直角三角形斜边中线性质可得，即可得到，进而根据等边对等角和全等三角形的性质可得，证明结论；
（3）得到，即可得到，求出BE长，再证明，根据对应边成比例解答即可．
27．（2025·陇南模拟）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、．
（1）求点坐标；
（2）若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线．
【答案】（1）解：∵抛物线：与轴相交于和两点，
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，∴，，
∴，，，
∵的面积等于的面积的2倍，
∴，即，
∴或．
综上，抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，根据平移可得，，利用三角形面积公式列方程解出m值即可．
（1）解：∵抛物线：与轴相交于和两点，
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，
∴，，
∴，，，
∵的面积等于的面积的2倍，
∴，即，
∴或．
综上，抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线．
1 / 1甘肃省陇南市九年级2025年中考模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．（2025·陇南模拟）若的绝对值是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陇南模拟）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陇南模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·陇南模拟）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2025·陇南模拟）若点和点关于原点对称，且经过同一个正比例函数的图象，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．（2025·陇南模拟）如图，在菱形中，连接、交于点，过作交于点，连接交于点，过点作交于点，已知．则的长为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2025·陇南模拟）如图，四边形内接于，点是弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·陇南模拟）某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）
A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2月增长的“优秀”人数最多
C．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到109人
9．（2025·陇南模拟）关于的二次函数的图象只经过一，二，四象限，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·陇南模拟）如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中，的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：不大题共6小题，母小题4分，共24分．
11．（2025·陇南模拟）因式分解： ．
12．（2025·陇南模拟）定义运算：，如．则： ．
13．（2025·陇南模拟）如图，在正五边形的内部，以边为边作等边三角形，连接，则的度数为 ．
14．（2025·陇南模拟）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
15．（2025·陇南模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰色大球代表碳原子，白色小球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
16．（2025·陇南模拟）某种商品原价1500元，按原价打折出售此商品的利润是300元，已知这种商品的进价为900元，则这种商品打折为 折．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·陇南模拟）计算：．
18．（2025·陇南模拟）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（2025·陇南模拟）化简：．
20．（2025·陇南模拟）如图，在中，，．
（1）尺规作图：在边上找一点（点，不重合），使得为等腰三角形（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，证明：．
21．（2025·陇南模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写有数字，0，1，2的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲先从中随机选择一张卡片，记录卡片上的数字为x，乙再从剩余的卡片中随机选择一张，记录卡片上的数字为y．若，则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
22．（2025·陇南模拟）某校进行应急演练，处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的救护人员立即出发，计划由处的救护人员赶到处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，到达处急救中心接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·陇南模拟）某校就“了解情况”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，并进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解，下面给出部分信息：
八年级被抽取的学生测试成绩中“了解”的数据：
82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试成绩的数据：
63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 82
九年级 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为在此次阅卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的了解程度更高，请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校八年级，九年级各800名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名？
24．（2025·陇南模拟）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6．
（1）求k、b的值；
（2）求的面积．
25．（2025·陇南模拟）如图，在中，，以高线为直径作交于点，交于点，点为中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，，若，，求的长．
26．（2025·陇南模拟）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求．
27．（2025·陇南模拟）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、．
（1）求点坐标；
（2）若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵的绝对值是，
∴，
故选：A．
【分析】根据绝对值的定义解答即可．
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
，
∵，
，
故选：C．
【分析】根据邻补角的性质求得，再利用两直线平行，同位角相等解答即可．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式，单项式除以单项式的法则逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于点F，如图所示：
∵是角平分线，，
∴，
∴的面积．
故选：D．
【分析】过点D作于点F，由根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式计算解题．
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
∵点B在正比例函数的图象上，
∴，
解得：，
故选：A．
【分析】
根据原点对称的点的特征求出m值，得到的坐标，带入正比例函数解析式求出k值即可．
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求出，，然后证明，，，根据对应边成比解答即可．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质可计算出，再利用圆周角定理解答即可．
8．【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：A、由条形统计图：（名），原结论正确，故选项A不符合题意；
B、由折线统计图可知，1月到2月增长的“优秀”百分率为，2月到3月增长的“优秀”百分率为，3月到4月增长的“优秀”百分率为，8%>4%>3%，原结论正确，故选项B不符合题意；
C、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐月增长，原结论正确，故选项C不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），原结论错误，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】从条形统计图和折线统计图获取信息，再逐项判断即可．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数图象经过第一、二、四象限，对称轴为直线，
∴且，
解得或．
综上，，
故选：B．
【分析】
得到抛物线的对称轴为直线，且，，解不等式组求出解集即可．
10．【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°，
∴点C运动3 秒转过的圆心角为
∵半圆长度，
∴．
∴扇形的面积为
故答案为： B．
【分析】先根据函数图半圆的半径，以及点C运动3 秒转过的圆心角，再利用扇形的面积公式即可得答案．
11．【答案】
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】将给定的多项式利用单项式乘以多项式展开括号，将其转化为二次三项式的标准形式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则解答即可．
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为是等边三角形，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
【分析】利用等边三角形的性质和多边形的内角和定理解答即可.
