21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、握手、数字问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 传播问题
1．[2023永州模拟]某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干长出同样数量的小分支.若主干、支干和小分支的总数是73.设每个支干长出个小分支,则可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．[2024长沙模拟]鸡瘟是一种传播速度很快的传染病,一轮传染为一天时间,某养鸡场某日发现一例,两天后发现共有256只鸡患有这种病.若每只病鸡每轮传染健康鸡的数量均相同,则每只病鸡每轮传染多少只健康鸡？
知识点2 握手问题
3．在一次九年级学生数学交流会上,每两名学生握手一次,统计共握手190次.设参加此会的学生有名,则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024岳阳模拟]学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了36场比赛,有_ _ 人参加了选拔赛.
5．（教材P17习题变式）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了45份合同,共有多少家公司参加商品交易会？
（1） 设共有家公司参加商品交易会,用含的代数式表示:
每家公司与其他_ _ _ _ _ _ _ _ 家公司都签订一份合同,由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同,所以所有公司共签订了_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 份合同;
（2） 列出方程并完成本题的解答.
知识点3 数字问题
6．两个数的积为12,和为7,设其中一个数为,则依题意可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．一个两位数,个位数字比十位数字小1,且个位数字与十位数字的乘积等于72,则这个两位数是.
B组·能力提升 强化突破
8．[2024资兴模拟]一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数,则这个两位数为_ _ _ _ _ _ .
9．如今,每到春季,甲流便肆虐横行,成为当前主流流行疾病之一.某小区有1位住户不小心感染了甲流,由于甲流传播感染非常快,小区经过两轮传染后共有36人患了甲流.
（1） 每轮感染中平均一个人传染几人？
（2） 如果按照这样的传播速度,经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流？
10．（教材P17习题变式）我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线,也都知道四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条.
（1） 六边形的对角线有_ _ 条,七边形的对角线有条.
（2） 多边形的对角线可以共有20条吗？如果可以,求出此多边形的边数;如果不可以,请说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．【模型观念】子曰:“吾十有五而志于学,三十而立,四十而不惑,五十而知天命,六十而耳顺,七十而从心所欲,不逾矩.”——《论语·为政》
读诗词解题:
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜？
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、握手、数字问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 传播问题
1．
2．解:设每只病鸡传染只健康鸡.
由题意,得,
整理,得,
解得,（不合题意,舍去）.
答:每只病鸡传染15只健康鸡.
知识点2 握手问题
3．D
4．9
[解析]设有人参加了选拔赛,根据一共进行了36场比赛,列方程得,解得,（舍去）,
∴有9人参加了选拔赛.
5．（1） ；
（2） 解:由题意,得,
整理,得,
解得,（不合题意,舍去）.
答:共有10家公司参加商品交易会.
知识点3 数字问题
6．
7．98
B组·能力提升 强化突破
8．25或36
[解析]设十位数字为,则个位数字为.
由题意,得,
解得,,
个位数字为5或6,
这个两位数为25或36.
9．（1） 解:设每轮感染中平均一个人传染人.
由题意,得.
解得,（不合题意,舍去）.
答:每轮感染中平均一个人传染5人.
（2） 由题意,知第三轮的患病人数为.
,
经过三轮传染后累计会超过200人患甲流.
10．（1） 9； 14
（2） 解:多边形的对角线可以共有20条.
设此多边形的边数为.
由题意,得,
整理,得,
解得,（不合题意,舍去）.
此多边形的边数为8.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．解:设周瑜的年龄的个位数字为,则十位数字为.
由题意,得,
解得,.
当时,周瑜的年龄是25岁,25岁岁（而立之年）,舍去;
当时,周瑜的年龄是36岁,符合题意.
答:周瑜的年龄是36岁.第3课时 面积问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 一般图形问题
1．如图,有一张长,宽的矩形纸片,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是,根据题意,可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图,利用黄金分割法所作的将矩形窗框分为上下两部分,其中为边的黄金分割点,即.已知为,则线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第2题图
知识点2 边框与甬道问题
3．[2022唐山模拟]如图,在一块长,宽的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路,每条小路的两边是互相平行的,且其中一条小路与矩形地面的一边平行.若要使剩余部分的面积为,则小路的入口宽度为_ _ .
第3题图
4．[2024青岛]如图,某小区要在长为,宽为的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路宽为_ _ .
知识点3 围墙问题
5．使用墙的一边,再用的铁丝网围成三边,围成一个面积为的矩形,求这个矩形的两边长.设墙的对边长为,可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024郴州模拟]2024年7月,受台风影响,某地遭受特大暴雨,受灾严重.该市迅速启动救援,拟建一批临时安置房.如图,现有一面足够长的墙,欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房.已知目前有可搭建总长为围墙的建筑材料（损耗忽略不计）.设的长为.
（1） 用含的代数式表示的长.
（2） 矩形安置房总占地面积可能为吗？请说明理由.
B组·能力提升 强化突破
7．[2022常德模拟]某林场计划修一条长,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为,上口宽比渠深多,渠底宽比渠深多.
（1） 渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2） 如果计划每天挖土,需要多少天才能把这条渠道的土挖完？
8．[2024湖北模拟]如图,某工程队在工地利用互相垂直的两面墙,,另两边用铁栅栏围成一个矩形场地,中间再用铁栅栏分割成两个矩形,铁栅栏总长.已知墙长为,墙的长为.
