第二十一章 一元二次方程 复习课 （含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 复习课
整合提升 练就四能
类型之1 一元二次方程的有关概念
1．[2022长沙模拟]已知关于的方程.
（1） 当_ _ 时,该方程是一元二次方程;
（2） 当_ _ _ _ _ _ _ _ 时,该方程是一元一次方程.
2．[2024南充]已知是方程的一个根,则的值为_ _ _ _ _ _ .
类型之2 一元二次方程的解法
3．一个三角形的两边长分别为3和5,第三边的长是方程的根,则这个三角形的周长为.
4．按要求解下列方程:
（1） （直接开平方法）;
（2） （因式分解法）;
（3） （公式法）;
（4） （配方法）.
类型之3 一元二次方程根的判别式
5．[2024衡阳模拟]在解关于的一元二次方程时,佳佳将的值写成了,有两个相等的实数根,则原方程（ ）
A．没有实数根 B．无法判断根的情况
C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根
6．关于的方程有实数根,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2024长沙模拟]关于的一元二次方程.
（1） 求证:方程总有两个实数根;
（2） 若方程有一个根小于1,求的取值范围.
类型之4 一元二次方程根与系数的关系
8．[2023怀化]已知关于的一元二次方程的一个根为,则的值为_ _ _ _ _ _ ,另一个根为_ _ .
9．若一元二次方程的两根为,,则的值为_ _ _ _ _ _ .
10．[2022鄂州]若实数,分别满足,,且,则的值为_ _ _ _ _ _ .
11．[2024内江改编]已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不等的实数根,.
（1） 填空:_ _ _ _ ,_ _ ;
（2） 求（用含的代数式表示）;
（3） 已知,求的值.
类型之5 一元二次方程的应用
12．如图,在一个长,宽的矩形场地上修建同样宽的小路,使其中两条与平行,另一条与平行,其余部分种草.若草坪部分总面积为,则小路的宽为_ _ .
13．[2023宁波模拟]某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为每件40元时,一月份销售256件.二、三月份该商品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到 400件.设二、三月份这两个月销售量的月平均增长率不变.
（1） 求二、三月份这两个月销售量的月平均增长率.
（2） 从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品售价每件每降价1元,月销售量就增加5件.当该商品每件降价多少元时,商场月获利4 250元？
素养专练 培养三会
14．【模型观念】我国古代数学专著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:六贯二百一十钱,遣人去买几株椽,每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文,如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.设这批椽的数量为株,则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．这批椽的数量为45株 D．一株椽的价钱为132文
15．【模型观念】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:直田积八百九十一步,只云长阔共六十步,问长多阔几何？其大意:一块矩形田地的面积为891平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步？依题意得,长比宽多（ ）
A．15步 B．12步 C．9步 D．6步
本章复习课
整合提升 练就四能
类型之1 一元二次方程的有关概念
1．（1） 1
（2） 或0
2．
类型之2 一元二次方程的解法
3．14
4．（1） 解:,.
（2） ,.
（3） ,.
（4） ,.
类型之3 一元二次方程根的判别式
5．D
6．
7．（1） 证明: 在方程中,,
方程总有两个实数根.
（2） 解:,
,.
方程有一根小于1,
,解得,
的取值范围为.
类型之4 一元二次方程根与系数的关系
8．； 2
9．
10．
11．（1） ； 1
（2） 解: 关于的一元二次方程（为常数）有两个不等的实数根,,
,
,即.
（3） 由根与系数的关系,得,,
,
,
,
解得,.
当时,;
当时,;
.
类型之5 一元二次方程的应用
12．1
13．（1） 解:设二、三月份这两个月销售量的月平均增长率为.
由题意,得,
解得,（不合题意,舍去）.
答:二、三月份这两个月销售量的月平均增长率为.
（2） 设当商品每件降价元时,商场月获利4 250元.
由题意,可得,
解得,（不合题意,舍去）.
答:当商品每件降价5元时,商场月获利 4 250元.
素养专练 培养三会
A
15．D