第3课时 二次函数的图象和性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象和性质
1．[2024 哈尔滨]二次函数的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．[2023 兰州]已知二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
3．设二次函数图象的对称轴为直线.若点在直线上,则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024 滨州]将抛物线先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
5．已知函数.
（1） 函数图象的开口方向是_ _ ,对称轴是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,顶点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 当_ _ 4时,随的增大而减小（填“ ”“ ”或“”）.
（3） 怎样平移抛物线,就可以得到抛物线？
知识点2 抛物线的应用
6．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度约为,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为,则主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为.
7．一球从地面抛出后的运动路线呈抛物线,当球离抛出地的水平距离为时,达到最大高度,建立如图所示的平面直角坐标系.
（1） 求球运动路线的函数解析式.
（2） 球被抛出多远？
B组·能力提升 强化突破
8．[2022 宁波]点,都在二次函数的图象上,若,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图,二次函数图象的顶点坐标为,与轴的交点坐标为.
（1） 二次函数的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 当时,的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3） 将该二次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点.
10．（教材P36例4变式）某公园有一个直径为的圆形喷水池,喷水管喷出的水柱为抛物线,且各方向喷出的水柱恰好落在水池内.如图,以喷水池中心为原点,喷水管口所在铅垂线为纵轴,建立平面直角坐标系.
（1） 若喷出的水柱在距水池中心处达到最高,且高度为,求图中水柱所在抛物线的函数解析式;
（2） 王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．【模型观念】某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示,给出如下信息:在学校的巨幅宣传墙上,勤于动脑的小丽发现两条熟悉的抛物线,她依据环境,建立如图所示的平面直角坐标系.利用手边的工具,她不仅与同学合作进行力所能及的测量,还看到抛物线上的两点,组成的线段恰好与学校的一处露台等高,于是通过采访总务处老师获得重要数据.他们发现:抛物线的顶点的纵坐标为40,与轴相交于点,.抛物线刚好过的顶点,且与轴相交于点,平行于轴的线段的长为20.根据以上信息请你解答下列问题:
（1） 求两条抛物线与的函数解析式;
（2） 当时,抛物线与的最大间距为.
第3课时 二次函数的图象和性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象和性质
1．D 2．C 3．B
4．
5．（1） 向下； 直线；
（2）
（3） 解:将抛物线先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,就可以得到抛物线
知识点2 抛物线的应用
6．26
7．（1） 解:根据题意,设抛物线的解析式为.
把代入,得,
解得.
抛物线的解析式为.
（2） 由（1）可知,,
令,则,
解得,,
抛物线与轴的交点为,,
球被抛出.
B组·能力提升 强化突破
8．B
9．（1）
（2）
（3） 18
10．（1） 解:设图中水柱所在抛物线的函数解析式为.
将点代入,
得,解得,
图中水柱所在抛物线的函数解析式为.
（2） 当时,有,
解得（不合题意,舍去）,，
为了不被淋湿,身高的王师傅站立时必须在离水池中心以内.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．（1） 解:由题意,得抛物线的对称轴是直线,
又 顶点的纵坐标为40,,
设抛物线的函数解析式为.
又 抛物线过点D,
,解得，
抛物线的函数解析式为.
,,轴,，
抛物线的对称轴是直线，
设抛物线的函数解析式为.
又 抛物线过点A,C,
解得
抛物线的函数解析式为.
（2） 4522.1.3 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数的图象和性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象和性质
1．[2024 长沙模拟]关于抛物线,下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时,有最小值为3
C．顶点坐标是 D．当时,随的增大而减小
2．填写下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3．二次函数的图象开口向,顶点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ,对称轴为_ _ _ _ _ _ ,当时,随的增大而_ _ ;当时,随的增大而_ _ .因为,所以有最值,且当_ _ 时,的最值是_ _ _ _ _ _ .
4．抛物线上有两点,,则_ _ （填“ ”“ ”或“”）.
知识点2 抛物线与的关系
5．（教材P33练习变式）函数与的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
6．将二次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度,所得图象对应的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2024 广州模拟]已知二次函数.
（1） 补充表格中的值;
… 0 2 4 …
… _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ …
（2） 在如图所示的平面直角坐标系中画出图象.
易错点 求函数值的范围时忽视顶点处的取值
8．对于二次函数,当时,的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升 强化突破
9．[2024 长沙模拟]函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的图象上有三点,,,且,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”.已知点,,,分别是“芒果”与坐标轴的交点,是半圆的直径,抛物线的解析式为,求的长.
