第2课时 二次函数与最大利润问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 简单销售问题中的利润问题
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件元出售,每天可销售件.若想获得最大利润,则应定为（ ）
A．150 B．160 C．170 D．180
2．商店销售一种进价为20元/顶的帽子,经调查发现,该种帽子每天的销售量（顶）与销售单价（元）满足.设销售这种帽子每天的利润为（元）,则关于之间的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;当销售单价定为元时,每天的利润最大.
3．加工爆米花时,爆开且不糊的颗粒所占的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率关于加工时间满足函数解析式,则最佳加工时间为_ _ .
知识点2 “每……每……”的销售利润问题
4．某商场将进价为2 000元/台的冰箱以2 600元/台售出,平均每天可以售出10台.为了减少库存,商场决定降价促销,调查表明:售价每降50元,平均每天多售出5台.设每台冰箱降价元,商场每天销售这种冰箱的利润为元,则关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时,每天能卖出20件.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1件.为了获得最大利润,卖家决定降价元,则单件的利润为_ _ _ _ _ _ _ _ 元,每日的销售量为_ _ _ _ _ _ _ _ 件,每日的利润_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出自变量的取值范围）,所以每件降价_ _ 元时,每日获得的最大利润为_ _ 元.
6．[2024长沙模拟]某商店销售某种特产商品,以12元/购进,按16元/销售时,每天可售出,经市场调查发现,单价每涨1元,每天的销售量就减少.通过计算说明,每千克特产商品售价为多少元时,每天销售这种特产商品获利最大,最大利润是多少元？
易错点 忽视自变量的取值范围而出错
7．某商店销售某种商品所获得的利润（元）与所卖的件数（件）之间的关系满足,则当时,获得的最大利润为_ _ _ _ _ _ 元.
B组·能力提升 强化突破
8．某超市以30元/的价格购进一种干果,计划以60元/的价格销售,为了让顾客得到实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量与每千克降价（元）之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
（1） 求关于的函数解析式.
（2） 当这种干果每千克降价多少元时,超市获利最大？最大利润是多少元？
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2023临沂]【创新意识】综合与实践.
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉,为了确定售价,小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况,记录如下表:
售价/（元/盆） 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
26 38
【数据整理】
（1） 请将以上调查数据按照一定顺序重新整理,填写在下表:
售价/（元/盆） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
日销售量/盆 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【模型建立】
（2） 分析数据的变化规律,找出日销售量y（盆）与售价x（元/盆）之间的函数关系.
【拓广应用】
（3） 根据以上信息,小莹妈妈在销售该种花卉中,
① 要想每天获得400元的利润,应如何定价？
② 当售价定为多少时,每天能够获得最大利润？
第2课时 二次函数与最大利润问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 简单销售问题中的利润问题
1．A
2．； 30
3．3.5
知识点2 “每……每……”的销售利润问题
4．
5．； ； ； 5； 625
6．解:设每天获得的利润为元,销售价格为元/.由题意,得
.
销售价格定为19元/时,才能使平均每天获得的利润最大,最大利润是490元.
易错点 忽视自变量的取值范围而出错
7．47 500
B组·能力提升 强化突破
8．（1） 解:设关于的解析式为.
把,代入,得解得
关于的函数解析式为.
（2） 设利润为元.
由题意,得.
,
当时,有最大值,最大值为4 000.
答:当这种干果每千克降价10元时,超市获利最大,最大利润是4 000元.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） ； ； ； ； ； ； ； ； ；
（2） 解:观察表格可知日销售量y是售价x的一次函数,
设与的函数关系式为,
把,代入,
解得
.
（3） ① 每天获得400元的利润,
,
解得或,
要想每天获得400元的利润,每盆定价应为25元或35元.
② 设每天获得的利润为元.
由题意,得.
,
当时,有最大值,最大值为450,
当售价定为30元/盆时,每天能够获得最大利润.22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 求二次函数的最值
1．二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．
（1） 当_ _ 时,二次函数有最值,为_ _ ;
（2） 当_ _ _ _ _ _ 时,二次函数有最值,为_ _ _ _ _ _ .
知识点2 利用二次函数求几何图形面积的最值
3．[2024长沙模拟]建筑队在工地一边靠墙处,用长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库,仓库总面积为.为方便取物,在各个仓库之间留出了宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个宽的缺口作小门.若设,则关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2023沈阳]如图,王叔叔想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈,已知房屋外墙足够长,当矩形的边时,羊圈的面积最大.
5．如图,已知的周长为, ,设.
（1） 的面积与之间的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,自变量的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 当取_ _ 时,的值最大,最大值为_ _ .