（1） 设,则长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,矩形的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 若矩形的面积为,问的长为多少米？
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2024永州模拟]【创新意识】如图,在中, ,,,点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以的速度移动.
（1） 如果点,分别从点,同时出发,那么几秒后,的面积等于？
（2） 如果点,分别从点,同时出发,那么几秒后,的长度等于？
（3） 在（1）中,的面积能否等于？请说明理由.
第3课时 面积问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 一般图形问题
1．D
2．
知识点2 边框与甬道问题
3．1
4．2
[解析]设小路宽为,
根据题意,得,
解得或（舍去）,
小路宽为.
知识点3 围墙问题
5．B
6．（1） 解:的长为,则的长为.
（2） 矩形安置房总占地面积可能为.理由如下:
由题意,得,
整理,得,
,
方程有两个相等的实数根,
矩形安置房总占地面积可能为.
B组·能力提升 强化突破
7．（1） 解:设渠道深,则上口宽为,渠底宽为.
由题意,得,
解得（不合题意,舍去）,.
则渠道的上口宽是,
渠底宽是.
答:渠道的上口宽与渠底宽各是和.
（2） 渠道的长为,
渠道的体积为.
每天挖土,
需要的天数是（天）.
答:需要25天才能把这条渠道的土挖完.
8．（1） ；
（2） 解:由题意,得,
整理,得,
解得或,
当时,,不符合题意,舍去;
当时,,符合题意.
答:的长为.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） 解:设经过以后,的面积为,
此时,,,
由,得,
整理,得,
解得或（舍去）,
后,的面积等于.
（2） 设经过后,的长度等于.
由,
即,
解得,,
或后,的长度等于.
（3） 不能.理由如下:
由题意,得,
整理,得,
,
该方程没有实数根,
的面积不能等于.第2课时 变化率、销售利润问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 变化率问题
1．[2022哈尔滨]某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元.设平均每次降价的百分率为,根据题意,所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024牡丹江]一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
3．某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.求该商场投入资金的月平均增长率.
知识点2 销售利润问题
4．某商店以每件60元的价格购进一批货物,当零售价为每件80元时,可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）.已知零售价在80元的基础上每降价1元,可以多卖出10件,当零售价在80元的基础上降价元时,能获得2 160元的利润.根据题意,可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．某商品的进价为6元/个,当售价为元/个时,能销售该商品个,此时获利133元,则该商品的售价为元/个.
6．[2023衡阳模拟]某平台爆红网络,某电商在该平台上直播带货.已知某产品的进货价为70元/件,为吸引流量,该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件.根据一个月的市场调研,商家发现当售价为110元/件时,日销售量为20件,售价每降低1元,日销售量增加2件.
（1） 当销售量为30件时,产品售价为_ _ 元/件.
（2） 直接写出日销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系式.
（3） 该产品的售价每件应定为多少,才能使电商每天可盈利1 200元？
B组·能力提升 强化突破
7．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种台灯的单价每上涨1元,月销售量将减少10个.为实现平均每月10 000元的销售利润,从消费者的角度考虑,商场对这种台灯的售价应定为元.
8．[2024常德模拟]某商店销售一种成本为每千克40元的产品,根据市场分析,若按照每千克50元销售,一个月能售出这种产品;销售单价每涨1元,月销售量就减少.
（1） 当销售单价为58元时,这种产品的月销量是多少千克？
（2） 该商店想在月销售成本不高于10 000元的情况下,使得月销售利润达到8 000元,销售单价应定为多少元？
9．[2024辽宁]某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系,部分数据如表所示:
每件售价元 … 45 55 65 …
日销售量件 … 55 45 35 …
（1） 求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.
（2） 该商品日销售额能否达到2 600元？如果能,求出每件售价;如果不能,请说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．[2024淄博]【模型观念】“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
（1） 求该市参加健身运动人数的年均增长率.
（2） 为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1 600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
第2课时 变化率、销售利润问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 变化率问题
1．C
2．C
[解析]设每次降价的百分率为,
由题意,得,
解得,（舍去）.
故选.
3．解:设商场投入资金的月平均增长率为,
由题意,得,
解得,（不合题意,舍去）.
答:该商场投入资金的月平均增长率为.
知识点2 销售利润问题
4．B
5．13
6．（1） 105
（2） 解:日销售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系式为
（3） 由题意,得,
整理,得,
解得,（不符合题意,舍去）.
答:该产品的售价每件应定为90元.
B组·能力提升 强化突破
7．50
8．（1） 解:根据题意,得.
答:当销售单价为58元时,这种产品的月销量是.
（2） 设销售单价应定为元,则每千克的销售利润为元,月销售量为,
根据题意,得,
解得或.
当时,,不符合题意,舍去;
当时,,符合题意.
答:销售单价应定为80元.
9．（1） 解:由题意,设一次函数的关系式为,
又结合表格数据图象过,,
解得
所求函数关系式为.
（2） 不能.理由如下:
由题意,得销售额为,
又∵销售额是2 600元,
,
,
,
方程没有实数根,故该商品日销售额不能达到2 600元.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） 解:设该市参加健身运动人数的年均增长率为,
由题意,得,
解得,（不符合题意,舍去）.
答:该市参加健身运动人数的年均增长率为.
（2） 设购买的这种健身器材的套数为套,
由题意,得,
整理,得,
解得,（不符合题意,舍去）.
答:购买的这种健身器材的套数为200套.
