24.3 正多边形和圆 分层训练（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

24.3 正多边形和圆
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 正多边形与圆的关系
1．线段以点为旋转中心,逆时针旋转 ,得到,再将以点为旋转中心逆时针旋转 得到,依次操作直到点与点重合为止,顺次连接点,, ,,形成的多边形是（ ）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
知识点2 与正多边形有关的计算
2．如果一个多边形的中心角为 ,那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．[2024长沙模拟]如图,正六边形内接于,若的面积等于 ,则正六边形的边长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
4．[2023衡阳]如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是.
5．如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度,则螺帽边长_ _ _ _ .
6．如图,正五边形和正三角形都是的内接多边形,则 .
知识点3 画正多边形
7．如图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图②,是的直径,请用直尺和圆规作的内接正八边形（不写作法,保留作图痕迹）.
易错点 考虑问题不全面导致漏解
8．若是内接正五边形的一边,是的内接正六边形的一边,则的度数是_ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升 强化突破
9．[2024盐城模拟]刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中,作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若的半径为2,则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．3 B．12 C． D．
10．[2023内江]如图,正六边形内接于,点在上,是的中点,则的度数是 .
11．如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②,已知和圆上一点.作法如下:
①以点为圆心,长为半径,作弧交于,两点;
②延长交于点;
即点,,将的圆周三等分.
（1） 请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图②中将的圆周三等分（保留作图痕迹,不写作法）;
（2） 根据（1）画出的图形,连接,,,若的半径为,求的周长.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．【推理能力】请阅读下列材料,并完成相应的任务.
克罗狄斯·托勒密是古希腊数学家、天文学家、地理学家和占星家.在数学方面,他论证了四边形的特性,即有名的托勒密定理.托勒密定理的内容如下:圆的内接凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.即:如图①,若四边形内接于,则有 .
任务:
（1） 材料中划横线部分应填写的内容为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） 如图②,正五边形内接于,,求对角线的长.
②
24.3 正多边形和圆
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 正多边形与圆的关系
1．C
知识点2 与正多边形有关的计算
2．B 3．B
4．10
5．
6．48
知识点3 画正多边形
7．解:作图如答图.
第7题答图
易错点 考虑问题不全面导致漏解
8．6或114
B组·能力提升 强化突破
9．B
10．45
11．（1） 解:如答图,点,,即为所求作.
第11题答图
（2） 如答图,设交于点.
,
, .
,
.
, .
,,
,
,
的周长为.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1）
（2） 解:如答图,连接,.
第12题答图
五边形是正五边形,
,
设.
在圆内接四边形中,
由托勒密定理,
得,
即,
解得,（舍去）.
对角线的长为.