14．【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：20．
【分析】设小孔到的距离为，根据可得，利用对应边成比例解答即可．
15．【答案】26
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：图①有个个氢原子，
图②有个氢原子，
图③有个氢原子，
……，
以此类推，可知图n中有个氢原子，
第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个；
故答案为：26．
【分析】观察前面三幅图可得规律图n中有个氢原子，据此规律解答．
16．【答案】八
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设折扣为x，
根据题意得，，
解得，，
则折扣为八折，
故答案为：八．
【分析】设折扣为x，根据“原价×折扣-进价=利润”列方程解答．
17．【答案】解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
18．【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：.
把解集在数轴上表示出来，如图所示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解不等式的性质，先去分母，去括号，移项合并，系数化，即可求得不等式组的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．
19．【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先运算小括号里的分式，然后把除法化为乘法，分子、分母分解因式约分计算解题．
20．【答案】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求：
；
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，交于点D，则点D即为所作；
（2）很具等边对等角得到，即可得到外角，再根据等边对等角得到，即可得到结论．
（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接，，点D即为所求：
；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】解：这个游戏公平，理由如下：
由题意画树状图如下，
由表可知，可能出现的等可能结果共有12种，其中x>y的情况有0>-1，1>-1，1>0，2>-1，2>0，2>1，共有6种，
甲获胜的概率，
乙获胜的概率
这个游戏对双方公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】用画树状图法分别求出甲、乙获胜的概率，比较即得答案．
22．【答案】解：过点A作的垂线，交的延长线于点D，
由题意可知，，，米，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴米，米，
在中，米，
∴米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作的垂线，交的延长线于点D，在中运用正弦和余弦求出AD和CD长，再在中利用正切求出BD，利用线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）82；78；20
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82；78；20；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义求出a和b，八年级被抽取的总人数减去其它类型的人数得到“非常了解”的人数有人，求出百分比可得的值；
（2）利用中位数或众数的角度分析解答即可；
（3）运用八、九年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比相加解题.
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82；78；20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
24．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
∵点B的横坐标为6，
∴点B的纵坐标为4，即点，
将代入得：，
则；
（2）解：∵，轴，
∴点，
由（1）可得，直线解析式为，
当时，，点，
当时，，
∴点E的坐标为，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的关系式为，将x=6代入解析式可得，再根据待定系数法将点B坐标代入一次函数值解析式即可求出答案.
（2）根据平行于y轴的直线上的线的坐标特征可得点，根据x轴上点的坐标特征可得，再将x=4代入解析式可得点E的坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
∵点B的横坐标为6，
∴点B的纵坐标为4，即点，
将代入得：，
则；
（2）解：∵，轴，
∴点，
由（1）可得，直线解析式为，
当时，，点，
当时，，
∴点E的坐标为，
∴．
25．【答案】（1）证明：连接，，，如图所示，
为的直径，
，
点为的中点，
，
又，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，，∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；三角形全等的判定-SSS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，，，根据圆周角定理可得，利用直角三角形斜边中线性质可得，然后推理得到，即可得到，证明结论；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到长，再根据等角的余角相等得到，利用正切的定义和勾股定理解答即可．
（1）证明：连接，，，如图所示，
为的直径，
，
点为的中点，
，
又，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】解：（1）∵，，．∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴；
（2）∵，是的中线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴；
（3）由（2）得，，
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出，然后得到，即可得到，再推理得到，根据对应边成比例解题；
（2）根据直角三角形斜边中线性质可得，即可得到，进而根据等边对等角和全等三角形的性质可得，证明结论；
（3）得到，即可得到，求出BE长，再证明，根据对应边成比例解答即可．
27．【答案】（1）解：∵抛物线：与轴相交于和两点，
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，∴，，
∴，，，
∵的面积等于的面积的2倍，
∴，即，
∴或．
综上，抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，根据平移可得，，利用三角形面积公式列方程解出m值即可．
（1）解：∵抛物线：与轴相交于和两点，
∴，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，
∴，，
∴，，，
∵的面积等于的面积的2倍，
∴，即，
∴或．
综上，抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线．
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