第2课时 公式法
A组·基础达标 逐点击破
知识点 用公式法解一元二次方程
1．[2022 济宁模拟]用公式法解一元二次方程时,化方程为一般形式,其中的,,依次为（ ）
A．3,,8 B．3,4,8 C．3,4, D．3,,
2．[2024 长沙模拟]若用公式法解关于的一元二次方程的根为,则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．用公式法解方程:.
解:方程化为一般形式,得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
_ _ ,_ _ _ _ _ _ ,_ _ ,_ _ .
方程有_ _ _ _ _ _ _ _ 实数根,为_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ ,_ _ _ _ _ _ .
4．方程的负数根为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2023 潍坊]用与教材中相同型号的计算器,依次按键 ,显示结果为借助显示结果,可以将一元二次方程的正数解近似表示为_ _ _ _ （精确到）.
6．用公式法解下列方程:
（1） ;
（2） [2023 无锡];
（3） ;
（4） .
易错点 利用公式法解方程时未化成一般形式
7．解方程:.
有一名同学解答如下:
解:,,,
,
,
,.
请你分析以上解答有无错误 如有错误,指出错误的原因,并写出正确的结果.
B组·能力提升 强化突破
8．若与互为相反数,则的值为_ _ _ _ _ _ .
9．用公式法解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
10．[2023 杭州]设关于的一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组,的值,使这个方程有两个不等的实数根,并解这个方程.
,;,;,;,.
11．已知关于的方程有整数根,且是非负整数,求方程的整数根.
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12．【模型观念】欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地,可以用折纸的方法求方程的正根.如图,裁一张边长为1的正方形纸片,先折出的中点,再折出线段,然后通过折叠使落在线段上,折出点的新位置,因而,类似地,在上折出点使.由此可知,表示方程的正根的是（ ）
A．线段的长 B．线段的长
C．线段的长 D．线段的长
第2课时 公式法
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知识点 用公式法解一元二次方程
1．D 2．C
3．； 2； ； 1； 1； 两个不等的； ； 1；
4．
5．0.618
6．（1） 解:,.
（2） ,,,
,
,
,.
（3） 方程无实数根.
（4） 方程化为一般形式,得,
,,,
,
,
,.
易错点 利用公式法解方程时未化成一般形式
7．解:有错误,错误的原因是未将方程化为一般形式.
将方程化为一般形式为,
,,,
,
,
,.
B组·能力提升 强化突破
8．
9．（1） 解:原方程可化为,
,,,
,
,
,.
（2） 原方程可化为,
,,,
,
,
,.
（3） 原方程可化为,
,,,
,
,
,.
（4） ,,,
,
,
,.
10．解:使这个方程有两个不等的实数根,
,即,
均可.
选②解方程,则这个方程为,
,;
选③解方程,则这个方程为,
,.
11．解:方程有整数根,
,.
又是非负整数,,1或2.
当时,方程为,
解得,;
当时,方程为,
解得,,方程无整数根;
当时,方程为,
解得,.
综上所述,当时,方程的整数根为0,;当时,方程的整数根为,.
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12．B21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
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知识点1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程的根的判别式的值为（ ）
A．9 B．3 C．0 D．
2．[2024 上海]以下一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024 长沙模拟]一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
4．（教材P17习题变式）不解方程,判断下列方程的根的情况:
（1） ;
（2） ;
（3） .
知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围
5．[2024 绵阳]已知关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024 湖南]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值为_ _ .
7．[2023 眉山]若关于的一元二次方程有两个不等的实数根,则的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
8．[2024 云南]若关于的一元二次方程无实数根,则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
易错点 未考虑一元二次方程的二次项系数不为0导致错误
9．[2024 广安]若关于的一元二次方程有两个不等的实数根,则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
B组·能力提升 强化突破
10．已知关于的一元二次方程.试证明:无论取何值,此方程总有两个实数根.
11．已知关于的一元二次方程,当取何值时:
（1） 方程有两个不等的实数根
（2） 方程有两个相等的实数根 并求出这两个相等的实数根.
（3） 方程没有实数根
12．已知关于的方程，求证:不论取何实数值,这个方程总有实数根.
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13．[2022 长沙模拟]【创新意识】定义:若关于的一元二次方程满足,则称该方程为“和谐方程”.
（1） 下列属于“和谐方程”的是（填序号）.
;
;
.
（2） 求证:无论,,为何值,“和谐方程”总有实数根.
（3） 已知关于的一元二次方程为“和谐方程”,若该方程有两个相等的实数根,求,满足的数量关系.
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
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知识点1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．A 2．D 3．A
4．（1） 解:,,,
,
方程有两个不等的实数根.
（2） ,,,
,
方程没有实数根.
（3） 原方程整理为.
,,,
,
方程有两个相等的实数根.
知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围
5．D
6．2
7．
8．
易错点 未考虑一元二次方程的二次项系数不为0导致错误
9．A
[解析] 关于的一元二次方程有两个不等的实数根,
解得且.故选.
B组·能力提升 强化突破
10．证明:原方程可变形为
.
,
无论取何值,此方程总有两个实数根.
11．（1） 解: 方程有两个不等的实数根,
,解得.
（2） 方程有两个相等的实数根,
,解得.
把代入方程,得,
解得.
（3） 方程没有实数根,
,
解得.
12．解:当时,方程为一元一次方程,必有实数根;
当时,方程为一元二次方程,
,
一元二次方程有两个实数根.
综上所述,不论取何实数值,这个方程总有实数根.
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13．（1） ①③
（2） 证明: 一元二次方程为“和谐方程”,
,
,
无论,,为何值,“和谐方程”总有实数根.
（3） 解:一元二次方程为“和谐方程”,
.
“和谐方程”有两个相等的实数根,
,
.
