24.1.2 垂直于弦的直径 分层训练（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 垂径定理
1．[2024长沙]如图,在中,弦的长为8,圆心到的距离,则的半径为（ ）
第1题图
A．4 B． C．5 D．
2．[2024新疆]如图,是的直径,是的弦,,垂足为.若,,则的长为（ ）
第2题图
A．1 B．2 C．3 D．4
3．[2024长沙模拟]如图,为的直径,弦于点,已知,,则的半径为_ _ .
第3题图
4．如图,,交于点,,是半径,且于点.
求证:.
知识点2 垂径定理的推论
5．[2024长沙模拟]如图,是的中点,弦,半径,则_ _ .
6．如图,,是的弦,,分别为,的中点,且.求证:.
知识点3 垂径定理的实际应用
7．如图,今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知大小,用锯子去锯这个木材,锯口深,锯道,则这根圆柱形木材的半径是（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．[2024长沙模拟]如图是一条高速公路隧道的横截面,若它的形状是以点为圆心的圆的一部分,圆的半径,高,则路面宽_ _ _ _ _ _ _ _ .
第8题图
易错点 忽视垂径定理的推论中关于“不是直径的弦”的前提条件
9．下列判断正确的是（ ）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
B组·能力提升 强化突破
10．[2024长沙模拟]数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点,,连接,作的垂直平分线交于点,交于点,测出,,则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024长沙模拟]一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于,,,四点,利用刻度尺量得该纸条宽为,,
.请你帮忙计算纸杯杯口的直径为 .
12．如图,为的直径,,垂足为,,垂足为,连接.
（1） 求的度数;
（2） 若,求的半径.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．【模型观念,应用意识】“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具,据史料记载,它发明于隋而盛于唐,距今已有1 000多年的历史,是我国古代劳动人民的一项伟大创造.如图,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆,已知圆心在水面上方,且当圆被水面截得的弦为时,水面下盛水筒的最大深度为（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）.
（1） 求的半径;
（2） 若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的变为,则水面上涨的高度为多少米？
24.1.2 垂直于弦的直径
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 垂径定理
1．B 2．B
3．5
4．证明:,.
,,
,.
知识点2 垂径定理的推论
5．2
6．证明:,分别为,的中点,
,,
.
,
,
.
知识点3 垂径定理的实际应用
7．C
8．
易错点 忽视垂径定理的推论中关于“不是直径的弦”的前提条件
9．C
B组·能力提升 强化突破
10．C
11．5
12．（1） 解:,过圆心,
,.
同理.
,
是等边三角形,
.
（2） 是等边三角形,
.
,,
,
.
,,
即,
解得（负值已舍去）,
,即的半径为2.
C组·核心素养拓展 素养渗透
13．（1） 解:如答图,过点作,垂足为点,交以点.
第13题答图
由题意可知,,,
.
设的半径为,即,.
在中,
,即,
解得,
即的半径为.
（2） 设水面升到如答图EF的位置,则,与相交于点,连接,
,
.
在中,
,
,
即水面上涨的高度为.