21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 分层训练（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
1．若,是方程的两个根,则（ ）
A． B．8 C． D．9
2．对于一元二次方程,它的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不等的实数根
3．已知实数,满足,,则以,为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2022 娄底]若实数,是方程的两根,则_ _ _ _ _ _ .
知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值
5．[2024 长沙模拟]若, 是方程的两个根,则 的值为_ _ .
6．已知,是一元二次方程的两个实数根,则的值是_ _ .
7．若,是一元二次方程的两个根,则_ _ _ _ _ _ .
8．已知,是方程的两个实数根,求下列代数式的值:
（1） ;
（2） ;
（3） .
知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值或范围
9．已知关于的方程的两根为,,且,则_ _ _ _ _ _ .
10．若关于的一元二次方程的两实数根之积为正数,则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
11．已知关于的一元二次方程有一个实数根为,求的值及方程的另一个实数根.
易错点 用根与系数的关系时忽视隐含条件“”
12．若关于的方程的两个根互为倒数,求的值.
B组·能力提升 强化突破
13．[2023 黄冈]已知关于的一元二次方程的两个实数根为,.若,则实数_ _ _ _ _ _ .
14．[2024 益阳模拟]已知关于的方程的两实根的平方和等于11,则的值为_ _ .
15．[2024 长沙模拟]已知,是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1） 求的取值范围;
（2） 当时,求的值.
C组·核心素养拓展 素养渗透
16．[2023 通辽]【运算能力,模型观念】阅读材料:
材料1:关于的一元二次方程的两个实数根,和系数,,有如下关系:,.
材料2:已知一元二次方程的两个实数根分别为,,求的值.
解:,是一元二次方程的两个实数根,
,.
则.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:
（1） 应用:一元二次方程的两个实数根分别为,,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ ;
（2） 类比:已知一元二次方程的两个实数根分别为,,求的值;
（3） 提升:已知实数,满足,,且,求的值.
*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
1．B 2．A 3．A
4．
知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值
5．7
6．9
7．
8．（1） 解:.
（2） .
（3） .
知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值或范围
9．
10．
11．解:把代入方程,得,即,解得,,检验可知,的这两个值均使原方程的.
设方程的另一个根为,则由一元二次方程根与系数的关系可得,
.
或2,方程的另一个实数根为0.
易错点 用根与系数的关系时忽视隐含条件“”
12．解:方程的两个根互为倒数,
两根的积为1.
由根与系数的关系,得,
解得.
当时,原方程为,,舍去;
当时,原方程为,,符合.
综上所述,的值为.
B组·能力提升 强化突破
13．
14．1
15．（1） 解:,是关于的一元二次方程的两个实数根,
,
,
解得.
（2） ,是关于的一元二次方程的两个实数根,
,.
又,
,
,
解得或.
,
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
16．（1） ；
（2） 解: 一元二次方程的两个实数根分别为,,
,,
.
（3） 实数,满足,,且,
,是一元二次方程的两个实数根,
,.
,
,
.