6．[2024湖北改编]学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长,篱笆长.设垂直于墙的边长为,平行于墙的边为,围成的矩形面积为.
（1） 求关于,关于的函数解析式.
（2） 围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值,并求出此时的值.
B组·能力提升 强化突破
7．[2023菏泽]某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块（如图所示）,花园里种满牡丹和芍药,学校已定购篱笆.请设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．【模型观念】（教材P52习题变式）如图,一张正方形纸板的边长为,将它割去一个正方形,留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设,阴影部分的面积为.
（1） 求关于的函数解析式和自变量的取值范围.
（2） 当取何值时,阴影部分的面积最大 最大面积为多少？
（3） 当留下的四个直角三角形恰好能拼成一个正方形时（无缝隙无重叠）,求此时的值.
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 求二次函数的最值
1．D
2．（1） 1； 大； 1
（2） ； 小；
知识点2 利用二次函数求几何图形面积的最值
3．D
4．15
5．（1） ；
（2） 2； 2
6．（1） 解:由题意,得,
.
,且,
.
由题意,得,
.
（2） .
又,且,
当时,取最大值为800.
答:围成的矩形花圃面积存在最大值,最大值为,此时的值为20.
B组·能力提升 强化突破
7．解:设垂直于墙的边的长为,围成的矩形面积为,则平行于墙的边的长为.
由题意,得,
,
当时,的值最大,最大值为,
,
当垂直于墙的边的长为,平行于墙的边的长为时,花园面积最大为.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1） 解:,
.
（2） ,
当时,阴影部分的面积达到最大,最大面积为.
（3） 当四个直角三角形恰好能拼成一个正方形时,
两直角边的比为或或,
故或或,
解得或或.
的值为,或5.第3课时 建立适当坐标系解决实际问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用二次函数解决桥梁（隧道）类问题
1．如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为点,,以点为原点,水平直线为轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线,桥拱与桥墩的交点恰好在水面,有轴.若,则桥面离水面的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024长沙模拟]图①是抛物线形的拱桥,当拱顶高离水面时,水面宽.建立如图②所示的平面直角坐标系,解答下列问题:
（1）求该抛物线的函数解析式.
（2） 当水面下降,到处时,水面宽度增加多少米？（保留根号）
知识点2 利用二次函数解决运动类问题
3．[2023丽水]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为,经过时球距离地面的高度适用公式,那么球弹起后又回到地面所花的时间是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
4．如图,壮壮同学投掷实心球,出手（点处）的高度是,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.若实心球落地点为,则的长是_ _ _ _ _ _ .
5．[2022甘肃]如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度与飞行时间之间具有函数关系:,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间_ _ .
6．[2022连云港]如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为,则他距篮筐中心的水平距离是_ _ .
B组·能力提升 强化突破
7．[2024德州模拟]某校为举办毕业典礼,搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门,该拱门的示意图如图所示,是垂直于水平地面的柱子,拱门的另一端在水平地面上的点处,拱门到水平地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式,为常数,,已知,.
（1） 求出图中抛物线的函数解析式;
（2） 从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处,,若,小华的身高是,请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．【应用意识,模型观念】如图,排球运动员站在点处练习发球,将球从点正上方的处发出,把球看成点,其运行的高度与运行的水平距离满足关系式.已知球网与点的水平距离为,高度为,球场的边界距点的水平距离为.
（1） 当时,求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）.
（2） 当时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
（3） 若球一定能越过球网,又不出边界,求的取值范围.
第3课时 建立适当坐标系解决实际问题
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用二次函数解决桥梁（隧道）类问题
1．B
2．（1） 解:设抛物线的函数解析式为.
由已知可得,点的坐标为，且点在该抛物线上,
,
解得,
即该抛物线的函数解析式为.
（2） 将代入,
得,
解得,
.
,
.
即水面宽度增加.
知识点2 利用二次函数解决运动类问题
3．D
4．
5．2
6．4
B组·能力提升 强化突破
7．（1） 解:由题意,得
解得
抛物线的函数解析式为.
（2） 能通过该拱门,理由如下:
设,
则,
,.
,
,
解得或（舍去）,
.
,
拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1） 解:,球从点正上方的处发出,
抛物线过点,
,解得,
与的关系式为.
（2） 球能越过球网,球不会出界.理由如下:
当时,, 球能越过球网;
当时,,
解得,（舍去）,
故球不会出界.
（3） 当球正好过点时,抛物线还过点,代入解析式,得
解得
此时二次函数的解析式为,此时球若不出边界.
当球刚能过网,此时函数解析式过,抛物线还过点,代入解析式,得
解得
此时球要过网,
故若球能过球网,又不出边界,的取值范围是.