12．[2024 石家庄模拟]如图,在的网格（每个小正方形的边长为1）中,有,,,,,,,,九个格点.抛物线的解析式为.
（1） 若为奇数,且抛物线经过点,通过计算说明哪个格点是该抛物线的顶点;
（2） 若为偶数,且抛物线经过点,通过计算说明点是否在上.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．【模型观念】已知抛物线具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等.如图,点的坐标为,是抛物线上一个动点,则周长的最小值是_ _ .
22.1.3 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数的图象和性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象和性质
1．B
2．向上； 轴； ； 向下； 轴； ； 向上； 轴； ； 向下； 轴；
3．上； ； 轴； 增大； 减小； 小； 0； 小；
4．
知识点2 抛物线与的关系
5．C
6．
7．（1） 3； 0； ； 0； 3
（2） 解:描点,连线,如答图.
第7题答图
易错点 求函数值的范围时忽视顶点处的取值
8．
B组·能力提升 强化突破
9．A 10．A
11．解:令,
解得或,
,
.
令,解得,
即,
.
12．（1） 解:为奇数,
.
经过点,
,
解得,
抛物线的解析式为,
抛物线的顶点坐标为,
即格点是该抛物线的顶点.
（2） 为偶数,.
经过点,
,解得,
抛物线的解析式为.
把代入,得,
点不在上.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．5
[解析]如答图,过点作轴于点,交抛物线于点,此时的周长最短.
第13题答图
由题意,得.
,,
,,
周长的最小值为.第2课时 二次函数的图象和性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象和性质
1．在平面直角坐标系中,二次函数的图象可能是（ ）
A B
C D
2．[2023 长沙模拟]关于二次函数的图象,下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时,随的增大而增大
3．完成表格:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4．抛物线与轴的交点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ ,与轴的交点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．已知函数图象上的两点,,其中,则与的大小关系是_ _ （填“ ”“ ”或“”）.
6．（教材P35练习变式）已知二次函数.
（1） 完成下表:
… 0 1 2 3 4 …
… _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ …
（2） 在如图所示的平面直角坐标系中,画出该二次函数的图象.
知识点2 抛物线与的关系
7．如果将抛物线向右平移1个单位长度,那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
8．将抛物线向平移_ _ 个单位长度,得到抛物线;将抛物线向平移_ _ 个单位长度,得到抛物线.
9．把抛物线向左平移4个单位长度,所得抛物线的解析式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
易错点 二次函数增减性的相关问题
10．已知二次函数,当时,随的增大而增大,则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升 强化突破
11．抛物线上有两点和,则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2024 长沙模拟]同一平面直角坐标系中,抛物线与直线的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．抛物线的对称轴是直线,且过点.
（1） 求抛物线的解析式;
（2） 求抛物线的顶点坐标;
（3） 当在什么范围内时,随的增大而减小？当取何值时,函数有最大（或最小）值？
C组·核心素养拓展 素养渗透
14．【模型观念】如图,正方形的三个顶点的坐标分别为,,,若抛物线与正方形的边共有3个公共点,求的取值范围.
第2课时 二次函数的图象和性质
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 二次函数的图象和性质
1．D 2．D
3．向下； 轴； ； 向下； 直线； ； 向上； 直线；
4．；
5．
6．（1） ； ； ； 0； ； ；
（2） 解:描点,连线,如答图.
第6题答图
知识点2 抛物线与的关系
7．C
8．左； 2； 右； 2
9．
易错点 二次函数增减性的相关问题
10．
B组·能力提升 强化突破
11．C 12．D
13．（1） 解: 抛物线的对称轴是直线,
,解得,
抛物线的解析式为.
抛物线过点,
,解得,
抛物线的解析式为.
（2） 抛物线的顶点坐标为.
（3） , 抛物线开口向下,在对称轴的右侧,随的增大而减小,
当时,随的增大而减小.
抛物线的顶点坐标为,开口向下,
当时,函数有最大值,最大值为0.
C组·核心素养拓展 素养渗透
14．解:函数的图象为开口向上,顶点在轴上的抛物线.
把点的坐标代入,
得,
;
把点的坐标代入,
得,
.
抛物线与正方形的边共有3个公共点,
的取值范围是.
